3841
.pdf
значениях параметров |
и |
АР уравнения. При построении |
||||||
зависимостей КФ на рис. 3.4 коэффициенты ( ) |
подбира- |
|||||||
лись из различных областей треугольнике допустимых, |
значе- |
|||||||
ний (рис. 3.3), но с учетом дополнительного условия |
|
|||||||
таким{ |
} = 0,9 |
|
|
|
|
|
|
3.5, |
|
|
. Для всех КФ, представленных на рис(.1) = |
||||||
|
дополнительным условием является один и тот же ин- |
|||||||
0,5 [16]. |
|
= 7 |
на уровне |
0,5 |
, т.е. |
( |
= 7) = |
|
тервал корреляции |
|
|
|
|
||||
3.4.2. Модели авторегрессии-скользящего среднего
Стохастический линейный процесс можно представить как выходной сигнал линейного фильтра, на вход которого по-
ступает белый шум (рис. 3.6) |
|
|
|
|||||
|
|
= + |
+ + |
(3.16) |
||||
|
= + |
+ |
|
= ( |
) |
|||
ваемый( ) = 1+ |
|
|
+ |
- линейный оператор, назы- |
||||
где |
|
|
|
|||||
|
передаточной функцией фильтра [10]. |
|
||||||
|
Последовательность , |
образованная |
весами, |
|||||
, ,…
теоретически может быть конечной или бесконечной. Если эта последовательность (конечная или бесконечная) сходящаяся,
фильтр называется устойчивым, а процесс |
будет стацио- |
|||||||||||||||||||||||||
нарным. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.6. Представление временного ряда с помощью линейного фильтра
141
|
Модель |
|
|
авторегрессии |
(3.14) |
|
выражает |
|
от- |
||||||||||||||||||
счет процесса |
|
|
в виде конечной взвешенной суммы |
n |
|
пре- |
|||||||||||||||||||||
дыдущих отсчетов процесса |
|
|
тип моделей, |
имеющий |
|||||||||||||||||||||||
плюс случайный |
отсчет |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
. Другой, |
,…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
большое |
значение |
в описании |
СП, – это так |
называе- |
|||||||||||||||||||||||
мый процесс скользящего среднего. Пусть |
|
|
линейно зави- |
||||||||||||||||||||||||
сит от конечного числа m предыдущих отсчетов |
: |
|
(3.17) |
||||||||||||||||||||||||
|
Такой= |
|
− |
|
|
|
|
− |
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
процесс |
|
|
|
называется процессом скользящего |
||||||||||||||||||
среднего порядка m. |
Заметим, что веса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на которые умножаются |
|
, не обязаны |
давать в сумме единицу |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1,− |
|
, |
|
,…,− |
|
, |
||||||||||||||||||
или хотя бы быть положительными [10]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Если определить оператор скользящего среднего поряд- |
||||||||||||||||||||||||||
скользящего |
( ) |
= 1 − |
|
|
|
− |
|
− − |
|
|
|
, |
то |
модель |
|||||||||||||
ка |
m как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
среднего можно сжато записать, как |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Она содержит m+2 неизвестных параметра: |
|
= |
( |
), ,. |
|||||||||||||||||||||||
которые должны на практике оцениваться по |
наблюдениям. |
||||||||||||||||||||||||||
, |
|
|
,…, |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
Для достижения большей гибкости в подгонке моделей к наблюдаемым временным рядам иногда целесообразно объединить в одной модели и авторегрессию, и скользящее среднее. Это приводит к комбинированной модели авторегрессии -
скользящего среднего [10]. |
|
− |
|
− − |
|
(3.18) |
|||||
или= |
|
+ + |
|
+ |
|
|
|
||||
|
( ) |
= ( ) |
, в которой имеется |
+ |
+2 |
неизвест- |
|||||
|
|
|
|
||||||||
ных параметра: ; ,…, ; ,…, ; , оцениваемых по на-
блюдениям.
На практике часто оказывается, что адекватное описание наблюдаемых временных рядов достигается при помощи моделей авторегрессии, скользящего среднего или комбинированной модели, в которых p и q не больше, а часто и меньше 2 [12].
142
3.5.Методы моделирования случайных процессов
Большой класс СП, имеющих место в информационноизмерительных системах, системах автоматического управления, а также в каналах связи, подверженных воздействию слу-
чайных возмущений описывается с помощью ДУ вида |
(3.19) |
|||||||
где |
|
̇= |
, , |
-(вектор) , (0) = , |
[0, |
] |
||
( ( ),…, |
( )) |
|
|
|
|
|
||
|
состояния |
системы, |
|
|||||
-)векторный стационарный СП. |
( ) = |
|||||||
|
= ( |
,… |
||||||
При исследовании на вычислительной технике системы (3.19) необходимо получать реализации СП. Ниже приводятся некоторые распространенные на практике методы моделирования гауссовских стационарных СП.
