3115

A B . Одновременное отсутствие элементов со свойствами множеств A и B означает, что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество .

Разностью множеств A и B называется множество C , содержащее все элементы множества A , не содержащиеся во множестве B ; эта разность обозначается C A \ B .

При записи математических выражений целесообразно употреблять логическую символику. Вместо выражений «любое x из множества X » употребляют запись x X , где перевернутая латинская буква (квантор общности) взята от начала английского

тая латинская буква (квантор существования) является начальной

ванглийском слове Existence – существование.

Внастоящем пособии рассматривается множество действительных чисел, а также подмножества натуральных и рациональных чисел.

1.2. Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Если существует правило или закон, согласно которому каждому элементу x X поставлен в соответствие один элемент y Y , то говорят, что определена функциональная зависимость или однозначная функция y от x по закону y f x . При этом x называют незави-

симой переменной (аргументом), y – зависимой переменной, множество X - областью определения функции, множество Y – областью значения функции.

Если же каждому элементу x X поставлены в соответствие

сматриваться множество однозначных функций.

5

1.3. Способы задания функций

Существует три основных способа задания функций: таблич-

ный, аналитический и графический.

Табличный способ. Этот способ широко используется при экспериментальных измерениях различных величин в науке и технике. В таблицах одну из переменных принимают за независимую переменную или аргумент (например, время), тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. Табличный способ задания функциональной зависимости широко используется в различных базах данных.

Табличный способ задания функций позволяет производить интерполяцию при вычислении не содержащихся в таблице значений функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. По данным таблицы с помощью методов аппроксимации можно приближенно установить аналитический способ задания функции.

Аналитический способ. Этот способ состоит в формульном задании связи между аргументом и функцией. При аналитическом способе задания областью определения функции называется множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Примером аналитически заданной функции является функция Римана

равная нулю, если x является иррациональным числом, и равная 1q ,

если x - рациональное число, выражающееся несократимой дробью со знаменателем q . Функция Римана определена на множестве дей-

ствительных чисел.

Ограничения, формирующие область определения несложных функции, связаны с выполнением указанных в формуле математических операций, и, как правило, сводятся либо к требованию неотрицательности подкоренного выражения для корней четной степени, либо к требованию неравенства нулю знаменателя , либо к условию положительности выражения под знаком логарифма, а также к некоторым другим.

6

Существуют функции определенные на множестве натуральных чисел. Такие функции называются числовыми последовательностями. Числовые последовательности задаются формулой общего члена последовательности, записанного в фигурных скобках. На-

пример, гармоническая последовательность 1, 12 , 13 , 14 , 15 ,... обознача-

ется так: 1n .

Графический способ. При графическом способе задания функции связь между аргументом и функцией задается посредством графика. Графиком называется множество точек координатной плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами – соответствующие значения функции.

1.4. Классификация функций

Основными элементарными функциями являются постоянная

arcsin x, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарные функции, не являющиеся простейшими, могут быть получены при помощи конечного числа алгебраических (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем, извлечение корня) и трансцендентных (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вы-

7

числение значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций) операций. Алгебраическими называются элементарные функции, полученные с помощью конечного числа алгебраических операций. Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные функции. К рациональным функциям относятся целая и дробная рациональные функции. Функция вида

ствительные числа (коэффициенты), называется целой рациональной функцией, или алгебраическим многочленом степени n. Многочлен первой степени называется линейной функцией . Отношение двух целых рациональных функций

называется дробно – рациональной функцией. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, называется иррациональной

функцией, например, функция f xx 2 x3/ 5 является ирра-

циональной.

Алгебраические функции, не являющиеся рациональными или иррациональными, называются трансцендентными функциями, на-

пример, функции f x cos3x e x и x 32x ctgx являются

трансцендентными.

Сложной функции или композицией функций (функция от функции) называется такая зависимость у от х, что у является функ-

пример сложной функции, где в качестве промежуточной функции

8