3197
.pdf
136
d 3
Wx 32 ,
то из условия прочности (7.9) определяем
d |
3 |
|
32М расч |
|
3 |
|
32 106 |
20,66 |
|
87,5 мм. |
|
|
|
|
70 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимаем d = 90 мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.2.3. Расчеты плоско–пространственных стержневых систем Задача. На рис. (7.4) изображена в аксонометрии ось ломаного стерж-
ня круглого поперечного сечения, расположенная в горизонтальной плоскости и имеющая прямые углы в точках А и В. На стержень действует вертикальная нагрузка.
Требуется:
1)построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов;
2)установить опасное сечение и найти для него расчетный момент по четвертой теории прочности.
Числовые данные: q = 20 кН/м; l = 1 м.
Решение
Так как стержень закреплен только в одном сечении С (жесткое |
за- |
щемление) (см. рис. 7.4), то опорные реакции можно не определять. Выделим |
|
по длине ломаного стержня точками ABCDK четыре участка. Положение |
|
произвольных сечений на участках определим соответственно координатами |
|
z1, z2, z3, z4 . Используя метод сечений, будем на каждом участке рассмат- |
|
ривать равновесие части стержня, не содержащей заделку С. Запишем выражения для М к и М и по участкам стержня:
Участок КА: 0 |
z1 1,5 l; |
|
|
|
||
М к = 0; М и = Р z1 = q l z1 ; |
|
|
|
|||
z = 0: М |
и |
= 0; |
z = 1,5 l: М |
и |
= 1,5 q l 2 |
= 30 кНм. |
1 |
|
1 |
|
|
||
137
D |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
2l |
|
|
z4 |
1,5l |
|
|
B |
|
||
K |
z1 |
A |
|
|
|
1,5l |
z3 |
l |
|
||
P = ql |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.4 |
|
Участок DB: 0 |
|
z2 |
2l; |
|
|
|
|
|
qz2 |
|
|
|
|
М к = 0; М и = |
|
2 |
; |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
z2 = 0: М и = 0; z2 = 2l; М и = |
40 кНм. |
|
||||
Участок АВ: 0 |
|
z3 |
l; |
|
|
|
М к = Р 1,5 l = 1,5 q l 2 = 30 кНм; М и = Р z3 = q l z3; |
||||||
z3= 0; М и = 0; z3 = l: М и = q l 2 = 20 кНм. |
|
|||||
Участок ВС: 0 |
|
z4 |
1,5l; |
|
|
|
М к = Р 1,5 l |
q 2l |
2 |
|
0,5ql2 |
10 кНм; |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
М и = Р(l + z4 ) 2ql z4 = ql (l |
z4 ); |
|
||||
z4 = 0: М и = ql 2 = 20 кНм; z4 = 1,5l: М и = |
0,5 ql 2 = 10 кНм. |
|||||
138
По полученным данным строим эпюры крутящих М к (рис. 7.5) и изгибающих М и (рис. 7.6) моментов.
|
M к , кНм |
|
10 C |
|
|
|
|
|
M u , кНм |
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
20 |
D |
|
B |
30 D |
30 |
10 |
|
|
|
|||
|
10 |
|
|
|
B |
K |
A |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
||
|
30 |
|
K |
A |
|
Рис. 7.5 Рис. 7.6
На каждом участке по соотношению (7.9) определим величину максимального расчетного момента по энергетической теории:
участок КА: М расч = 30 кНм; |
|
|
|
|
|
участок DB: М расч = 40 кНм; |
|
|
|
|
|
участок АВ: М расч = |
400 |
0,75 |
900 |
32,8 кНм; |
|
участок ВС: М расч = |
400 |
0,75 |
100 |
|
21,8 кНм. |
Таким образом, опасным является сечение В участка DB, где расчетный момент
Мрасч = 40 кНм.
