§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, напримерz. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными:f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскостиXOY. Любой точке этой кривой (x^*,y^*) , будет соответствовать некоторое

значение z^*, при котором точка (x^*,y^*,z^*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная осиOZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскостиXOYпересекает кривуюf(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющейf(x,y) = 0 в плоскостиXOYи образующей параллельной осиOZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:

Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнениепроекции линии пересечения этих поверхностейна координатную плоскость двух оставшихся переменных.

Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностейина

плоскость YOZ. {Исключимх:гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, чтоверхняя ветвь,}

§21.Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:

Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.

§22. Эллипсоид.

Эллипсоидомназывается поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, коэффициентыА, В и С− числа одного знака, аLимеет знак им противоположный.

При этих условиях уравнение эллипсоида может быть написано в каноническом виде:

где.

Для определения формы эллипсоида применим метод сечений. Пусть z=hфиксировано.

Сечение эллипсоида плоскостью z=hбудет иметь вид− эллипс с данными полуосями. Отсюда следуют несколько выводов:

1) ; приh=c эллипс вырождается в точку.

2) Наибольшие полуоси эллипс будет иметь при h= 0.

3) Аналогичная картина будет иметь место в сечениях

x=hилиy=h. (рис.11)

рис.11

Как и в случае эллипса, числа a, bи cназываются полуосями эллипсоида. Если они все разные, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то мы получим эллипсоид вращения (§19). В случае равенства всех полуосей – имеем сферу:.