II. Умножение вектора на число.

Произведением вектора ана числоназывается вектор,a

длина которого равна , сонаправленный векторуапри λ > 0 -0.7a

и противоположно направленный при λ < 0. рис.4

Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:

Определение. Разностью вектороваиbназывается такой векторc = a − b, который при сложении с векторомb дает векторa :b + c = a (рис.5).

Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив

ba−b начала векторовaиbв общую точку.

Очевидно следующее равенство: a+ (−1)a=a −a= 0.

a (Строгое доказательство предоставляется читателям)

рис.5

Замечание. Ноль в правой части последнего равенства естьнулевой вектор, а не число.

Равенство (−1)b= −bдает еще один способ построения разности векторов:а−b = a+(−b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.

Свойства линейных операций.

1. Переместительное свойство сложения (коммутативность).

a + b = b + a. {рис.6}

2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).

(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}

3. Дистрибутивность умножения

а) (λ+μ)а= λа+ μа.{Очевидно}

б) λ(a+b) =λa+λb.{Следует из подобия (рис.8)}

4. λ(μа) = (λμ)а. {Очевидно}

c

b b

a+b = b+a b+c λb λ(a+b)

a+b b

a (a+b)+c=a+(b+c) a+b

a a λa

рис.6 рис.7 рис.8

§3. Проекция вектора на ось.

Определение 1.Осьюназывается прямая, на которой задано положительное направление.

Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).

Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множеством действительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число 0.

Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.

Рассматривая некоторую ось u(не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единого масштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.

Определение 2. Величиной отрезка [АВ] (обозначаетсяАВ) называется число, равное длине этого отрезка и взятое со знаком «+», еслинаправлен по оси и со знаком «−», если − против, т.е..

А'В' и

рис.9

Основныесвойства величин отрезков (будем считать, что тт.А,ВиСлежат на осии):

1. АВ= −ВА{Очевидно}

2. 

{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси − равенство очевидно.

Пусть точки расположены иначе, например: В, С, А→ВА=ВС+СА→

−АВ=ВС −АС →АС =АВ +ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}

3. Пусть и– числовая ось, аА_ииВ_и− координаты точекА иВна этой оси. Тогда

АВ=В_и−А_и. {Очевидно}

Рассмотрим теперь произвольный вектор и осьu (рис.9).

Определение 3. Ортогональной проекцией векторана осьиназывается величина отрезкаА'В', гдеА'иВ'− ортогональные проекции точекАиВна эту ось (рис.9).

Пр_и=А'В'.

Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.

Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через φ, то для вычисления проекции имеем очевидное соотношение: Пр_и=При этом необходимо учитывать, что уголφотсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Еслие_и −орт, сонаправленный осии, то в частном случае.

Замечание.Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следует провести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней. Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться. Однако, в дальнейшем, по умолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.

Линейные свойства проекций.

I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ> 0 иλ< 0}

II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}

Определение 3. Линейной комбинацией векторова₁,…,а_пназывается сумма следующего вида: , где всекоэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, а_i− элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.