8.УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
8.1Основные теоретические сведения и расчетно-справочные данные
139
Под устойчивостью стержня понимают его способность сохранять прямолинейную форму при приложении сжимающей силы. Расчет сжатого стержня на устойчивость заключается в нахождении критической нагрузки. Критической силой называют наименьшее значение сжимающего усилия, при котором исходное состояние равновесия стержня становится неустойчивым. При достижении сжимающей силой критического значения осуществляется переход стержня к другому устойчивому состоянию равновесия
(криволинейная форма). |
Отношение критической нагрузки Ркр |
к фактиче- |
||||||||
ской (эксплуатационной) |
Рэ называют коэффициентом запаса устойчивости |
|||||||||
|
|
|
nу |
|
Ркр |
. |
|
(8.1) |
||
|
|
|
|
Рэ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Критическую нагрузку можно определить умножив критическое на- |
||||||||||
пряжение |
кр |
на площадь поперечного сечения F. При напряжениях, мень- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ших предела |
пропорциональности |
пц , критическое напряжение рассчиты- |
||||||||
вают по формуле Эйлера [1] |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Е |
, |
(8.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
кр |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Е - модуль упругости материала; |
|
|
|
l |
- гибкость стержня; |
- коэффи- |
||||
|
|
i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
циент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня; l -
длина стойки; |
i |
|
I |
|
- минимальный радиус инерции сечения стержня; I - |
|||||||
F |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
минимальный осевой момент инерции сечения стойки. |
|
|||||||||||
Формула (7.2) применима при гибкости стержня |
большей предель- |
|||||||||||
ной гибкости |
пр . Предельная гибкость |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
. |
(8.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пц |
|
|||
При малой гибкости 0 |
|
0 , 0 0,3 пр стержень работает без |
||||||||||
потери устойчивости. Поэтому за критическое напряжение в этом случае
140
принимают предел текучести |
Т ( 0,2 ), если материал пластичный, или |
|||
предел прочности В , если материал хрупкий. |
|
|
||
Для стержней средней |
гибкости |
0 |
пр |
потеря устойчивости |
|
|
|
||
происходит при упруго-пластических деформациях. Критическое напряжение для стержней промежуточной гибкости рассчитывают по формуле Ф.С.Ясинского
кр |
a b , |
(8.4) |
|
|
где а, b - коэффициенты, зависящие от свойств материала. Их величину можно определить по справочнику или рассчитать, составляя уравнение прямой
(7.4), проходящей через две точки с координатами ( |
0 , 0,2 ) и ( |
пр , пц ), по |
||||||||||||||
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0,2 пр |
пц |
0 |
, |
b |
0,2 |
пц |
. |
(8.5) |
|||||
|
|
пр |
0 |
|
|
|
пр |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, зависимость |
кр |
от |
|
можно представить в виде |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0,2 |
|
|
при |
0 |
|
0 ; |
|
|
||||
|
|
кр |
a b |
|
при |
|
0 |
|
пр; |
(8.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 E |
|
|
при |
|
|
пр. |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения a, b и |
пр |
для некоторых материалов приведены в таблице 8.1. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Материал |
|
|
|
Предельная |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
||||||
|
|
|
гибкость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
пр |
|
|
|
|
а, МПа |
|
|
b, МПа |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ст.2, Ст.3 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
310 |
|
|
1,14 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ст.5 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
464 |
|
|
3,26 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сталь 40 |
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
321 |
|
|
1,16 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кремнистая сталь |
|
110 |
|
|
|
|
|
|
589 |
|
|
3,82 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дерево (сосна) |
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
29,3 |
|
|
0,194 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141 |
Зная гибкость |
рассматриваемого стержня, можно определить крити- |
ческое напряжение |
кр . Умножив напряжение на площадь поперечного се- |
чения F стержня, получим критическую нагрузку, а разделив критическую нагрузку на коэффициент запаса устойчивости nу , определяем эксплуатаци-
онную нагрузку. |
|
|
|
Гибкость стержня |
l |
зависит от коэффициента приведения дли- |
|
i |
|||
|
|
ны , то есть от коэффициента, который сравнивает данные условия закрепления с условиями закрепления, принятыми в задаче Эйлера. Для определения коэффициента 
необходимо решить полную задачу устойчивости, то есть построить решение и удовлетворить всем граничным условиям. Во многих случаях это сделать довольно трудно. Для нахождения 
предложен приближенный метод, основанный на использовании энергетического критерия устойчивости. Согласно этому критерию критическая нагрузка определяется по следующей зависимости
|
l |
EI ( y'')2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
Ркр |
0 |
|
, |
(8.7) |
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
( y')2 dz |
|
|
0
где y(z) - функция, описывающая упругую линию cтержня.
