3684

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

r 2 (1 sin 2 ) 2r cos 2 cos 2 sin 2 ],

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

10.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

nˆ(t)

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

среды распространения [4-6].				h	e j 1 re j 2	j(re j 2	e j 1 )
Важнейшим	критерием,	характеризу-	П		j(re j 1 e j 2 )	re j 1	e j 2	, (2)
				2
ющим качество используемых систем связи

и управления	[7, 8],	является β-	где φ1, φ2 – добавки фаз нормальных волн,
эффективность, определяющий параметр ко-
			приобретаемые по траектории прохождения

торой – выигрыш В – имеет вид [9, 10]	в анизотропной среде;

В	QНЧ	,	(1)

	QВЧ

то есть В – отношение средних мощностей сигнала и помехи на входе QВЧ и выходе QНЧ приемника.

Произвольный вектор поля излучаемой волны можно представить в виде суперпозиции его компонент по ортогонально ориентированным ортам, образующим полную систему координат.

В поляризационно-линейном базисе гиротропная среда прохождения двумерного колебания описывается матрицей пропускания

r1 r2	1			r1,2	EY1, 2
		r2			EX 1, 2

			,			– отноше-
			,			– отноше-

ние линейно-поляризованных составляющих нормальных волн;

h	2

	r 2
1	r 2
		– коэффициент энергети-

ческого баланса.

Процесс распространения двумерного колебания в анизотропной среде представляется матричным уравнением

			(3)
EР П ЕИ .

Выходные эффекты кроссполяризованных антенн приобретают вид

	е (t) E			h	Re (e j 1		re j 2 ) cos (re j 2	e j 1 )sin } nˆ(t),
	е (t) E				Re (e j 1		re j 2 ) cos (re j 2	e j 1 )sin } nˆ(t),
	1		0 2
е (t) E		h	Re j(re j 1			e j 2 ) cos j(re j 1 e j 2 )sin } nˆ(t),			(4)
е (t) E			Re j(re j 1			e j 2 ) cos j(re j 1 e j 2 )sin } nˆ(t),			(4)
2	0 2

где – центрированная неполяризованная помеха.

При определенных характеристиках идеального приемника, флуктуационной помехи на его входе и заданной мощности сигнала, несущего передаваемое сообщение (команду управления), предельный выигрыш

системы передачи информации (1) определяется величиной искажения исходного модулирующего сообщения на выходе идеального приемника [9]. Для колебания, прошедшего деполяризующую среду распространения, нормированный выигрыш в каждой из ортогональных антенн запишется в виде

где	В Н	B1,2	; В1, В2	– выигрыши,
где	1,2	BПРЕД	; В1, В2	– выигрыши,
		BПРЕД

определяемые по выходам поляризационноортогональных приемных каналов с учетом влияния анизотропии среды, ВПРЕД – предельная величина выигрыша без учета поля-

ризационных замираний, то есть при отсутствии деполяризующей среды, индексы 1, 2 соответствуют приему сигнала на антенны с совпадающей и ортогональной поляризациями;

2Φ = φ2 – φ1 – угол поворота эллипса поляризации информационного сигнала за

ских моментов mΦ

ВЫПУСК № 4 (14), 2018

ISSN 2618-7167

счет анизотропии среды.

В первом приближении можно считать, что статистические неоднородности среды по траектории распространения приводят к случайному распределению удвоенного угла ориентации плоскости поляризации 2Φ и величины r, характеризующих искажение формы эллипса поляризации, и для их статистического описания, учитывая большое

M[ВН	] (ВН )		1	[(	2В1,2Н	)
		m ,mr					m
1,2	1,2		2		r2

число независимых факторов, вызывающих эти вариации, можно воспользоваться нормальным законом распределения вероятностей. Тогда, задавшись нормальным законом распределения для параметра r и нормальным распределением случайного угла Ф, первые два момента случайной величины

В1,2Н приобретают вид

	2ВН
,mr Dr (	1,2	)m ,mr	D ],	(6)
	2

D[В Н

] (

В1,2Н

(

В1,2Н

[(

2 В1,2Н

1,2

m mr

m ,mr

2 m ,mr

(7)

В Н

(

1,2

] (

1,2

D D ,

m ,mr

,mr

где mr, Dr – математическое ожидание и дисперсия параметра r; mΦ, DΦ – среднее значение и дисперсия случайного угла Ф.

