3197
.pdf46
В дальнейшем рассматривается механическое напряжение. Внутренние силы распределены по сечению бруса в общем случае неравномерно. Обратимся вновь к рассмотрению правой отсеченной части бруса, площадь поперечного сечения которого равна F (рис. 1.3). Выделим в этом сечении в окрестности некоторой произвольной точки К достаточно малую площадку
F и обозначим равнодействующую внутренних сил, передаваемых через эту площадку, через P . Отношение P / F рср называют полным
средним напряжением на рассматриваемой площадке. Для определения истинного полного напряжения в точке К необходимо контур площадки стя-
нуть к этой точке, то есть осуществить предельный переход при F |
0 . |
Этот переход возможен, так как согласно гипотезе сплошности материала внутренние силы распределены непрерывно по всему сечению.
|
Рис. 1.3 |
||
|
|
|
|
Вектор |
р lim P / F |
||
|
F 0 |
(1.2)
называется полным напряжением в рассматриваемой точке сечения. Произвольно ориентированный в пространстве вектор полного напряжения р для
удобства использования в расчетах обычно раскладывают на составляющие (см. рис. 1.3). Проекцию этого вектора на нормаль к площадке обозначают
и называют нормальным напряжением. Проекцию р на плоскость сечения
обозначают τ и называют касательным напряжением. Касательное напряжение τ, в свою очередь, раскладывают по двум взаимно перпендикулярным направлениям в плоскости площадки и получают и .
Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальные силы, мерой интенсивности
47
которых является , стремятся сблизить или отдалить частицы материала друг от друга, что может привести к разрушению тела в результате отрыва частиц. Касательные внутренние силы, мерой интенсивности которых является τ, вызывают сдвиг частиц материала друг относительно друга, что может привести к разрушению тела в результате взаимного сдвига частиц. Как следует из (1.2), напряжение - это интенсивность внутренних сил, то есть величина внутренних сил взаимодействия, приходящихся на единицу площади, выделенной в окрестности рассматриваемой точки. Единицей измерения на-
пряжения является Паскаль н / м2 . Так как Паскаль очень малая величина, то в практических расчетах обычно используют более крупную величину – мегапаскаль МПа 106 Па н / мм2 . В дальнейшем предполагается, что в теле, свободном от нагрузок, напряжений нет, то есть используется, так называемая, гипотеза естественной ненапряженности.
1.4. Перемещения и деформации 1.4.1. Перемещения
Рассмотрим тело, на которое наложены связи таким образом, что перемещения этого тела как жесткого целого исключены (рис. 1.4). Такие тела называют кинематически (геометрически) неизменяемыми, и перемещения отдельных точек и сечений такого тела определяются только его деформацией. В дальнейшем рассматриваются только такие системы. Рассмотрим в недеформированном теле некоторую произвольную точку (частицу) А. В результате действия на тело уравновешенной системы внешних сил оно продеформируется, положение этой точки изменится и она переместится в положение А1. Вектор S, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец в этой же точке деформированного тела, называется вектором полного линейного перемещения этой точки (частицы). Проекции полного линейного перемещения на координатные оси x, y, z называются линейными перемещениями точки по осям и обозначаются через u x , u y и uz (см. рис. 1.4) или u , v и
w .
48
Рис. 1.4
Подобно линейным можно вывести в рассмотрение и угловые перемещения. Рассмотрим достаточно малый линейный элемент тела, занимающий до нагружения положение ВС, а после приложения нагрузок – В1С1. При деформировании тела рассматриваемый элемент поворачивается. Угол поворота элемента называется угловым перемещением, он характеризуется вектором, который тоже можно разложить по осям x, y, z . Таким образом, угловое перемещение – это угол между направлениями элемента соответственно до и после деформирования.
1.4.2. Деформации
Деформацией называют изменение формы и размеров тела под действием нагрузок. Рассмотрим количественные меры деформации. Выделим в недеформированном теле линейный элемент АВ и обозначим его длину через l (рис. 1.5). Длину этого же элемента после деформирования (длину отрезка А1В1) обозначим через l1 .
