3536

При этих условиях свойства полупроводника являются переходными от невырожденного вырожденному.

Кривая n0 (рис. 3.4) соответствует истинному значению концентрации равновесных электронов проводимости, подсчитанному согласно (3.51).

Рассмотрим более подробно крайние случаи.

Невырожденный примесный полупроводник. Со-

гласно рис. 3.4 можно считать, что донорный полупроводник невырожден, если

Это означает, что в невырожденном донорном полупроводник уровень Ферми лежит в запрещенной зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на kТ. В этом случае для электронов, находящихся в зоне проводимости и обладающих энергией Е > Еc в функции распределения Ферми - Дирака экспоненциальный член будет намного больше единицы, а поэтому ею можно пренебречь, т. е.

(3.73)

Из соотношения (3.73) следует, что в невырожденном донорном полупроводнике носители заряда подчиняются статистике Больцмана. В соответствии с этим интеграл Ферми-Дирака запишется в виде

81

ка обозначить приведенный уровень Ферми через ηi то на основании (3.75) и (3.76) следует:

Выразим теперь равновесные концентрации электронов n0 (3.75) и дырок p0 (3.76) для невырожденного примесного полупроводника через пi. Тогда

(3.78)

Отсюда следует:

Таким образом, в невырожденном примесном полупроводнике произведение концентраций свободных электронов и дырок при термодинамическом равновесии есть const, равная квадрату концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике при данной температуре.

Зонная диаграмма, плотность состояний N(Е), распределение Ферми - Дирака f0(E) и концентрация носителей заряда в собственном, электронном и дырочном полупроводниках при термодинамическом равновесии показаны на рис. 3.5.

Если носители заряда появляются в результате теплового возбуждения, то вероятность такого процесса пропорциональна е -w/kT. Величину w называют энергией активации. Поэтому концентрацию электронов n0 можно выразить и через энергию активации. Она будет равна:

где С – постоянная величина.

83

Рис. 3.5. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми - Дирака и концентрация носителей заряда в собственном (а), донорном (б) и акцепторном (в) полупроводниках

при термодинамическом равновесии

84

Соотношение (3.75) может быть записано как

Из сравнения этой формулы с (3.80) следует, что

т. е. энергия активации зависит от положения уровня Ферми.

85

4.КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

Втвердом теле атомы непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые в свою очередь передают это возбуждение своим соседям и т. д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Все возможные колебания связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн (поверхность твердого тела для звуковых волн является узловой).

Очевидно, что изучение динамики произвольной кристаллической решетки является весьма трудной задачей и лишено наглядности. Поэтому мы упростим задачу и рассмотрим сначала малые колебания одноатомной и двухатомной линейной цепочки.

Если смещения малы и справедливо так называемое гармоническое приближение, то собственными независимыми колебаниями являются нормальные колебания (моды), каждое из которых вовлекает в движение все атомы кристалла. Нормальное колебание имеет вид плоской волны и характери-

зуется волновым вектором , определяющим направление распространения фронта волны и ее длину , и вектором поляризации, указывающим направление смещения атомов в волне. В процессе нормального колебания все атомы кристалла колеблются около своих положений равновесия по

86

гармоническому закону с одной и той же частотой . Рассмотрим подробнее характер колебаний атомов в одноатомной и двухатомной цепочке.

4.1. Колебания одноатомной линейной цепочки

В качестве одномерной модели считаем, что твердое тело состоит из линейной цепочки N одинаковых атомов, расположенных на расстоянии а друг от друга, масса атома - m. В положении равновесия рассмотрим три соседних атома под номерами n, n+1, n-1.

a

x

Рис. 4.1. Смещение частиц в одноатомной цепочке

Вдоль этой цепочки атомов будем рассматривать распространение упругой волны, длина которой сравнима с а или больше, чем а. Допустим, что пронумерованные частицы n, n+1, n-1 получили смещения un, un+1 и un-1 соответственно. Причем un-1 > un > un+1. В силу этого расстояния между частицами уменьшились, т.е. они приблизились друг к другу. Если

87

смещения атомов из положения равновесия малы по сравнению с расстоянием а, то силы межатомного взаимодействия можно считать квазиупругими (согласно закону Гука они пропорциональны смещениям). Атомы в цепочке как бы связаны упругими пружинками, которые стремятся вернуть их в исходное состояние. На атом n действуют две силы противоположного направления. Атом (n+1) действует на частицу n с

силой Fn+1 , а атом (n-1) с силой Fn-1.

Найдем уравнение движения n-го атома. Будем считать, что имеют место только короткодействующие силы, т.е. атом n взаимодействует только с ближайшими соседними (n- 1) и (n+1) атомами, воздействие на него других атомов пренебрежимо мало. Таким образом, на атом n действуют две квазиупругие силы Fn+1 и Fn-1, которые согласно общей формуле F = - ku записываются в следующем виде, т.е. Fn-1 и Fn+1 берутся со знаком (-):

Уравнение движения атома n под действием этой силы запишется следующим образом

88

Решение последнего уравнения ищем в виде бегущей

волны:

где = 2 / – волновой вектор, ω – круговая частота, n – текущий индекс, na – переменная величина x, т.е. x = na. Для первой частицы n = 1, тогда x = a, для второй частицы х = 2а, и т.д. Здесь А – амплитуда волны, она определяет смещение атома с n = 0 в момент времени t = 0.

Найдем первую и вторую производные по времени от (4.4), получим

Таким образом, получаем для (4.3) после подстановки

(4.6)

89

Мы получили уравнение, связывающее частоту круговых колебаний с волновым вектором = 2 /, т.е. с длиной волны , оно называется дисперсионным уравнением для волн, распространяющихся в линейной цепочке из одинаковых ато-

мов. Согласно этому уравнению между круговой частотойf и волновым числом нет прямой пропорциональности.

Поскольку ω не может быть отрицательной величиной, минус в (4.7) соответствует области отрицательных значений σ. Как видно из (4.7), частота колебаний n-го атома не зависит от n, а это значит, что все атомы в цепочке колеблются с одной и той же частотой.

Уравнение (4.7) можно также записать через частоту f

Найдем максимальную частоту колебаний частиц в

значение максимальной длины волны, распространяющейся в цепочке:

90