3841
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|
где символ |
обозначает( |
содержится в», а суммирование оз- |
|||||||||
|
«) = ∑ |
|
|
|
( |
), |
|
|
|||
начает сложение всех величин |
|
|
|
, для которых а |
b. |
||||||
Функция распределения дискретной( |
случайной) |
величины X |
|||||||||
для всех – < x < . |
( |
) = ∑ |
|
( |
) |
|
(2.5) |
||||
Рассмотрим случайные величины, которые могут принимать только несчетно-бесконечное число различных значений (например, все неотрицательные вещественные числа). Случайная величина X считается непрерывной, если существует такая неотрицательная функция f(x), при которой для любого множества вещественных чисел В (например, В может включать все вещественные числа между 1 и 2)
|
= ∫ |
( ) |
|
= |
1. |
|
||
|
∫ |
(2.6) |
||||||
|
площадьипод функцией( ) |
|
|
|||||
Таким образом( , общая) |
f(x) равна 1. |
|||||||
Если X – неотрицательная |
случайная |
величина, |
что часто |
|||||
встречается при моделировании, вторая область интегрирования будет в пределах от 0 до .
Все вероятностные характеристики величины X могут (в принципе) вычисляться с помощью функции f(x), которая на-
зывается плотностью распределения вероятностей непре-
рывной случайной величины X.
Для дискретной случайной величины X функция p(x) – это действительная вероятность, связанная со значением х. Однако функция f(x) не является вероятностью того, что непрерывная случайная величина X равна х. Для любого вещест-
венного числа х |
|
, |
|
= ∫ |
|
= 0 |
|
= = |
|
|
|
(2.7) |
|||
Так как вероятность( ) |
|
|
|
|
|
||
связанная с каждым значением х, |
|||||||
,( [ |
|
]) |
|
( ) |
|
|
|
равна 0, можно дать следующую интерпретацию функции f(x). Если х это любое число, а ∆x > 0, тогда
( , +∆ ) = ∫ ∆ ( ) = 0 |
(2.8) |
21 |
|
что равно площади под функцией f(x) между х и х+∆х. Отсюда следует, что с большей вероятностью непрерывная случайная величина X попадет в интервал, где функция f(х) имеет большое значение, чем в интервал, где функция f(x) имеет небольшое значение.
ФункцияраспределениянепрерывнойслучайнойвеличиныX
( ) = ( [− , ]) = ∫ ( ) (2.9)
для всех − < x < .
Таким образом, с некоторыми формальными нестрогими допущениями f(x) = F'(x), где F'(x) – производная от функции F(x). Кроме того, если I = [а, b], где а и b – любые вещественные числа, для которых а < b, то
|
= ∫ |
= |
− |
. |
(2.10) |
|
представляет( ) (применение) ( ) |
||||
Последнее (равенство) |
фундамен- |
||||
тальной теоремы вычислений, поскольку F'(x) = f(x).
При моделировании обычно приходится иметь дело с n (n
– положительное целое число) случайными величинами
двумя, ,…, |
одновременно. Примем п = 2, т.е. воспользуемся |
|
случайными величинами X и Y.
Если X и Y являются дискретными случайными величинами, тогда р(х, у) = Р(Х = x, Y = у) для всех х, у, где р(х, у) назы-
вается совместной вероятностной мерой функции величин X
и Y. |
При этом величины X и Y будут независимыми, если |
||||||
( , |
) = ( ) |
( ) для всех х, у, где функции |
(2.11) |
||||
есть безусловные |
( |
) = ∑всех |
( |
, |
); |
(2.12) |
|
( |
) = ∑всех |
( |
, |
); |
|
||
|
|
вероятностные меры величин X и У. |
|
||||
Случайные величины Х и Y называются совместно непрерывными, если для них существует неотрицательная функция f(x, у), именуемая совместной функцией плотности распреде-
ления вероятностей величин X и Y, определенная для всех множеств вещественных чисел А и В
( , |
) = ( , ) |
. (2.13) |
|
22 |
|
В этом случае величины X и Y являются независимыми,
если |
( |
, ) = |
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
(2.14) |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
( |
, |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||||
представляют |
собой |
) = ∫ |
|
( |
, |
) |
||||||
плотности( ) |
безусловного |
распределения |
||||||||||
вероятностей соответственно величин X и Y.
