3.Аналитическое исследование автоколебаний при гармонической линеаризации.

В результате гармонической линеаризации нами был получен аналог передаточной функции нелинейного элемента в виде .

Если передаточная функция линейной части является дробно-рациональной функцией переменнойs,то передаточная функция контура (рис.23.1 из предыдущей лекции) в разомкнутом виде запишется как произведение .

Соответственно дифференциальное уравнение замкнутого контура, описывающее собственное движение системы имеет вид . (24.1)

Последнее уравнение можно рассматривать как характеристическое относительно переменной s. При наличии автоколебаний с основной частотой  по крайней мере одна пара корней характеристического уравнения будет мнимой, т.е. вместо (24.1) следует записать . (24.2)

Выделив мнимую и вещественную части, получаем систему из двух уравнений (24.3)

Решив ее относительно частоты и амплитуды, получаем искомые параметры автоколебаний. Решение задачи становится особенно простым в случае однозначной нечетной нелинейной характеристики, когда, как мы знаем, . В этом случае уравнение (24.2) приобретает вид.

Отсюда следует .(24.4)

Мы получаем отдельное уравнение для определения частоты .

Если существует вещественный корень, то, подставив его в (24.4), мы получаем соотношение для определения амплитуды.

Таким образом, формально процедура определения параметров автоколебаний не вызывает затруднений. Остается невыясненным вопрос о физической реальности найденных параметров. Для выяснения этого вопроса дадим приращение амплитуде и частоте предполагаемых автоколебаний и исследуем поведение этих приращений (вариаций) по времени. Запишем неустановившийся режим в комплексной форме: . (24.5)

Раскрыв левую квадратную скобку, имеем . Обратимся теперь к уравнению, вытекающему из (24.2),.

Запишем разложение в окрестности точки , ограничиваясь линейными членами,.

Имея в виду (24.3), получаем систему относительно приращений

Определитель этой системы . (24.6)

Устойчивость автоколебаний зависит от поведения приращения амплитуды. (24.7)

Из (24.7) видно, что автоколебания будут устойчивыми, если и одного знака. Действительно, если приращение амплитуды будет положительным, то фазовая траектория окажется с наружной стороны предельного цикла и для устойчивости необходимо, чтобы приращение убывало с течением времени. Согласно (24.5) приращение будет убывать при  >0Аналогичное рассуждение можно провести для случая отрицательного приращения амплитуды, при котором фазовая траектория оказывается внутри предельного цикла.

В обоих случаях условием устойчивости предельного цикла будет, как это видно из (24.7), .

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13

1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.

Для того, чтобы уравнение вида обладало устойчивым тривиальным решением, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравненияимели отрицательные вещественные части.

В такой формулировке доказательство теоремы кажется очевидным. Для этого достаточно записать решение уравнения (7.2) в общем виде , (i=1,2,…n).