На рисунке 1 представлена зависимость

среднего значения M В1,2Н от статистиче- и DΦ для некоторых зна-

чений угла эллиптичности φ и дисперсии угла ориентации поляризационного эллипса. Сплошная линия определяет среднее значение выигрыша в канале с совпадающей по поляризации антенне, разрывная – в ортогональном канале.

	M[ВН ]
	1,2
					D=0,3
						0

		0,75
		0,75

	0,5
						6
	0,25					0

						φ=0

	0				mΦ
			2
						В Н
		Рис.1 - Зависимость среднего значения выигрыша				1,2
		Рис.1 - Зависимость среднего значения выигрыша
		для ортогональных линейно поляризованных антенн
На рисунке 2 представлены дисперсии				пространения и поляризационной структуры
Н	в зависимости от деполя-			поля излучения. Максимальный разброс ве-
выигрыша D В1,2	в зависимости от деполя-			личины выигрыша имеет место в интервале
ризующих свойств анизотропной среды рас-				наиболее вероятной поляризационной орто-

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

гональности приходящего двумерного сигнала и характеристик приемного устройства.

D[ВН ]

1,2

D=0,9

0,3

0,2

0,1

mΦ

Рис. 2 - Зависимость дисперсии выигрыша информационной системы от условий

распространения и поляризационных характеристик излучаемых колебаний

Отсюда следует, что для достижения

тов с автоматическим управлением / В.К.

необходимого качества

работы

системы

Маршаков, А.Д. Кононов, А.А. Кононов

// В

управления ее приемное устройство должно

сборнике: Радиолокация, навигация, связь.

осуществлять адаптивное слежение и пере-

XXI Международная научно-техническая

стройку поляризационной структуры антен-

конференция. – Воронеж. – 2015. – С. 1296–

ны таким образом, чтобы ее поляризацион-

1304.

ные характеристики совпадали с наиболее

Маршаков В.К. Определение ди-

вероятными значениями параметров поляри-

электрических

параметров

объектов

СВЧ

зации в принимаемом колебании.

измерителем с антеннами ортогональной по-

Библиографический список

ляризации

В.К.Маршаков,

А.Д.Кононов,

А.А.Кононов

// Вестник Воронежского гос-

1. Авдеев Ю.В. Разработка алгоритма

ударственного университета. Серия: Физика.

определения координат в задаче дистанци-

Математика. – Воронеж. – 2006. – № 2.– С.

онного управления движением

машинно-

91–93.

тракторных агрегатов /

Ю.В. Авдеев, А.Д.

Устинов

Ю.Ф. Методологические

Кононов, А.А. Кононов // В сборнике: Меха-

основы

экспериментального

определения

низация и электрификация сельского хозяй-

некоторых

физико-механических

свойств

ства. – Минск. – 2012. – № 46. – С. 24–31.

разрабатываемого

грунта

Ю.Ф.Устинов,

2. Кононов А.А.

Экспериментальное

А.Д.Кононов, А.А.Кононов // Известия выс-

определение уровня опорных сигналов для

ших

учебных

заведений. Строительство. –

системы автоматического управления рабо-

2005. – № 11–12. – С. 109–113.

чим органом автогрейдера / А.А. Кононов //

Кононов

А.А. Разработка

системы

Известия высших учебных заведений. Стро-

автоматического управления рабочим орга-

ительство. – 2000. – № 7–8. – С. 99.

ном

землеройно-транспортной машины //

	3. Маршаков В.К. Анализ систем тра-	Автореферат диссертации на соискание уче-
	екторного сопровождения мобильных объек-
		ной степени кандидата технических наук /

ВЫПУСК № 4 (14), 2018

ISSN 2618-7167

Воронеж, 1998.

7.Кононов А.Д. Обработка информации радионавигационной системы для согласования с исполнительными механизмами мобильного объекта / А.Д. Кононов, А.А. Кононов, А.Ю. Изотов // В сборнике: Информатика: проблемы, методология, технологии. Материалы ХV международной науч- но-методической конференции. – Воронеж. –

2015. – С. 99–102.

