2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.

Для дальнейшего исследования устойчивости нам понадобится лемма Гронуолла-Беллмана.

Пусть ипри,, причем присправедливо неравенство, гдеc - положительная постоянная. Тогда .

Пользуясь леммой, рассмотрим устойчивость линейной дифференциальной системы с почти постоянной матрицей.

Теорема. Пусть система , (17.10) гдеA – постоянная матрица, устойчива в смысле Ляпунова. Тогда система ,(17.11) гдеитакже устойчива.

Доказательство.

Пусть X (t) - фундаментальная матрица решений системы (17.10) и X(0)=E . Рассматривая B (t) y как возмущение в (17.11) и пользуясь выводом (17.12) метода вариации постоянных, запишем .

Т.к. система (17.10) устойчива, то ее фундаментальная матрица решений ограничена, т.е. .

Следует оценка сверху .

Теперь используем лемму Гронуолла-Беллмана, согласно которой

.

Таким образом, система (17.11) также устойчива, что и требовалось.

В качестве простого примера рассмотрим уравнение вида . (17.12)

Вводя обозначение , приведем его к нормальной форме Коши. Очевидно, что в данном случае постоянная матрица.

Сравнение с (17.11) позволяет записать также .

Принимая в качестве нормы наибольшую абсолютную величину элементов, имеем .

Согласно теореме, предшествующей примеру, решение должно оставаться ограниченным.

3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.

Рассмотрим функцию на некотором множестве.

Здесь -n-мерный вектор. Действительная непрерывная функция называетсязнакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной), если (или) при.

Далее, функция называетсяположительно определенной,в Z, если существует скалярная функция , такая, что

при ,

.

Пример 28.1.

Функция приявляется положительно определенной, т.к.

при x² + y² > 0; V =W= 0 при x = y = 0 .

При функцияV всего лишь знакоположительна.

Аналогично функция V ( t, X ) называется отрицательно определенной в Z , если найдется такая, что

при

и .

Положительно или отрицательно определенная функция называется знакоопределенной.

В теории автоматического управления функции, обладающие свойством положительной (или отрицательной) определенности введены А.М. Ляпуновым и играют основную роль при анализе устойчивости. Они могут принадлежать к различным классам. Нас, в частности, будут интересовать квадратичные формы, т.е. скалярные произведения вида , гдеA=A^T – симметрическая матрица порядка , аX=(x₁, x₂ ,…, x _n )^T – вектор-столбец того же порядка. Таким образом, скалярная квадратичная форма записывается в виде

.(28.1)

Матрица A называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, матрица и функция (28.1) связаны взимнооднозначно.

Для выяснения свойства положительной определенности функции (28.1) служит критерий Сильвестра:

Для того, чтобы квадратичная форма V(X) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A и все ее диагональные миноры были положительны.

Пример 28.2.

Форма

не является положительно определенной. В самом деле, определитель

.

Заметим, что нулю равен и диагональный минор второго порядка.

Нетрудно убедиться, что форма положительно определенная.

Вернемся теперь к понятию устойчивости движения, с которым мы познакомились в прошлом семестре (см. лекцию 7) и введем некоторые дополнительные определения.

Пусть снова ,(28.2)

где - вектор состояния системы. При фиксированных компонентах вектор состояния, как мы знаем, указывает точку фазового пространства. Невозмущенным движением называется ограниченный вектор, удовлетворяющий уравнению (28.2), т.е..(28.3)

Разность называетсявозмущением. Вычитая (28.3) из (28.2), получаем дифференциальное уравнение в терминах возмущения

, (28.4)

которое, очевидно, обладает тривиальным решением .В пространствеэто тривиальное решение представляется осью времени (рис.28.1).

По-прежнему будем называть тривиальное решение устойчивым, если для любого существует пара величин, таких, что из условияследуетдля любогоt > T .

Если величина может принимать любое значение, то система (и невозмущенное движение) называетсяустойчивым в целом.

Наконец, если

движение называется асимптотически устойчивым.

Рис.28.1. Геометрическая интерпретация

устойчивого тривиального решения.

Запишем теперь (28.4) в скалярной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений

, (28.5)

а также продифференцируем по времени функцию , имея в виду (28.5),

. (28.6)

Выражение (28.6) называется производной функции V в силу системы (28.5). Компоненты можно рассматривать как составляющие вектора фазовой скорости. С другой стороны, градиентом функцииV называется вектор

.

Выражение (28.6) можно рассматривать как скалярное произведение вектора градиента функции V на вектор фазовой скорости , т. е.(рис.28.2)

. (28.7)

Производная функции V в силу системы (28.5) также является функцией координат вектора состояния. В дальнейшем введем для нее обозначение .

Рис. 28.2. Геометрическая интерпретация знака

производной в силу системы уравнений (28.5).

На рис.28.2 показано несколько линий уровня положительно определенной функции V. В малой окрестности начала координат они близки к эллипсам (это становится ясным, если вспомнить формулу разложения в ряд Тейлора функции многих переменных).

С другой стороны из (28.7) видно, что знак производной зависит от угла . В случае, когда угол острый, производная положительна, в случае тупого угла – она отрицательна. На рис.28.2 показан именно последний случай. При этом вектор фазовой скорости направлен вдоль фазовой траектории к началу координат, т.е. величина возмущения стремится к нулю. Это означает, что движение, описываемое уравнениями (28.5), устойчиво.

Подведем итог всему сказанному в виде теоремы Ляпунова об устойчивости.

Теорема.

Если для системы уравнений (28.5) существует знакоопределенная функция V ( X ), производная которой W ( X ) в силу системы (28.5) имеет противоположный знак по отношению к V, то решение системы устойчиво.

Доказательство.

Без ограничения общности будем считать функцию V ( X ) положительно определенной. Выберем и положим. Обозначим

на множестве .

Поскольку , то из непрерывности функцииV(X) следует существование такого числа > 0, что при.

Положим теперь, что начальные условия таковы, что . Из условия теоремы производная функцииV отрицательна вдоль решения . Поэтому функцияV не может возрастать вдоль этого решения. Следовательно,

. (28.8)

При этом . Если предположить, что это не так, то есть найдется, тогда

,

что противоречит (28.8). Остается утверждение , что и требовалось.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 20