Рис. 1.5
Величину
49
|
lim |
l1 l |
|
А |
l |
||
l 0 |
|||
|
|||
|
|
(1.3)
называют линейной деформацией или относительным удлинением в точке А в направлении АВ. Таким образом, в соответствии с (1.3) линейной деформацией в точке А в направлении АВ называют предел отношения приращения длины отрезка АВ к его начальной длине при устремлении точки В к точке А.
Рассмотрим далее в недеформированном теле два взаимно перпендикулярных линейных элемента АВ и АС (см. рис. 1.5). После деформирования эти элементы займут положение А1В1 и А1С1.
Величину
|
|
^ |
^ |
А |
lim ВАС |
В1 А1С1 |
|
|
АВ |
0 |
|
|
АС |
0 |
|
(1.4)
называют угловой деформацией или углом сдвига в точке А в плоскости АВС. Таким образом, в соответствии с (1.4) угловой деформацией в точке А в плоскости АВС называют предел разности углов ВАС и В1А1С1 при устремлении точек В и С к точке А.
1.5. Закон Гука и основные принципы сопротивления материалов 1.5.1. Закон Гука
Основные свойства материала или его математическая модель в сопротивлении материалов определены законом, открытым в 1676 году английским механиком Робертом Гуком, который экспериментально установил, что удлинение струны прямо пропорционально величине подвешенного на ней груза. Согласно закону Гука в пределах упругости перемещение S пропорционально вызвавшей его нагрузке Р
S кР,
(1.5)
где к – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала, формы тела, положений точки приложения нагрузки и точки, перемещение которой определяется.
Закон Гука является приближенным. Для одних материалов, например, для стали, его можно считать достаточно точным, а для других, например, для чугуна, его можно принять только в грубом приближении.
50
В современной трактовке закон Гука устанавливает пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям. Именно в такой форме закон Гука и будет использован нами в дальнейшем.
1.5.2. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции)
Принцип независимости действия сил непосредственно следует из закона Гука и является одним из основных принципов (основополагающих утверждений) сопротивления материалов.
Согласно принципу суперпозиции перемещения, деформации и напряжения, возникающие в упругом теле при действии на него системы нагрузок, не зависят от порядка приложения нагрузок и равны суммам перемещений, деформаций и напряжений от действия каждой из нагрузок в отдельности.
Принцип независимости действия сил позволяет свести сложную задачу к ряду простых и в дальнейшем он широко используется при рассмотрении сложного сопротивления.
1.5.3. Принцип начальных размеров
В сопротивлении материалов рассматриваются малые по сравнению с размерами тела перемещения.
Согласно принципу начальных размеров в случае малых деформаций и перемещений при составлении уравнений равновесия тело можно рассматривать как жесткое, имеющее начальную форму и размеры.
1.5.4. Принцип Сен-Венана
Согласно принципу, введенному французским механиком Барри СенВенаном, в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации не зависят от способа приложения нагрузки.
В соответствии с этим принципом характер приложения нагрузки влияет на распределение деформаций и напряжений лишь в области, распространяющейся на величину порядка ширины сечения. В дальнейшем будем считать, что эта область исключена из рассмотрения.
Применение изложенных упрощающих гипотез и принципов позволяет получить приближенные решения целого ряда задач, которые очень сложно, а иногда и невозможно решить в строгой постановке. Проверка достоверности решений, получаемых с использованием введенных гипотез и принципов, осуществляется путем сопоставления расчета и эксперимента.
2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
51
2.1. Основные понятия и зависимости
Растяжение (сжатием) называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные силы N. Нормальная сила в рассматриваемом сечении прямого бруса равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех нагрузок, расположенных по одну сторону от этого сечения. Растягивающая внешняя сила дает положительную нормальную силу, сжимающая – отрицательную. Положительная нормальная сила направлена от сечения, а отрицательная - к поперечному сечению бруса. Прямой брус, работающий на растяжение или сжатие, называют стержнем.
В поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и определяемые по формуле
N |
, |
(2.1) |
|
F |
|||
|
|
где N – нормальная сила в сечении стержня, F – площадь поперечного сечения стержня.
Абсолютное удлинение (укорочение) стержня при его нагружении в упругой области определяется согласно развернутому закону Гука
|
l |
|
Ndz |
, |
|
(2.2) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
l |
|
EF |
|
|
||
где l – длина стержня; Е – модуль упругости первого рода. |
|
||||||
В наиболее общем случае, когда законы изменения N и F для отдель- |
|||||||
ных участков стержня различны, |
|
|
|
Ni dz |
|
|
|
l |
k |
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(2.3) |
||||
i 1 |
li Ei Fi |
где k – число участков стержня.
При Ni const, Ei Fi const в пределах каждого из участков из (2.3) как частный случай следует формула
k |
|
N l |
|
|
l |
|
i i |
. |
(2.4) |
|
|
|||
i |
1 Ei Fi |
|
Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня равно удлинению (укорочению) той его части, которая заключена между этими сечениями.
Условие прочности при растяжении (сжатии) записывают в виде
52
N |
|
, |
(2.5) |
|
|
||
F |
|
||
|
|
|
где - допустимое напряжение.
Из условия прочности (2.5) вытекают три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и расчет грузоподъемности.
Проверочный расчет сводится к непосредственной проверке соблюдения условия (2.5).
Проектный расчет заключается в определении требуемой площади поперечного сечения стержня и производится по формуле
F |
N |
. |
(2.6) |
|
Расчет грузоподъемности проводится для определения допустимых величин нагрузок. При этом из условия (2.5) определяют допустимое значение нормальной силы
N |
F |
, |
(2.7) |
а по найденному значению |
N |
с использованием эпюры N или уравнений |
статики устанавливают допустимые значения приложенных к стержню нагрузок.
Системы, состоящие из элементов имеющих форму стержня, называют стержневыми. Стержневые системы подразделяют на статически определимые и статически неопределимые.
Стержневые системы, в которых нормальные силы и реакции связей определяются при помощи метода сечений и уравнений равновесия, называются статически определимыми. В статически неопределимых системах использование метода сечений и уравнений равновесия для определения нормальных сил и реакций связей оказывается недостаточным. Разность между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и количеством независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для их определения, называется степенью статической неопределенности системы – n.
Для определения усилий в статически неопределимых системах необходимо составить помимо уравнений статики уравнения совместности перемещений, основанные на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании развернутого закона Гука. Необходимое число этих уравнений равно n, т.е. степени статической неопределимости системы.
Определение усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, осуществляют в следующей последовательности.
1. Отбрасывают связи, заменяя их неизвестными усилиями и реакциями, воспользовавшись методом сечений.
53
2.Составляют независимые уравнения статики, содержащие известные усилия и устанавливают степень статической неопределимости системы.
3.Рассматривают систему в деформированном состоянии, устанавливают связь между деформациями и перемещениями отдельных ее элементов и составляют уравнения совместимости перемещений.
4.Входящие в уравнения совместности перемещений абсолютные удлинения стержней выражают с помощью развернутого законов Гука через действующие в них усилия и получают уравнения, содержащие неизвестные усилия.
5.Решая систему, состоящую из уравнений статики и уравнений совместности перемещений, определяют неизвестные усилия.
2.2. Статически определимые системы. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача. Стальной стержень (рис. 2.1,а) находится под действием про- |
||||||||||||
дольной силы Р и собственного веса. Найти перемещение сечения 1-1. Чи- |
||||||||||||
словые данные: |
Е = 2 10 |
5 |
МПа = |
2 10 |
11 |
Н |
; |
7,8 10 |
4 |
Н |
; |
Р = 1000 |
|
|
м2 |
|
м3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Н; F = 1,5 10 3 |
м 3 , а = 2 м, в = 1,5 м, с = 1 м. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
III уч. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
II уч. |
b |
|
|
|
N(1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2F |
P |
|
I уч. |
c |
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 Fz1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
б) |
Рис. 2.1
Решение.