8.Сазонов Э.В. Оценка эффективности прогнозирования состояния трубопроводов тепловых сетей / Э.В. Сазонов, М.С. Коно-

УДК 517. 93

Воронежский государственный технический университет, Кафедра прикладной математики и механики, Канд. физ.-мат. наук, доцент А.Б. Кущев

Россия, г. Воронеж, E-mail: vmkaf@vgasu.vrn.ru

нова // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 1999. – № 12. – С. 64.

9.Смирнов В.А. Приближенные методы расчета искажений в системах передачи информации / В.А. Смирнов – М.: 1975. – 342с.

10.Кононов А.Д. К вопросу оптимизации информационных систем передачи команд управления через анизотропные среды / А.Д. Кононов, А.А. Кононов, С.А. Иванов // Информационные технологии в строительных, социальных и экономических системах.

–2018. – № 1–2. – С. 29–34.

Voronezh State Technical University,

Department of applied mathematics and mechanics

Ph. Phy.-Mat. Sciences, docent A.B. Kushchev

Russia, Voronezh, E-mail: vmkaf@vgasu.vrn.ru

А.Б. Кущев

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5-ГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ ОТСУТСТВИЯ ПЕРВОЙ И ТРЕТЬЕЙ ПРОИЗВОДНЫХ В ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ

Аннотация: Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение пятого порядка с существенной нелинейностью и периодическим возмущением, для которого методом направляющих функций доказывается новая теорема о существовании периодических решений. С помощью принципа родственности полученный результат обобщается на соответствующее дифференциальное уравнение пятого порядка с запаздывающим аргументом

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, периодические решения, направляющие функции

A.B. Kushchev

EXISTENCE PERIODIC SOLUTION ONE CLASS DIFFERENTIAL EQUATION FIVE ORDER WITH ESSENTIAL NONLINEARITY WITHOUT FIRST AND THIRD DERIATIVE IN LINEAR PART

Abstract: Considered ordinary differential equation five order with essential nonlinearity and periodic perturbation, for which with method directing function prove new theorem existence periodic solution. With the help of principle related obtained resultant generalize on corresponding differential equation five order with retarding argument

Keywords: differential equation, periodic solution, directing function

Рассмотрим 3 обыкновенное дифферен-

циальное уравнение пятого порядка:
x(5)+a4x(4)+a3x'''+a2x''+a1x'+f(x)+φ(t, x, x',	(1)
x'', x''', x(4)) = 0,	(1)

где функции f(x), φ(t, x1, x2, x3, x4, x5) непрерывны по совокупности переменных

(– ∞ < t, x1, x2, x3, x4, x5 < ∞), а функция φ(t, x1, x2, x3, x4, x5) = φ(t, X)

ω-периодична по t:

φ(t+ω, X) = φ(t, X).

(2)

Нас будет интересовать вопрос о существовании ω-периодических решений у уравнения (1). Исследование будет проводиться методом направляющих функций [1].

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Всюду ниже мы будем предполагать,

что

k1 < f(x) / x < k2	(\|x\| > R1, k1k2 > 0),	(3)
и равномерно относительно t
lim	(t, X ) 0	(4)
\|\| X \|\|	\|\| X \|\|

где	\|\| X \|\|	x2 x2 ... x2
		1	2	5 .
	Положим				х1 х,	х2 х1 ,
х3 х2 , х4		х3 ,	х5 х4	и перейдем от урав-
нения (1) к эквивалентной системе

(5)

Наряду с системой (5) рассмотрим "укороченную" систему

(6)

С помощью достаточного признака существования правильной направляющей функции [2] в работе [3] доказано, что справедливы

Лемма 1. Пусть выполнены условия (3)

и (4). Пусть функция V(X)=V(x1, x2, x3, x4, x5) имеет вид квадратичная форма плюс "инте-

грал от нелинейности", и ее производная в силу системы (6) удовлетворяет условию:

V k || X || 2

(k 0, || X || R0 ) .

(7)

Тогда функция V(X) является правильной направляющей функцией для системы

(5).

Лемма 2. В условиях предыдущей леммы индекс правильной направляющей функции V(X) вычисляется по формуле

ind V =–signk1 .

(8)

Напомним, что наличие у системы дифференциальных уравнений с периодической правой частью правильной направляющей функции ненулевого индекса гарантирует существование периодических решений

[1].