Необходимо заметить, что в данном виде формула остается справедливой только в пределах действия закона Гука. Для определения формы упругой линии необходимо опять же решить полную задачу устойчивости, то есть проинтегрировать дифференциальное уравнение равновесия. В результате придем к формуле Эйлера
Р |
2EI |
. |
(8.8) |
|
|
|
|||
кр |
l |
2 |
|
|
|
|
|
||
Сопоставляя выражения (8.7) и (8.8) при постоянной жесткости EI стержня, получим формулу
|
|
|
l |
2dz |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
0 |
|
. |
(8.9) |
|||
l |
|
|
l |
|
|||
|
|
2 dz |
|
||||
|
|
y |
|
||||
|
|
|
|
||||
0
142
Переходя к безразмерным параметрам t z / l, y |
y / l n , перепишем |
|||||
последнее уравнение в виде |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2dt |
|
||
|
|
y |
|
|||
0 |
|
. |
(8.10) |
|||
|
|
l |
|
|||
|
|
2 dt |
|
|||
|
|
y |
|
|||
0 |
|
|
|
|
||
В качестве аппроксимации упругой линии стержня можно взять ал- |
||||||
гебраический полином |
|
|
|
|
||
|
|
n |
c zk . |
|
||
y |
(8.11) |
|||||
|
|
|
k |
|
||
|
|
k |
1 |
|
|
|
Степень n полинома определяется числом заданных граничных условий задачи (или числом наложенных связей, ограничивающих изгиб стержня). В безразмерном виде уравнение (8.11) примет вид
|
n |
|
y |
ck t k . |
(8.12) |
k |
1 |
|
При определении критического напряжения необходимо вычислить максимальную гибкость для данного стержня, то есть определить плоскость, в которой стержень потеряет устойчивость (изогнется) в первую очередь.
Расчет сжатых стоек на устойчивость может быть выполнен как обычный расчет на сжатие, но при пониженном допускаемом напряжении
. Условие устойчивости в этом случае записывают в виде
Pэ |
, |
(8.13) |
|
F |
|||
|
|
где - коэффициент снижения допускаемого напряжения, зависящий от материала стойки и ее гибкости. Для некоторых материалов зависимости и 
приведены в таблице 8.2.
Величину 
=
тойчивость.
Из условия устойчивости (8.13) можно, в частности, рассчитать допускаемую (эксплуатационную) нагрузку. При выполнении этого вида расчета заданы: условия закрепления стержня и его длина l , а также материал стержня и размеры поперечного сечения. Вначале по условиям закрепления стержня, используя формулу (8.10), рассчитывают коэффициент приведения длины . Затем по размерам поперечного сечения определяют площадь F,
143
минимальный осевой момент инерции Imin и рассчитывают минимальный радиус инерции сечения imin . Далее рассчитывают гибкость стержня. Потом
по гибкости |
и материалу стойки из таблицы 8.2 устанавливают коэффици- |
||||||||||||
ент снижения допускаемого напряжения |
. После этого из условия устойчи- |
||||||||||||
вости (8.13) рассчитывают эксплуатационную нагрузку |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Рэ |
|
F. |
|
|
(8.14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст.2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ст.2 |
|
|
|
|
|
Ст.3 |
|
Ст.5 |
Чугун |
Дерево |
|
|
|
Ст.3 |
|
Ст.5 |
Чугун |
Дерево |
|
Ст.4 |
|
|
|
|
|
|
|
Ст.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1,00 |
|
1,00 |
1,00 |
1,00 |
|
110 |
|
0,52 |
|
0,43 |
- |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0,99 |
|
0,98 |
0,97 |
0,99 |
|
120 |
|
0,45 |
|
0,36 |
- |
0,22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
0,96 |
|
0,95 |
0,91 |
0,97 |
|
130 |
|
0,40 |
|
0,33 |
- |
0,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
0,94 |
|
0,92 |
0,81 |
0.93 |
|
140 |
|
0.36 |
|
0,29 |
- |
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
0,92 |
|
0,89 |
0,69 |
0,87 |
|
150 |
|
0,32 |
|
0,26 |
- |
0,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
0,89 |
|
0,86 |
0,57 |
0,80 |
|
160 |
|
0,29 |
|
0,24 |
- |
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
0,86 |
|
0,82 |
0,44 |
0,71 |
|
170 |
|
0,26 |
|
0,21 |
- |
0,11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
0,81 |
|
0,76 |
0,34 |
0,60 |
|
180 |
|
0,23 |
|
0,19 |
- |
0,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
0,75 |
|
0,70 |
0,26 |
0,48 |
|
190 |
|
0,21 |