Перемещение сечения 1-1 равно абсолютному удлинению части стержня, расположенной между этим сечением и жесткой заделкой. Для определе-
54
ния удлинения этой части необходимо знать величины нормальной силы в поперечных сечениях стержня.
1. Определим нормальные силы в сечениях заданного ступенчатого стержня.
Разбиваем стержень на участки. Учитывая, что границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, а также места резкого изменения геометрии поперечного сечения и интенсивности распределенной нагрузки, получим три участка. Пронумеруем их, начиная от свободного конца стержня (рис. 2.1,а).
Поместим начало отсчета координаты z в крайнем нижнем сечении стержня и направим ось OZ вверх.
Рассмотрим первый участок 0 z1 с. Мысленно рассечем стержень на две части поперечным сечением, отстоящим на расстоянии z1 от нижнего (свободного) конца стержня. Оставим для рассмотрения нижнюю часть стержня, а действие отброшенной верхней части на нижнюю заменим нормальной силой N 1 , приняв ее положительной (рис. 2.1,б). Тогда выражение для N 1с учетом правила знаков можем записать в виде
|
|
N 1 |
2 Fz , |
0 |
z |
с. |
(2.9) |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
Используя метод сечений на втором и третьем участках, получим |
|||||||||
N 2 |
P 2 Fz2 , c z2 |
c b , |
|
|
|
||||
N 3 |
P |
2 F (c |
b) |
F (z3 |
c |
b) |
P |
F z3 c b , (2.10) |
|
(c b) |
z3 |
c b |
|
a . |
|
|
|
|
|
2.Найдем перемещение сечения 1-1.
Перемещение сечения 1-1, т.е. U 1 |
равно сумме абсолютных удлине- |
||||||||||||||||||||
ний второго |
l 2 и третьего |
l |
3 участков стержня. Используя выражение |
||||||||||||||||||
(2.3) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c b P 2 Fz dz |
c b a |
P F z c b dz |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
U1 |
l2 |
l3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
||||||
c |
|
2EF |
|
|
(c b) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
P |
|
|
F z |
2 |
|
c b |
|
|
|
|
|
Fz |
2 |
c |
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
P |
Fc |
Fb z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
EF |
2 |
2 |
|
|
c |
2 |
|
|
c |
b |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
P |
|
b |
|
a |
|
F |
|
b2 |
|
a2 |
|
cb 2ca |
2ba |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
EF |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
10 |
3 |
1,5 |
2 |
7,8 10 |
4 |
1,5 10 |
3 |
1,52 |
2 |
2 |
4 |
6 |
||||||||
|
2 1011 |
1,5 10 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1,49 10 5 м |
|
1,49 10 |
|
2 мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
|
Сечение 1-1 удалилось от заделки на 1,49 10 2 мм, т.е. второй и третий участки стержня растягиваются.
2.3. Статически неопределимые системы Задача. Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирную непод-
вижную опору А и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров (рис. 2.2). Требуется:
1)найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;
2)найти допускаемую нагрузку Q 1, приравняв большее из напряже-
ний в двух стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа;
3) найти предельную грузоподъемность системы QТК и допускаемую
|
|
QК |
нагрузку |
Q 2 |
Т К , если предел текучести Т = 240 МПа и запас проч- |
ности К = 1,5; |
|
|
4) |
сравнить величины допустимых нагрузок Q 1 и Q 2 . |
Числовые данные: F = 1,5 10 3 м 2 ; a = 2 м; b = 3 м; с = 1 м.
Решение В рассматриваемой конструкции брус АВ считается абсолютно жест-
ким, то есть недеформируемым. Стержни 1 и 2 деформируются. Но их деформации в пределах рассматриваемых нагрузок являются малыми. Собственным весом стержней будем пренебрегать по сравнению с переданными на них от бруса АВ нагрузками, тогда стержни работают на растяжение и нормальная сила в каждом из стержней одинакова во всех его поперечных сечениях.