Имеет место Теорема 1. Пусть выполнены условия

(2)-(4) и, кроме того,

а1 =a3= 0 .

(9)

Тогда у уравнения (1) есть хотя бы одно ω-периодическое решение.

Доказательство. Рассмотрим сначала подслучай k1>0. Для доказательства возьмем правильную направляющую функцию в виде квадратичная форма плюс «интеграл от нелинейности»

Пусть сначала k1 0 . Положим

(10)

где				2	a2	2
						2
	2		2 1				a4	.	(12)
	2 k2
	2 k2	,	(11)
		,	(11)		V1 функции V1
	k1		Производная		V1 функции V1			в силу си-

стемы (6) равна

ВЫПУСК № 4 (14), 2018 ISSN 2618-7167

Подставив из (12) , получим

V x f (x ) x			2			2 a			2			x	2	2x	2	x	2		2 a				x x x f (x )
V x f (x ) x					1	2 a						x		2x		x			2 a				x x x f (x )
1	1 1	2						2				3		4		5					2		1 3 4 1

x2	1 2 a				2	a	4	x x 1 2 a										2 a		4		2 x2		,
2				2			4	2 4								2				4			4


откуда
			2							2			2		2		2		2 a2 x1x3 x4 f (x1).						(13)
V1 x1 f (x1) x2				1 2 a2							x3			2x4		x5			2 a2 x1x3 x4 f (x1).						(13)

Покажем, что существует такое число

R0 .

R 0,

при котором для функции Ляпунова-

Лурье V1 будет выполняться неравенство (7)

Пусть сначала

R1 . Тогда из (13),

k	1	(3), (11) и предполагаемого условия k1 0
	2
при		вытекает, что

Итак, V1

R1 .

при

Пусть теперь

R1 .

Положим

max

f x1

2 R2,

Так

как

то из (13) вытекает, что

V R M

2 a

Выберем теперь R0 настолько боль-

шим,

что

при

выполнялось

нера-

венство

2 a 2

R1 M1

R1M1 R12

Тогда

при

1 и

0 .

Следовательно,

функция V1 удовлетво-

k 1

ряет неравенству (7) при 2 .

Поэтому в силу леммы 1 функция V(X) является правильной направляющей функцией для системы (5), а в силу леммы 2 ind V

= −1 ≠ 0. Следовательно, у системы (5) и, соответственно, у уравнения (1) существует хотя бы одно ω-периодическоe решение.

Рассмотрим теперь подслучай k2 0 . Положим V2 по формуле (10), по которой определялась функция V1 , где

		2 k 2
			1		.
					.
			k2
Заметим, что	V2		k1,	k2		V1	k2 , k1	, по-
	V2		k1,	k2		V1	k2 , k1

этому, поменяв в предыдущих рассуждениях


k1 и	k2	местами, получим, что для функции

					1
V2 справедливо неравенство (7) при k							.
						2
	Поэтому		из	леммы	1 вытекает,			что
и в этом случае V2(X) является пра-
вильной		направляющей			функцией			для
системы		(5),	а в	силу	леммы 2 ind V2 =
1 ≠ 0. Следовательно, у					системы (5)			и,

соответственно, у уравнения (1) и в этом случае существует хотя бы одно ω- периодическоe решение.

Дифференциальное уравнение пятого порядка с простейшим запаздыванием

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

x(5)+a4x(4)+a3x'''+a2x''+a1x'+f(x)+φ(t, x(t), x'(t), x''(t), x'''(t), x(4)(t), x(t-h), x'(t-h),	(14)
x''(t-h), x'''(t-h), x(4)(t-h))=0,

где функции f(x), φ(t, x, y, z, u, v, x1, y1, z1, u1, v1) непрерывны по совокупности перемен-

ных, последняя функция ω-периодична по t:

φ(t+ω, X, X1)=φ(t, X, X1)

(15)

и равномерно относительно t, x1, y1, z1, u1, v1,

lim	(t, X , Х1 )	0 .	(16)
\|\| X \|\|	\|\| X \|\|

Нас будет интересовать ω - периодическиe решения у уравнения (14). Справедлива Теорема 2. Пусть выполнены соотношения (3), (15) и (16). Пусть выполнены условия (9) теоремы 1.

Тогда у уравнения (14) есть хотя бы одно ω – периодическое решение.

