4.2 Оптика анизотропных сред.

4.2.1. Модель анизотропной среды.

М оделью анизотропной среды является система, состоящая из вытянутых молекул или других комплексов, в которых оптические электроны могут смещаться только вдоль одного, выбранного направления. Пусть это смещение характеризуется единичным вектором . Выбрали систему координат, в которой произвели замену . Единичный вектор в этом случае представлен, как . Электроны совершают колебания под воздействием электромагнитной волны, напряженность электрического поля которой показана на рисунке.

Уравнение движения оптического электрона в этом случае имеет вид:

.

поляризация

или

В отличии от изотропной среды, направление поляризации не совпадает с направлением вектора , то есть не параллельно .

Введем диэлектрическую восприимчивость среды:

Рассмотрим скалярное произведение

,

тогда (1)

или

.

Введем тензорную диэлектрическую восприимчивость .

Уравнение для поляризации можно представить в виде

или

Тензор можно записать в виде матрицы

Найдем материальное уравнение для анизотропных сред , для соответствующих компонент уравнение примет вид:

.

Запишем

, где ,

тогда

.

Материальное уравнение для анизотропной среды примет вид:

, где диэлектрическая проницаемость

В ыберем систему координат, учитывающую симметрию кристалла, направим ось вдоль вектора , в этой системе , тогда

,

.

Матрица .

Всегда можно выбрать оси координат, в которых приобретает диагональный вид

Для этого необходимо найти собственные значения ; и решить уравнение

, где - собственные вектора., - собственные значения.

В этой системе координат

Такая система называется главной кристаллической системой координат тензора диэлектрической проницаемости .

В этой системе связь между .

и следующая

Рассмотрим, когда вектор направлен вдоль одной из осей.

1 в этом случае ,то есть ║

Введем главное значение показателя преломления

, где

Если все главные компоненты тензора , , различны по значению, то больше нет направлений, в которых векторы и были бы коллинеарны.

2. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в анизотропной среде. Направление волнового вектора в такой среде характеризуется единичным вектором:

.

Рассмотрим уравнения Максвелла:

.

Пусть в направлении распространяется плоская электромагнитная волна

, волновой вектор которой

.

Тогда можем записать:

Подставим данные выражения в уравнения Максвелла, получим

, (*)

где

.

Р ассмотрим ориентацию векторов , , , вектор лежит в плоскости , угол между и называется углом анизотропии. Q5^о для кальцита.

Направление луча определяется направлением переноса энергии. Рассмотрим вектор Умова-Пойтинга.

, при этом и , луч распространяется в направлении вектора , определяемом единичным вектором . Направления распространения фазы и энергии не совпадают. Фаза движется по со скоростью , а энергия по со скоростью , эта скорость называется лучевой. Скорости связаны соотношением: .

2. Уравнение нормали Френеля.

Из уравнений (*) получим

.

Рассмотрим компоненты вектора в главной кристаллической системе

Получим:

Скалярное произведение , см. ориентацию векторов. Отсюда:

.

Уравнение распадается на два

1. , это обыкновенная волна

2. Уравнение нормали Френеля:

Данное уравнение 4-го порядка, имеет 4 корня, из них разных 2.

Умножим уравнение на и получим уравнение для фазовых скоростей:

.

Введем функцию

Решим данное уравнение графически.

Получим две скорости распространения волны в данном направлении и . Покажем что вектора индукции, соответствующие этим волнам перпендикулярны между собой,

Умножим на и вычтем уравнения

Получим , рассмотрим выражение

, отсюда , и

то есть .

Пример: Рассмотрим случай, , т.е. , уравнение Френеля после приведения к общему знаменателю имеет вид:

, корни уравнения ,

в данном направлении распространяется две волны со скоростями и .

4.2.4.Уравнение Френеля для лучевых скоростей.

Рассмотрим распространение энергии (лучей) в анизотропных средах. Пусть энергия плоской монохроматической волны распространяется в направлении, определяемом единичным вектором потока энергии .

Уравнения:

умножим векторно на

.

Получим :

, или

,

получим

.

Умножим уравнение на , получим

,

так как ,

Распишем уравнение по компонентам:

или , учтем, что , получим

+

Получаем уравнение Френеля для лучевых скоростей:

или

Можно показать, что .

В каждом направлении распространяются 2 луча со скоростями и с

4.2.5 Оптические свойства одноосных кристаллов.

В зависимости от структуры кристаллических сред и симметрии тензора диэлектрической проницаемости кристаллы можно разделить на три группы: кубические, одноосные, двуосные.

В кубических кристаллах , они ведут себя как изотропные среды.

В одноосных кристаллах , , ось кристалла совпадает с осью (о, Z )

Рассмотрим свойства одноосных кристаллов.

Пусть ;

Р ассмотрим следующие случаи:

1)

;

2)Рассмотрим произвольное направление

а) вектор в этом случае лежит в плоскости всегда

Е – также

, т. Е. и в этом случае

Уравнение Френеля для одноосного кристалла.

Р ассмотрим более подробно случай одноосного кристалла.

Перепишем уравнение Френеля в следующем виде:

Сделаем преобразования, учтя, что , введем и , ,

Получим

Уравнение распадается на два

1.

2.

Уравнение 1 описывает распространение сферической волны для которой показатель преломление не зависит от направления. Такая волна называется обыкновенной. Для волны описываемой уравнением 2 показатель преломления зависит от направления распространения волны, эта волна называется необыкновенной.

Уравнение 2 – уравнение эллипсоида вращения.

При распространении необыкновенной волны:

а) вдоль оси

, ,

Скорость совпадает со скоростью распространения обычной волны.

б) оси

, ,

Можно построить оптическую индикатрису.

Для нахождения и строится сечение , тогда в этом сечении главные оси дадут значения и , а их направления, направления и

Уравнение для лучевых скоростей для одноосного кристалла будет иметь вид

Получаем следующие уравнения:

где и - скорости компонент поляризованных в главной плоскости и перпендикулярно главной плоскости соответственно.

В каждом направлении распространяются две волны с лучевыми скоростями .

Волна, определяемая уравнением 1, имеет

независящую от направления

(обыкновенная волна)

Волна определяемая уравнением 2 имеет скорость зависящую от направления

В случае ;

При распространении вдоль оптической оси, скорости обеих волн равны.

Е сли внутри анизотропной среды расположен источник – точечный, то волны будут распространяться следующим образом.