Иными словами, случайные величины X и Y (как дискретные, так и непрерывные) являются независимыми, если известное значение, которое может принимать одна величина, не сказывается на распределении другой величины. Также, если величины X и Y не являются независимыми, их называют зави-
симыми.
, |
Рассмотрим еще раз случай с п случайными величинами |
||
В,…, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
частности, обратимся к некоторым характеристикам от- |
||
дельной случайной величины |
и некоторым показателям за- |
||
висимости, которая может существовать между двумя случай-
ными величинами |
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Среднее значение, или математическое ожидание, слу- |
||||||||||||||
чайной величины |
(где i |
= |
1, |
2, |
..., п) |
обозначается или |
|||||||||
E( |
) и определяется как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
,если |
− дискретная величина |
|
||||||||
|
= |
∑ |
( |
) |
(2.16) |
||||||||||
|
,если |
|
−непрерывная величина. |
||||||||||||
|
∫ |
|
|
||||||||||||
|
Средние значения обладают такими важными свойствами |
||||||||||||||
(с и |
1)с , обозначают константу; |
– вещественное число): |
|
|
|||||||||||
|
2) |
(∑ |
) = |
) |
= ∑ |
|
( |
) |
, даже если |
зависимые. |
|||||
|
( |
( |
) |
|
|
|
|||||||||
|
Дисперсия случайной величины |
обозначается |
или |
||||||||||||
|
(Она).определяется как |
[( |
− |
|
) ] = |
( |
) − |
|
. |
|
|||||
|
Дисперсия является= |
|
|
(2.17) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
показателем рассеяния случайной величины по отношению к ее среднему значению. Чем больше
23
дисперсия, тем более вероятно, что случайная величина будет принимать значения, далекие от среднего.
Дисперсия имеет такие свойства: |
|
|
|
|
|
|||||||||
1) Var (X) 0; |
|
|
), |
|
|
|
|
|
||||||
2) Var (cX) = |
|
Var (X) ; |
|
|
|
|
|
|||||||
ванными). (∑ |
|
|
) = ∑ |
|
( |
|
|
|
|
|
||||
3) Var |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если значения |
|
|
являются независимыми (или некоррелиро- |
|||||||||||
Стандартное отклонение случайной величины |
опреде- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляется как |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наиболее=точное толкование стандартного |
отклонения |
|||||||||||||
может быть дано, когда |
|
имеет нормальное распределение. |
||||||||||||
Показателем линейной зависимости между случайными |
||||||||||||||
величинами |
|
и |
|
|
(где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, п) является |
|||||||||
ковариация, которая обозначается |
|
или Сov( |
, |
) и опреде- |
||||||||||
ляется как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
||
|
|
симметричны, т.е. |
|
|
|
|
||||||||
Ковариации= |
|
|
− |
|
− |
|
= |
, |
и −если |
i j, то |
||||
С =При = |
|
=. |
0 случайные величины и |
считаются некор- |
||||||||||
релированными. Легко доказать, что если |
и |
|
являются не- |
|||||||||||
зависимыми случайными величинами, то |
= 0. Однако об- |
|||||||||||||
ратное утверждение не является справедливым. Тем не менее, если и являются совместно нормально распределенными
случайными величинами с |
= 0, то они являются также и |
независимыми. |
|
Приведем два определения, которые помогут уяснить значение ковариации. Если > 0, то и считаются положительно коррелированными величинами. Тогда имеет место
тенденция |
возникать совместно |
24 |
|
и |
|
, а также |
|||
< |
и |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Таким образом, |
> |
|
< |
|
|
коррелированных случайных величин имеет большое значение, другая, скорее всего, тоже будет иметь большое значение.
Если < 0, то и считаются отрицательно коррели-
рованными величинами. В этом случае тенденцию возникать
совместно имеют |
и |
, а также |
|
и |
|
. |
|
отрицательно коррелированных |
|||||
Таким образом, если>одна из< |
|
< |
|
> |
|
|
случайных величин имеет большое значение, другая, скорее всего, будет иметь маленькое значение.