При доказательстве используется

УДК 614.8:69: 681.3

Воронежский государственный технический университет, Кафедра техносферной и пожарной безопасности, Канд. техн. наук, доцент С.А. Сазонова

Россия, г. Воронеж, E-mail: Sazonovappb@vgasu.vrn.ru

принцип родственности [1].

Библиографический список

1.Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анали-

за. – М.: Наука, 1975. – 512 с.

2.Кущев А.Б. Достаточный признак существования правильной направляющей функции для одного класса систем дифференциальных уравнений. // Прикл. методы функц. анализа. – Воронеж: изд-во BГУ, 1985. С. 100-110.

3.Кущев А.Б. О вынужденных колебаниях нелинейных систем пятого порядка. //

Application of Topology and Nonlin. Analisis in Texnolodgy and Building Engineering. – Gdansk University Press, 1997. C. 37-45.

Voronezh State Technical University, Department of technosphere and fire safety,

Ph. D. in Engineering, associate professor S.A. Sazonova Russia, Voronezh, E-mail: Sazonovappb@vgasu.vrn.ru

С.А. Сазонова

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ДИАГНОСТИКИ УТЕЧЕК С НЕИЗВЕСТНОЙ АМПЛИТУДОЙ ПРИ УЧЕТЕ ПОМЕХ ОТ СТОХАСТИЧНОСТИ ПОТРЕБЛЕНИЯ В СИСТЕМЕ ГАЗОСНАБЖЕНИЯ

Аннотация: Приведен алгоритм обнаружения утечек в системах газоснабжения. В качестве внешних стохастических источников помех выступают потребители газа. Комбинированная задача диагностики утечек решается при неизвестных значениях амплитуды и интенсивности шума. Задача решена для систем газоснабжения так как утечки газа в них могут вызвать аварии, взрывы и пожары, влекущие за собой существенные экономический и социальный ущербы

Ключевые слова: системы газоснабжения, диагностика утечек, алгоритм, безопасность функционирования

S.A. Sazonova

DEVELOPMENT OF DIAGNOSTICS OF LEAK DIAGNOSTICS WITH UNKNOWN AMPLITUDE IN THE ACCOUNT OF INTERFERENCE FROM STOCHASTICITY OF CONSUMPTION IN THE SYSTEM OF GAS SUPPLY

Abstract: An algorithm for detecting leaks in gas supply systems is given. As external stochastic sources of interference, gas consumers act. The combined problem of leak diagnostics is solved for unknown values of the amplitude and intensity of noise. The problem is solved for gas supply systems because gas leaks in them can cause accidents, explosions and fires, which entail significant economic and social damage

Keywords: gas supply systems, leak diagnostics, algorithm, operational safety

	Случаи4 обнаружения утечки в системе	газоснабжения (СГС) с неизвестной ампли-
		тудой в шуме, обладающем заданной интен-
©	Сазонова С.А., 2018	сивностью, либо утечки заданной величины
	Сазонова С.А., 2018

ВЫПУСК № 4 (14), 2018

ISSN 2618-7167

в шуме с неизвестной интенсивностью явля-

равномерно в диапазоне Δα=α2-α1. Шум яв-

ются более простыми задачами диагностики,

ляется гауссовым с корреляционной матри-

чем рассмотренная в данной работе комби-

цей Kξ = σ2‖δij‖, σ2 = 2ΔfN0 -

неизвестная

нированная задача. Такая комбинированная

интенсивность шума, которая распределена

задача является важным случаем диагности-

равномерно в интервале

σ2.

ки утечек, в котором как амплитуда, так и

Согласно приведенным выше результа-

интенсивность шума неизвестны одновре-

там оптимальный алгоритм обнаружения со-

менно и подлежат определению.

стоит в сравнении с соответствующим поро-

Пусть в моменты t1, … , tn наблюдается

гом отношения правдоподобия:

выборка Xn = {x1, … , xn}

случайного про-

P (X

|α , σ2 )

цесса x(t), которая может состоять из ком-

Λ(X

|α , σ2 , σ2 )

(2)

понент шума ξ(t) либо из компонент суммы

P2(Xn|σ22 )

сигнала αs(t) заданного вида с неизвестной

где применяются введенные ранее обозначе-

амплитудой α и шума. Интенсивность шума

ния, а * обозначены оценки максимального

от стохастичности потребления при этом

правдоподобия

соответствующих

парамет-

считается неизвестной.

