1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.

Функция f(t) называется периодической, если существует величина T, такая что для любого значения t f(t+T)=f(t). Наименьшая из величин T называется периодом.

Весьма широкий класс периодических функций можно разложить в ряд Фурье .(2.1)

Здесь коэффициенты a_k и b_k вычисляются с помощью соотношений ,(2.2)

Ряду Фурье можно придать комплексную форму, если воспользоваться соотношениями и

.

Введем обозначение и, замечая, что согласно (2.2), запишем ряд (2.1) в комплексной форме(2.3)

Нетрудно заметить, что коэффициенты в (2.3) вычисляются с помощью формулы, вытекающей из (2.2), а именно . (2.4)

Введем обозначение . Очевидно при этом приращениеи, следовательно, согласно (2.3) и (2.4),(2.5)

Переходя к пределу в (2.5) при и обозначая, (2.6) запишем(2.7)

Мы получили соотношения, которые играют в дальнейшем важную роль во всей изучаемой нами дисциплине. Это прямое (2.6) и обратное (2.7) преобразования Фурье. Предельный переход означает, что мы распространили ряд Фурье на непериодические функции, и этим существенно расширили класс исследуемых сигналов.

Заметим, что функция , фигурирующая в формуле прямого преобразования должна допускать сходимость несобственного интеграла. Разумеется, не все функции обладают этим свойством. Например, функция1/t не может быть преобразована по Фурье - она недостаточно быстро убывает (кроме того, она имеет разрыв при t=0). Для того, чтобы гарантировать сходимость несобственного интеграла в (2.5),во многих случаях достаточно предварительно умножить преобразуемую функцию на экспоненту с отрицательным показателем, т.е. рассматривать в дальнейшем такие функции, которые допускают существование интеграла(2.8)

Константа с называется абсциссой абсолютной сходимости, а преобразование вида (2.8) называется прямым преобразованием Лапласа.

В соответствии с введенным обозначением для параметра s можно записать и обратное преобразование (2.7) в форме .(2.9)

принято называть изображением по Лапласу функции , которая в свою очередь называетсяоригиналом.

2.Коэффициенты ошибок следящих систем.

Для оценки точности воспроизведения непрерывных функций часто используются коэффициенты ошибок, которые оказываются наиболее удобными для управляющих сигналов класса полиномов.

Оригиналом по отношению к изображению служит импульсная переходная характеристика. Ошибку можно вычислить с помощью интеграла Дюамеля. (10.8)

Если управляющее воздействие представляет собой непрерывную медленно меняющуюся функцию, то ее выгодно представить в виде разложения по степеням ,

ограничившись небольшим числом слагаемых. Подставив это разложение в (10.8), получим выражение вида , (10.9) где(10.10) называютсякоэффициентами ошибки.

интегралы вида (10.10) называются моментами порядка r функции . Вычисление коэффициентов ошибки не обязательно выполняется интегрированием. Если продифференцироватьr раз преобразование Лапласа по s положить затем s = 0 , то, как легко видеть, получится выражение вида (10.10). Вычисления выполняются особенно просто, если передаточную функцию представить в виде разложения в окрестности точкиs = 0 (10.11)

причем для этого нет необходимости в многократном дифференцировании, имея в виду, что все передаточные функции принадлежат к классу дробно-рациональных и легко представляются в виде разложения путем деления полиномов, расположенных по возрастающим степеням s.

Коэффициенты ошибок наиболее наглядно показывают, какую роль в точности автоматических систем играет коэффициент усиления в разомкнутом состоянии и так называемый порядок астатизма, с которым необходимо предварительно познакомиться.