При имитации системы (3.19) на вычислительной технике осуществляется переход от непрерывной системы к ее дискретной модели. Как правило, используются численные методы, входящие в математическое обеспечение вычислительной техники (например, метод Рунге-Кутта и его модификации) [89]. При этом возникают методические ошибки, в том числе и при получении реализаций СП. Величина ошибок определяется выбранным шагом интегрирования h .
Для линейных стационарных систем, находящихся под воздействием гауссовских стационарных случайных возмущений, могут быть получены алгоритмы моделирования, лишенные методических ошибок. Они основаны на методе дискретизации линейных стохастических уравнений. Метод дискретизации дает сравнительно простые и легко реализуемые алгоритмы моделирования гауссовских векторных и скалярных СП с дробно-рациональным спектром высокого порядка. Помимо задач цифрового моделирования алгоритмы дискретизации оказываются полезными при расчетах корреляционных характеристик линейных систем и применении методов оптимальной фильтрации к обработке СП.
143
В настоящее время разработан ряд методов моделирования гауссовских стационарных СП x(t) с заданными характе-
ристиками: математическим ожиданием |
|
|
|
|
, |
|||||||||||
КФ |
или спектральной плотностью |
|
. При |
решении |
||||||||||||
задач |
(моделирования) |
в |
целях удобства( |
|
)зачастую |
счита- |
||||||||||
ют математическое ожидание нулевым, |
а дисперсию |
- еди- |
||||||||||||||
ничной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Использование преобразования |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
позволяет получить |
процессы с требуемыми значениями этих |
|||||||||||||||
|
|
( ) = |
+ |
|
( ) |
|
|
|
|
|||||||
характеристик. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
известно(,) |
|
|
|
|
|
из |
|
. |
|
|
||||
|
Как |
|
любая |
|
|
функций |
||||||||||
|
= 0, |
|
( ) |
= 1 |
|
|
класс( ) |
|||||||||
или |
описывает |
полностью |
рассматриваемый |
|||||||||||||
процессов( .) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обе |
характеристики |
связаны |
взаимно |
однознач- |
|||||||||||
но преобразованиями Фурье [88]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( ) = |
|
|
( ) |
|
|
|
(3.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Обычно задача( |
|
) = |
2 |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
(3.21) |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
формулируется следующим образом. По |
|||||||||||
известным |
характеристикам |
|
процесса |
|
(математическо- |
|||||||||||
му ожиданию, дисперсии и |
КФ или спектральной плотности) |
|||||||||||||||
требуется построить вычислительный алгоритм, позволяющий получать на вычислительной технике реализации СП x(t) или
последовательностей |
|
. В |
гауссовском случае |
|
математическим ожиданием и КФ, |
||
модель процесса, заданная, = 0,1,2,… |
|
|
|
является полностью |
определенной. |
Шаг дискретиза- |
|
ции t может быть не равен шагу интегрирования h системы
(3.19).
Известные методы можно разбить на две большие группы: точные (метод рекуррентных алгоритмов дискретиза-
144
ции) и приближенные (методы формирующего фильтра, скользящего суммирования). В точных методах отсутствует
методическая ошибка по КФ, т. е. КФ |
[ |
по- |
||||||
следовательности |
|
равна |
дискретным[ ] = |
значениям] |
||||
КФ |
( |
|
) |
моделируемого процесса с |
непрерывным |
|||
временем( ) |
[96]. |
|
|
|
|
|
||
Для приближенных методов равенство заданных и воспроизводимых на вычислительной технике характеристик выдерживается не точно, с некоторой погрешностью [96]. В настоящее время практически отсутствуют работы по анализу погрешностей приближенных методов моделирования, поэтому основным и наиболее надежным способом контроля приближенных алгоритмов является статистическая обработка моделируемых реализаций [20, 67, 85, 93].