ров.

Тогда определяемую

приемником ин-

Плотность

вероятности

P (X

|σ2)

формацию об утечке Xn можно записать в

оценка

определяются

соответственно

из

виде [1]	выражений

Xn = λαSn + Ξn

(1)

где λ=1 с вероятностью p1, λ=0 с вероятностью p2(p1 + p2) = 1, Sn - заданный вектор (si = s(t)), где s(t) - утечка, рассматриваемая как заданная функция координат и времени; α - случайный параметр, который попрежнему будем считать распределенным

P1(Xn|α, σ2) = (2πσ2)n/2 exp [−

Оценки максимального правдоподобия α и σ12 находятся из системы уравнений

σ22 = XnTXn/n

(3)

P (X

|σ2 ) =

exp (−

(4)

(2πσ2 )n/2

Плотность

вероятности

P (X

|α, σ2)

находится как

− αS

)T(X

− αS

)]

(5)

2σ2

(1/σ2)(Xn − αSn)TSn = 0,

∂lnP (X

|α, σ2)

∂lnP (X

|α, σ2)

(1/σ2)[n − (X

− αS

)T(X

− αS

)/σ2]

= 0, (7)

= 0,

= 0

(6)

∂α

∂(σ2)

откуда

После преобразований

эти

уравнения

XTS

примут вид

n n

∑ xisi

(8)

STS

i=1

σ2 (α ) =

− α S )T(X

− α S

)

∑(x

−α s

(9)

i=1

Отношение правдоподобия (2) определяется как

σ2

n/2

∑n

n/2

Λ(Xn

|α , σ12 , σ22 ) =

[

]

= {

i=1

}

(10)

σ12

∑i=1 xi

− E

(∑i=1 xisi)

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Здесь, как и ранее, принято E = ∑ni=1 si2. Отношение (10) должно сравниваться с

порогом

C =	g21	− g22 p2a2(Xn)	(11)

12	g12	− g11 p1a1(Xn)

Величина a2(Xn) относится к ситуации, когда имеется только шум неизвестной интенсивности:

a2(Xn) =	1		(2π)1/2			(12)
					B2,
		2		3 1/2	B2,
	∆(σ ) (n			/2)

Учитывая независимость и равномерность распределения для α и σ2, можно пока-

зать [1], что ω(α , σ12 ) = (Δα1 ) (Δσ12). Матрица D1 находится как

		∂2lnP		∂2lnP
−	1		−	1
−		∂α2	−	∂α ∂σ2
D1 = ‖		∂2lnP1		∂2lnP1	‖	. (14)
−			−
−	∂σ2 ∂α		−	∂(σ2)2		α=α

σ2=σ21

Согласно (7)

где B2 = XnTXn.

∂2lnP

| α=α = −

α=α

= −

(15)

σ2

B (α )

Величина a1(Xn) определяется как

∂α2

σ =σ1

где B (α) = (X

− αS

)T(X

− αS ).

a1(Xn ) ( *, 12*)

(13)

det1/ 2

∂2lnP

2B (α)

| α=α = −

(n −

) | α=α

= −

∂(σ2)2

2σ4

σ2

2 B2(α )

=σ1

∂2lnP

α=α

= −

(Xn

− α Sn)TSn| α=α

= 0.

(16)

∂α ∂σ2

σ4

σ2=σ12

Отсюда

а h = E/2σ2 (α )

оценочное значение

нормированного

отношения сигнал /

шум

detD1 =

(17)

h0 = E/2σ2 Если же считать, что α1 = 0, то

2 B3

(α )

13/2 (α )

g21

− g22 p2 √Δh0

n−2

a1(Xn) =

2π√2B

(18)

C(Xn) =

(

)

(22)

g12

− g11 p1

ΔαΔ(σ2)n2E1/2

В результате порог C12

имеет вид

σ2

− g

Δα

C =

√

. (19)

g12

− g11 p1 √π

2σ12 (α ) σ12 (α )

Сравнение с порогом (19) отношения правдоподобия (10) эквивалентно алгоритму, в соответствии с которым принимается решение о наличии утечки, если

σ12 /σ12 (α ) ≥ C(Xn)

