§17. Основные задачи.

Две задачи, связанные с прямой были уже рассмотрены на примерах в предыдущем параграфе.

Задачи, связанные с вычислением углов между прямыми, прямой и плоскостью, включая условия ортогональности и параллельности, решаются с использованием направляющих векторов прямых и нормальных векторов плоскостей. Так, например, синус угла между прямой и плоскостью будет равен модулю косинусу угла между соответствующими направляющим и нормальным векторами:

Условия ортогональности и параллельности прямой и плоскости записываются следующим образом:

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами и проходящие через точкиМ₁иМ₂соответственно. Прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. В двух первых случаях смешанное произведениеЕсли же прямые скрещиваются, то

Оба условия являются необходимыми и достаточными. Так как расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, то оно может быть найдено по формуле− объем параллелепипеда

деленный на площадь основания.

Пример. Как расположены прямыеи?

Если они пересекаются – найти общую точку. Если нет – расстояние между ними.

{прямые скрещиваются.

}

§18. Поверхности в пространстве.

Общая постановка задач в пространстве была дана в §12. Рассмотрим сейчас несколько специальных задач.

1. Цилиндрические поверхности.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными в пространстве:F(x,y) = 0. На плоскостиXOY

оно описывает некоторую кривую. В пространстве каждой точке (x^*,y^*) этой кривой будет соответствовать прямая, т.е. прямая, проходящая через точку (x^*,y^*,0) и параллельная осиOZ. Поверхность, образованная множеством всех таких прямых, называетсяцилиндромснаправляющейF(x,y) = 0 в плоскостиXOYиобразующей параллельной оси OZ.

Аналогично рассматриваются цилиндры, образующие которых параллельны другим координатным осям: F(x,z) = 0 иF(y, z) = 0.

Замечание. Естественно, существуют наклонные цилиндры, в уравнения которых входят все переменные в явном виде. Однако, должен существовать такой поворот системы координат, после которого одна из переменных будет отсутствовать в записи уравнения.

Примеры. 1)− прямой круговой цилиндр радиусаrи осьюOZ.

2) −эллиптический цилиндрс образующей, параллельной осиOY.

3) у²= 8z −параболический цилиндрс образующей, параллельной осиOХ.

§19.Поверхность вращения.

В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскостиYOZи ось вращенияОZ . Зафиксируем произвольное значениеz^*и выразим из уравненияF(y,z^*) = 0 соответствующее значениеу=f(z^*). При вращении, в плоскостиz=z^*получится окружность

x²+y²=f ²(z^*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь видx²+y²=f ²(z) (рис.10).

Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения

zF(y,z^*) = 0 относительноусовсем не обязательно, тем более,

F(y,z) = 0 что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.

Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае

записывается следующим образом:

y

x

рис.10

Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси: Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных (в рассмотренном случае).

Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривойу²= 6хвокруг осейОХиOY. {

}

Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только

в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.