|
3.5.1.Метод формирующего фильтра |
|
|
|
||||||||||||
|
Формирующим фильтром называют динамическую сис- |
|||||||||||||||
тему, |
преобразующую СП |
|
|
вида белого шума в СП |
с |
|||||||||||
заданными статистическими(характеристиками) |
[3, 96]. Белый( ) |
|||||||||||||||
шум |
представляет |
|
собой |
стационарный СП с постоян- |
||||||||||||
ной спектральной плотностью |
|
|
. Его КФ имеет вид |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - дельта-функция Дирака, |
определяемая( ), |
соотноше- |
||||||||||||||
ниями( ) |
|
|
|
|
|
( ) |
= 2 |
|
|
|||||||
( ) = |
, |
|
= 0 |
|
|
( ) = 1. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0, |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную |
|
Полагаем |
|
процесс |
|
|
- |
гауссовским, |
|
нормирован- |
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
[ ( )] |
= 0 |
|
|
|
|
||||
ным условием |
|
|
|
, |
|
|
( ) |
|
. Чтобы найти передаточ- |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
функцию |
|
|
формирующего |
|
фильтра |
|||||||||
Ф(p) , спектральную плотность процесса x(t) представляют |
в |
|||||||||||||||
виде произведения двух комплексно сопряженных сомножите-
лей: |
145( ) (− ) |
(3.22) |
( ) = |
||
|
|
|
Формирующий фильтр с передаточной функцией
Ф( ) = ( )/ должен быть устойчивым. Отметим, что моделируемый процесс является стационарным с заданной спектральной плотностью лишь при t . Для дробнорациональной спектральной плотности ( ) функция Ф( ) и ция Ф( ) имеет вид
|
|
|
|
1 |
( |
) |
|
|
||||
где |
- |
|
Ф |
= |
|
|
|
( |
) |
(3.23) |
||
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
вует ДУ( |
|
полиномы( ) |
степени m, n, m<n. Ей соответст- |
|||||||||
,)записанное, ( ) |
в операторной форме: |
|
|
|||||||||
От этого уравнения( ) ( ) =с |
помощью( ) ( ), = |
(3.24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известных преобразований легко перейти к системе ДУ первого порядка [96]. Стационарный СП x(t) может быть представлен первой компонентой n- мерного марковского процесса
|
|
|
|
( ) = [ ( ),…, ( )] , ( ) = ( ), |
|
|
|||||||||||||
удовлетворяющего уравнению |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Если |
|
|
|
( ) = |
|
̇= |
|
|
+ |
|
|
|
(3.25) |
|||||
|
|
|
√2 |
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ +, , |
|
|||||||
то матрица A и вектор( ) =B |
равны |
|
|
+ + |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 1 0 … 0 |
|
|
, |
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
… |
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
… |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
(3.26) |
||
|
= |
… |
|
… |
… |
… |
|
… |
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
− |
0 |
0 |
|
… |
|
1 |
|
|
… |
|
|
|
||||
где |
− |
|
|
( |
) |
… |
− |
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
.(3.27) |
||
|
( |
|
|
) − |
|
|
|
|
|
− |
+1,…, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146 |
|
|
|
|
|
|
Процесс |
- гауссовский с нулевым средним. После |
|||||||
окончания переходного( ) |
процесса в |
|
|
|
уравнении |
|||
(3.25)корреляционная матрица |
|
|
|
, |
установившего- |
|||
ся стационарного процесса |
находится из уравнения: |
|||||||
|
Г = |
[ |
] |
|
(3.28) |
|||
Белый шум с |
|
Г+ Г |
+ |
|
= 0 |
|||
|
бесконечно большой дисперсией является |
|||||||
абстрактным физически нереализуемым процессом. Для моделирования формирующего фильтра на вычислительной технике разработаны различные способы, требующие предварительных вычислений [96].
Приведем приближенный и достаточно простой метод интегрирования на цифровой вычислительной технике уравнений формирующего фильтра [20]. На вычислительной тех-
нике моделируется дискретный белый шум |
|
дискрет- |
|||||||||||||||||||
0,1,2,…, |
|
|
|
с |
шагом h, |
|
|
порождаемый |
|
||||||||||||
цесс |
|
|
- некоррелированы. Рассмотрим |
|
|
(0,1), = |
|||||||||||||||
ным белым(шумом) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность процесса |
|
равна |
|
|||||||||||
|
|
Спектральная( ) = |
|
, |
|
[ |
,( +1) ]. |
|
|||||||||||||
|
|
При h |
|
и |
|
= |
|
|
|
|
( /2) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( ) |
2 |
|
|
|
|
/2 |
|
диапазоне |
частот |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
фиксированном |
|
|
|||||||||||||
[0, ] функция |
стремится к постоянной спектраль- |
||||||||||||||||||||
ной плотности, причем( )максимальное по отклонение дости- |
|||||||||||||||||||||
гается |
|
на |
|
конце |
промежутка |
|
при |
= . |
Относитель- |
||||||||||||
ная погрешность в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имитации |
||||||
|
|
( ) свойств белого шума |
характеризуется величиной |
||||||||||||||||||
сом |
|
( |
|
)| |
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где - заданное значение погрешности. Из неравенства (3.29) получаем неравенство = 2 3 / , позволяющее выбрать величину h. Величина определяет тот частотный диа-
147
пазон, в пределах которого необходимо воспроизводить спек-
тральную плотность |
моделируемого процесса. |
|||||||||||
где |
|
Значение находится( ) |
из условия |
(0)} < |
|
|||||||
|
> 0 |
- заданнаяsup |
|
[ |
, |
]{ ( |
|
)/ |
, |
|||
тот |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
малая величина. При этом диапазон час- |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
должен перекрывать полосу пропускания системы, на вход которой подается процесс x(t).