(20)

где порог C(Xn) определяется так:

g21

− g22 p2 Δα

−2

(21)

C(Xn) = (

g12

√h0)

− g11 p1 √π

где Δh - оценочное значение диапазона изменения отношения сигнал / шум (при заданном диапазоне изменения амплитуды сигнала и оценочном значении интенсивности шума, полученном в предположении о наличии утечки). Выражение в скобках в (22) совпадает с соответствующим порогом при обнаружении утечки с неизвестной амплитудой в шуме известной интенсивности. Разница заключается в том, что истинный диапазон h заменен оценочным h*. Структура алгоритма, включая и зависимость порога от n, оказалась такой же, согласно [1], как и при обнаружении известной утечки в шуме неизвестной интенсивности.

При непрерывном наблюдении алгоритм (20) в результате предельного перехода

ВЫПУСК № 4 (14), 2018 ISSN 2618-7167

принимает следующий вид:										T
			∫T x2(t)dt					E0 = ∫ s2(t)dt			(24)
			0				≥ C[x(t)],	(23)	0
T			1		T	2	≥ C[x(t)],	(23)
T		2	1		T			Порог C[x(t)	]	определяется так:
{∫0	x		(t)dt −	E0	[∫0	x(t)s(t)dt] }		Порог C[x(t)		определяется так:

где

2 −

2ΔfT−2

C[x(t)] = C {∫ x2(t)dt −

[∫ x(t)s(t)dt] }

где

чии утечки принимается в случае, если

∑n

g21

− g22 p2

ΔfTEm

ΔfT−1

i=1

≥ C,

√

(26)

∑n

(x2

− y2)

C = (

)

i=1

− g

где

(25)

(28)

а Em = α22E0 -

максимальная

энергия

сигнала.

yn =

∑ xisi

(29)

В отношении алгоритма (23) в работе

√E i=1

[1] указаны условия, которые были примене-

После введения линейного преобразо-

ны к алгоритму непрерывных наблюдений.

вания

Шум здесь подразумевается не белым, а

Yn = GXn

(30)

имеющим полосу f. А алгоритм (23) явля-

с такой матрицей G, что GT = G−1, получим

ется лишь приближением

к оптимальному

= G−1Y = GTY ; Xt = YTG;

алгоритму. При применении процедуры оп-

тимизации алгоритмы (20) и (23) остаются в

Xt X

= YTGG−1Y

= YTY

(31)

силе, однако порог С становится постоянным

и определяется как

то есть

− g

2/n

C =

(

) .

(27)

(32)

g12 − g11

∑ xi

= ∑ yi

i=1

Характеристики

обнаружения

могут

В силу рассмотренных

ранее

свойств

быть получены в соответствии с [1]. Если

пренебречь зависимостью порога Xn, то ал-	Xn и G функция корреляции
пренебречь зависимостью порога Xn, то ал-
горитм будет следующим. Решение о нали-

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅	̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅	2	−1	2
(yi − y̅i)(yj − y̅j) = ∑ GikGj1	(xk − xk)(xl − x̅l) = ∑ σ GikGkj			= σ δij.
k,l=1		=1

При нахождении математического ожидания y̅i учтено, что согласно (29) и (30)

					(34)
		Gni = si/√E			(34)
	Из	условия G−1 = GT ,			т. е.
∑n	G G	= δ	ij	следует:
k=1	ik jk		ij

n	n	sk
∑ G G	= ∑ G	sk	= δ		.
∑ G G	= ∑ G		= δ		.
ik nk	ik	√E		in
k=1	k=1
Отсюда при i ≠ n			∑n		G s	k
			k=1		ik	k

значит, при λ=1

(33)

(35)

= 0, а

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202210.37 Mб03677.pdf
#
15.11.202210.41 Mб03678.pdf
#
15.11.202210.47 Mб03679.pdf
#
15.11.202210.65 Mб03682.pdf
#
15.11.202210.66 Mб13683.pdf
#
15.11.202210.67 Mб43684.pdf
#
15.11.202210.71 Mб23685.pdf
#
15.11.202210.72 Mб03686.pdf
#
15.11.202210.74 Mб23687.pdf
#
15.11.202210.74 Mб03688.pdf
#
15.11.202210.75 Mб13689.pdf