§15.Основные задачи, связанные с плоскостью.

1. Условия параллельности, перпендикулярности, угол между плоскостями.

Даны две плоскости:

Все перечисленные условия следуют из геометрического смысла коэффициентов (§13).

2. Расстояние от точки до плоскости.

Вычисляется так же, как в случае прямой на плоскости (§5). Пусть произвольная точка пространства. Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции

После простых преобразований получим

(#) III. Связка и пучок плоскостей.

Определение1.Множество плоскостей, проходящих через единственную общую точкуМ₀, называетсясвязкой плоскостейс центром в т.М₀( Обозначение −S(M₀)).

Рассмотрим три плоскости, принадлежащие S(M₀):

……………………..(*)

Теорема.Уравнениеописывает связку плоскостей с центром в данной точке.

{Нужно доказать 2 утверждения: 1) 2).

1. Так как все слагаемые Qравны нулю в т. М₀, то иQ = 0 в этой точке.

2. Так как СЛАУ (*) имеет единственное решение (x₀,y₀,z₀), то из правила Крамера следует,

что определитель системы отличен от нуля, т.е. векторы линейно независимы и

. ЗначениеD=D^*, т.к. все плоскости проходят через т.М₀}

Определение2. .Множество плоскостей, проходящих через общую прямую – ось плоскостей,

называется пучком плоскостей.

Теорема. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, при условии

§16.Прямая в пространстве.

Наиболее простым заданием прямой в пространстве является ее задание, как линии пересечения двух плоскостей: .

(Естественно предполагать, что плоскости не совпадают и не параллельны)

Однако, такое задание имеет большой недостаток: оно не содержит в явном виде ни одной геометрической характеристики прямой. Удобнее пользоваться каноническимуравнением прямой, в котором она определяется как геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и коллинеарных данному ненулевому вектору − направляющему вектору прямой.

Если обозначить любую фиксированную точку прямой через М₀, а направляющий вектор, то для произвольной точки прямойМполучим соотношение:

−каноническоеуравнение прямой в пространстве. (См. §4,п.III)

Замечание. На самом деле, каноническое уравнение представляет собой систему двух линейных уравнений с тремя переменными, т.е. линию пересечения двух плоскостей. Но, во – первых, это

особые плоскости (параллельные координатным осям) и, во – вторых, в записи системы геометрические характеристики прямой фигурируют в явном виде.

Пример. Перейти к каноническому заданию:

{Положим z= 0. Тогдаx=2,y= − 1;. Отсюда:}

От канонического уравнения легко перейти к параметрическому заданию. Приравняем полученную пропорцию к новой переменной и выразим через нее переменные x,yиz:

Пример. Найти точку пересечения прямойс плоскостьюx–y+2z– 11 = 0.

{x = 1 + 2t, y = −3t, z = −2 + t → 7t − 14 = 0 → t = 2 → (5, −6, 0) }

Уравнение прямой через две точки можно написать, взяв в качестве направляющего вектора вектор :

(#) В некоторых задачах удобно пользоваться векторным представлением прямой. В этом случае прямая задается радиус – вектором (§1) текущей точки прямой.

(рис.9)

Здесь :

M r₀− радиус – вектор т.М₀

M₀l= (p,q,r) − направляющий вектор прямой.

рис.9