Если |
|
представляют собой выходные данные |
моделирования, |
часто нужно знать не только среднее значение |
|
,,…, |
|
|
и дисперсию при i = 1, 2, ..., п, но и показатель зависимости
между и при i j. |
|
|
Однако сложность использования ковариации |
в каче- |
|
стве показателя зависимости между и и |
заключается в |
|
том, что она не является безразмерной величиной, что услож-
няет ее толкование. (Если |
и измеряются, например, в ми- |
нутах, то ковариация |
будет измеряться в минутах в квад- |
рате.)
В связи с этим в качестве основного показателя линейной
зависимости между |
используется корреляция |
, опреде- |
||||
ляемая по формуле |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
= 1,2,…, ; = 1,…, |
(2.19) |
|
|
|
||||
|
||||||
Корреляцию между |
и |
|
|
можно обозначать и как Cor( , |
||
), так как знаменатель в формуле имеет положительное зна-
чение, |
естественно, что |
корреляция |
будет иметь тот же |
||||
знак, что и ковариация |
. Более того, |
то |
|
|
при всех i и j. |
||
Если |
|
|
|
|
и |
– сильно по- |
|
|
имеет значение, близкое к +1, −1 |
|
1 |
|
|||
ложительно коррелированные величины. Если |
близко к –1, |
||||||
то |
и |
– сильно отрицательно коррелированные величины |
|||||
[17, 25, 38, 64,]. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
25 |
|
|
|
|
2.2. Основные законы распределения случайных величин
2.2.1. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , если её плотность вероятности f(x) имеет вид:
( ) = √ |
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
( |
) |
(2.20) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
Кривая нормального распределения f (x) (нормальная кривая или кривая Гаусса) приведена на рис. 2.1.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0 и =1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандарт-
ной или нормированной.
Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а её дисперсия - квадрату параметра , т.е. М(X) = a,
D(X) = .
Рис.2.1. Кривая нормального распределения
Наиболее важные свойства случайной величины, распределённой по нормальному закону:
1. Вероятность попадания случайной величины в интервал ( , ), равна
26
( < < ) = Ф( ) −Ф( ) , |
(2.21) |
где = , = .
2.Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределённой по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину>0, равна
где |
(| − |
| |
|
) = 2Ф( ), |
(2.22) |
|
|
|
|
=
3. «Правило трёх сигм». Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего
квадратического отклонения, т.е. |
|
(| − | 3 ) 1. |
(2.23) |
4.Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале (a – 3 , a + 3 ).
5.Коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределённой случайной величины равны нулю [38].
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.
2.2.2. Биномиальный закон распределения
Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ...,
m, ..., n с вероятностями |
= |
) = |
(2.24) |
||
где |
0 < |
( |
|||
|
< 1, = 1 − |
, |
= 0,1,2,…, |
|
|
Биномальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = m наступлений события A в n не-
27
зависимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 – р = q.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:
|
( + ) = + |
+ |
( −1) |
|
+ |
|
+ + |
+ + |
|||
где – |
вероятность того, что при n |
испытаниях событие А |
|||
1 −2 |
|
||||
наступит n раз; – вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу; – вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Ā
наступит n – m раз; |
− |
число сочетаний (комбинаций) появ- |
||
ления события А и Ā. |
|
|||
Числовые характеристики биномиального распределения: |
||||
1) |
|
– математическое ожидание частоты появ- |
||
ления события( ) =А при n независимых испытаниях; |
||||
2) |
|
– дисперсия частоты появления события А; |
||
3) ((m)=) = |
|
– среднее квадратическое отклонение час- |
||
|
||||
тоты.
На рис.2.2 приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n = 5 и p (для p = 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).
28
Рис. 2.2. Кривые биномиального распределения
Биномиальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях [17].
2.2.3. Закон распределения Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ...
(бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями
( = ) = |
|
|
! , |
(2.25) |
где m = 0, 1, 2, ...
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
На рис. 2.3 приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром (для = 0,5; 1; 2; 3,5; 5).
29
Рис. 2.3. Кривые распределения Пуассона
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра этого закона, т.е. M(X) = , D(X) =
.
При условии p 0, n , np = const закон распределения Пуассона является предельным случаем биноминального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.
Наряду с «предельным» случаем биномиального распределения закон Пуассона может возникнуть и в ряде других случаев. Так для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение. Также по закону Пуассона распределены, например: число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.
Если случайная величина представляет собой сумму двух независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона [19].
30