§23. Гиперболоиды и конус.

Гиперболоидомназывается поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, где коэффициентыА, В и С− числа разных знаков, аL– отлично от нуля. Для определенности будем считать, чтоАиВбольше нуля, а

С– меньше нуля: A > 0, B > 0, C < 0. В зависимости от знакаLимеем два типа гиперболоидов.

I.L < 0. После стандартных преобразований (§22) получим уравнение:.

Снова воспользуемся методом сечений.

Плоскости z=hповерхность пересекает по эллипсам.

С увеличением h( илиz) полуоси эллипса увеличиваются. Минимальные полуоси будут при

h= 0 , т.е. в плоскостиХОY.

В плоскостях x=h(илиy = h) получаются гиперболы. (рис.12а)

При h<aилиh>a(дляy−h <bилиh>b) гиперболы ориентированы противоположно.

При h=a(h=b) сечениями являются прямые. Это свидетельствует о наличии у однополосного гиперболоида прямолинейных образующих.

При a=bимеем гиперболоид вращения.

Поверхность, описываемая уравнением называетсяоднополосный гиперболоид.

Пример. Доказать, что т. (5,4,2) принадлежит гиперболоидуи найти прямолинейные образующие, проходящие через эту точку. {1)1+1−1=1;2)l:x=pt+5,y=qt+4,z=rt+2

Подставим в уравнение: приравняем коэффициенты нулю и положимr= 1и вторая образующая

}

II.L > 0. В этом случае уравнение будет иметь вид:.

При z=hимеем, откуда сразу следует ограничение наhи, тем самым, на величинуz:.В сечениях, как и в предыдущем случае будут эллипсы. Приz= ±1 эллипсы вырождаются в точки (0,0,±1).

При x=hилиy=hв сечениях опять получатся гиперболы, но в отличие от однополостного гиперболоида не меняющие ориентацию в зависимости от величиныh (рис.12б).

При a=bполучим гиперболоид вращения.

Поверхность называетсядвуполостным гиперболоидом.

2. Пусть теперь при тех же ограничениях на А,ВиСL= 0. Уравнение примет вид:

Сечения плоскостями z=hопять будут эллипсами с увеличивающимися полуосями при возрастании модуляz, а в сеченияхx=hилиy=h− пересекающиеся прямые (рис.12в).

Такие поверхности называются коническимииликонусами.

§24. Параболоиды.

Параболоидомназывается поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат

определяется уравнением , где коэффициентыА, В иKне равны нулю.

Возможны два случая: AB > 0 и AB <0. Для определенности будем считатьA >0, K <0.

1. A> 0,B> 0,K< 0. Уравнение приводится к виду.

В сечениях z =h(h> 0) получаем эллипсы, полуоси которых растут с ростомh.

В сечениях x=hиy=h− параболыи(рис.13а).

Поверхность называетсяэллиптическим параболоидом.

z z

х

y y

x

рис.13а рис.13б

II.A> 0,B< 0,K< 0. Уравнение имеет вид:−гиперболический параболоид.

В сечениях z=hполучаются гиперболы, ориентация которых меняется при изменении знакаh.

В сечениях x=hиy=h− параболы, имеющие противоположное направление ветвей (рис.13б).

Позднее, при изучении общих свойств линейных пространств, будет доказано, что никаких других поверхностей второго порядка не существует. Возможны только некоторые частные и вырожденные случаи.Любое уравнение второго порядка от трех переменных приводится к одному из рассмотренных типов.

23