|
0,17 |
- |
0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
0,69 |
|
0,62 |
0,10 |
0,38 |
|
200 |
|
0,19 |
|
0,16 |
- |
0,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
0,60 |
|
0,51 |
0.16 |
0,31 |
|
- |
|
- |
|
- |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняя проектный расчет, из условия (8.13) подбирают площадь поперечного сечения стойки F при заданной нагрузке, длине, условиях закрепления и допускаемом напряжении. Задача решается методом последователь-
ных приближений. Обычно расчет начинают, принимая |
1 |
0,5. затем из |
|||
|
|
|
|
||
условия устойчивости (8.13) находят F1 |
P |
и определяют размеры |
|||
|
|||||
1 |
|||||
|
|
|
|
||
поперечного сечения. Далее рассчитывают J 1 ,i 1 , 1 . Зная материал и 1
по таблице |
8.2 находят 1 . Затем весь расчет повторяют при |
||
|
1 |
1 |
и т.д., пока фактическое и допустимое на устойчивость на- |
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
||
|
|
|
|
пряжение будут отличаться не более чем на 5 %. Обычно такая точность достигается уже при 3-4 приближениях.
144
8.2. Расчет сжатого стержня на устойчивость
Задача. Стальной стержень длиной l сжимается силой Р (рис. 8.1). Требуется:
1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие 
= 160 МПа (расчет производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом = 0.5);
2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивоcти. Числовые данные: Р = 100 кН, l = 3 м.
|
P |
y |
|
|
|
|
|
2d |
l |
3d |
x |
|
|
d |
Рис. 8.1
Решение.
1. Коэффициент приведения длины определим по формуле (8.10), полученной на основе энергетического критерия устойчивости. В качестве ап-
проксимирующей функции изогнутой оси стойки с числом опор |
3 примем |
|
алгебраический полином |
|
|
y Cz p z |
l r z l s , |
(8.15) |
где показатели степени p, r, s могут принимать значение 0, 1, 2, |
а их кон- |
|
кретная величина зависит от числа связей, накладываемых соответствующей опорой. Число сомножителей в (8.15) определяется количеством опор для стойки.
145
В нашем случае (см. рис. 7.1) аппроксимирующая функция имеет вид
y Cz2 z l |
(8.16) |
иудовлетворяет граничным условиям:
у= 0, при z = 0, z = l; у
= 0 при z = 0.
|
|
Раскрывая в (7.16) скобки и вводя безразмерные переменные t |
|
z |
и |
|||||
|
|
l |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
, получим |
|
|
|
|
|
||||
Cl 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
t 3 |
t 2 . |
(8.17) |
|||
|
|
Проводя расчеты, определяем |
0,57. |
|
|
|
||||
2. Подбираем размеры поперечного сечения стойки. Анализируем, относительно какой оси при нагружении в первую очередь может произойти потеря устойчивости. Так как условия закрепления во всех направлениях одинаковы, то гибкость стержня будет максимальной для оси, относительно которой осевой момент инерции минимален. В данном примере (см. рис. 8.1)
|
3d (2d ) |
3 |
|
d |
4 |
_ |
_ |
||||
|
|
|
|
|
|
d 4 , где I = 1,95. |
|||||
I min |
I y |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
12 |
|
64 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Площадь сечения стойки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F 6d 2 |
|
d 2 |
|
_ |
|
2 |
|
_ |
||
|
|
|
|
F d |
, где F = 5,215. |
||||||
|
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Минимальный радиус инерции сечения стержня
imin |
iy |
|
I y |
|
|
1,95d 4 |
0,617d . |
|||||||||
|
F |
5,125d 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Максимальная гибкость стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
0,57 |
300 |
|
|
277,15 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
iy |
|
|
|
0,617d |
|
|
d |
|||||
Размер d подбираем методом последовательных приближений. |
||||||||||||||||
Первое приближение. Принимаем |
1 |
|
0,5. Из условия (8.14) нахо- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
P |
100 103 |
|
1250 мм 2 = 12,5 см 2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
0,5 160 |
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что F 1 |
5,125d 21 , получим |
|
|
|
|
|||||||||||