Уравнение формирующего фильтра при моделировании на вычислительной технике, получается из формулы (3.24) при
= /2 и имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) ( ) = |
|
( ) |
|
( ) |
(3.30) |
|
|
где h - шаг интегрирования ДУ формирующего фильтра. При моделировании на вычислительной технике от этого уравнения следует перейти к системе ДУ первого порядка.
Векторному уравнению (3.25) соответствует уравнение
̇ ̇
|
|
1 |
|
|
( ) |
|
|
|
||
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
(3.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Начальные условия задаются такими, чтобы можно бы- |
|||||||||
ло |
исключить переходный√ |
процесс: |
~N(0,Г), |
Г - |
||||||
корреляционная матрица, |
определяемая из( |
)уравнения |
(3.30). |
|||||||
При нулевых начальных условиях следует отбросить началь-
ный |
отрезок |
реализации длиной |
. |
Для |
процессов |
||||
с типовыми нормированными КФ |
приведены расчеты, |
||||||||
показывающие, |
что |
|
величина( ) |
приближенно |
|||||
чина |
(1…3) |
|
, где - интервал корреляции процесса. Вели- |
||||||
на |
|
|
|||||||
|
|
определяется условием |
|
|
=0,05, где в случае не- |
||||
однозначности |
в качестве берется( |
|
наибольший) |
из корней |
|||||
уравнения [96].
148
3.5.2.Дискретные модели линейных стационарных систем и стационарных случайных процессов
Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему при действии возмущений, заданных в виде стационарных СП. Полагаем, что СП выражаются с помощью формирующих фильтров (3.31) через белый шум. Последовательное соединение исходной системы и формирующего фильтра
образует эквивалентную систему [96]. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
где |
Такая система может быть описана векторным ДУ |
|
||||||||||||||||||
- n-мерный вектор |
̇= |
|
|
+ |
|
|
( ) |
|
(3.32) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состояния, |
|
|
|
|
- |
||||||
матрицы постоянных |
|
коэффициентов |
размеров n n и n m; |
|||||||||||||||||
|
= |
, = |
|
|||||||||||||||||
|
|
m -мерный гауссовский белый шум с нулевым средним |
||||||||||||||||||
чальные условия |
|
( |
|
) |
= |
|
( |
|
) |
; |
|
− |
единичная матрица. На- |
|||||||
и(матричной) - |
КФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
-(0,Г ), |
Г |
|
представляют |
|
собой |
гауссовский вектор |
||||||||||||
|
~ |
, -корреляционнаяматрица, |
и |
|
|
|||||||||||||||
|
( ) |
независимыеслучайныевекторы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Дискретизация системы. Для моделирования системы |
|||||||||||||||||||
(3.32) на цифровой вычислительной технике перейдем к дис-
Выразим |
( ) |
через матричную экспоненту |
||||||||||
кретной модели. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
! |
|
|
|
( |
) |
(3.33) |
|
||||
(t) = e |
+ |
|
|
( |
|
) |
|
(3.34) |
||||
|
) |
|
|
|
|
|||||||
Используя свойство ( |
|
|
|
, |
представим про- |
|||||||
цесс (t) и момент |
+ |
в следующем виде |
: |
|
|
|
||||||
( + ) = |
|
|
|
+ |
|
( |
) |
|
( ) + |
|
||
149
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
(3.35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
- шаг дискретизации. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Соотношению (3.35) соответствует рекуррентное урав- |
||||||||||||||||
нение |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
(3.36) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
= ( ); |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
( |
( |
|
) |
|
( ) |
|
(3.37) |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
− ) |
|
|
|
|||||||
ная |
|
|
Векторы |
вид |
|
являются |
|
|
независимыми |
||||||||||
|
|
~ |
(0, |
|
) |
|
зависят |
|
|
от |
. |
Корреляцион- |
|||||||
ми |
|
|
|
|
и |
не |
|
|
|||||||||||
|
матрица |
имеет |
( ) |
( ) |
, |
|
|
( ) м = |
|
(3.38) |
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Представим |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.39) |
||||||
|
|
|
|
|
- матрица |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
порядка n r , |
r - ранг матрицы . |
||||||||||
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
может |
|
|
|
|
|
быть |
выражен |
||||||
|
|
|
= |
(0, |
) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
формулы |
равенством |
|
|
|
|
. |
Отсюда |
и из |
|||||||||||
рез |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(3.36) следует уравнение |
, |
|
|
|
|
= 0,1,… |
(3.40) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
||||||
Уравнение (3.40) может использоваться для моделирования динамической системы на вычислительной технике, а также для получения реализации стационарных СП, заданных уравнением формирующего фильтра. Моделирующий алго-
150