§10.Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением векторовa иb: [a,b]называетсявектор,

удовлетворяющий трем условиям:

1. Векторное произведение ортогонально своим составляющим:

2. Длина векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними:

3. Тройка векторов − правая.

Свойства векторного произведения.

Все свойства векторного произведения можно условно разбить на две группы.

1. Алгебраические свойства.

1. Антикоммутативность: .{ Первые два условия определения не зависят

от порядка векторов, но тройки a, b, и b, a, ориентированы противоположно (§9)}

2) {Доказать самим}

3) {б/д}

II. Геометрические свойства.

1) − равенство нулю векторного произведения является необходимым и достаточным условием коллинеарности. { Доказать самим }

2) − площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю векторного произведения этих векторов. {Очевидно}

Для вывода координатной формы векторного произведения поступим так же, как и в случае скалярного: .

Здесь уже использованы соотношения: и т.д.

Легко заметить, что формула векторного произведения может быть записана в виде символического определителя: .

Пример. ВычислитьS_∆ABC, если даны тт.А(1,2,0),В(3,0,−3),С(5,2,6).

{}

§11. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением векторовa,bиcназывается число, равное

Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих

векторах: {Так как

то модуль проекции сна него равенh }

2. (Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное

произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}

3. (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное

произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}

Из последнего свойства следует, что знаки можно ставить в любом порядке. Поэтому

смешанное произведение обозначают символом abc.

Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а, то при разложении определителя

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторыa= (3,1,−2),b= (2,−1,4) иc= (7,−1,6) на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение: векторы линейно зависимы}

Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

§1.Декартова система координат.

Определение 1.Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета и одинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.

Координатные оси обычно обозначают буквами x,yиz или символамиOX,OYиOZ. Любая

точка Мпространства находится во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекций

на осях х,уиz, называемых координатами самой точкиМ:М(М_х,М_у,М_z).

В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, jиk, сонаправленные координатным осямx,yиz соответственно (рис.12). Рассмотрим вектор.

Вектор с началом в точке Ои концом в точкеМназываетсярадиус −вектором точкиМ.

Пусть его координаты в данном базисе равны r_x,r_y иr_z , т.е.

zИз определения суммы векторов (§2) сразу следует, что

вектор . В свою очередь, каждое

M_zиз слагаемых правой части равно проекции вектораrна

Мкоординатную ось (§3), умноженную на соответствующий

krбазисный орт:и

ОjM_yy. В силу единственности разложения

iвектора по базису (§4,Т1) имеем следующий результат:

М_х

xрис.1

В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равны

его проекциям на координатные оси.