Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3115

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Из рис.12 становится понятным геометрический смысл дифференциала dy , представляющего приращение ординаты касатель-

ной при переходе от точки a к точке a x .

Для выяснения физического смысла производной рассмотрим движение материальной точки по оси Oy . Координата материаль-

ной точки

y является дифференцируемой функцией времени t . В

момент времени t0

материальная точка имеет координату y t0 . В

момент времени t0

t материальная точка приобрела координату

y t0

t .

Посчитаем среднюю скорость перемещения материаль-

ной точки за промежуток времени

Vср

y t0

y t

Если устремить

t к нулю и рассмотреть lim Vср , равный

t 0

мгновенной скорости материальной точки Vмгн , то можно заметить,

что lim

= lim

, т.е. предел отношения приращения ко-

ср

t 0

ординаты материальной точки к приращению времени и есть с одной стороны производная координаты по времени, а с другой стороны - мгновенная скорость материальной точки.

Связь непрерывности и дифференцируемости функции устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Если функция y f x дифференцируема в некоторой точке x0 , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Функция дифференцируема в точке, следова-

тельно, существует lim					y	f (x0 ) . По основной теореме о беско-

					x
			x	0	x
нечно малых величинах
		y	f (x0 )	x	или y		f (x0 ) x	x x ,

		x
		x
где		x	0 .

		x
		x
	Следовательно,			y		0 при	x 0 , поэтому функция непре-

рывна.

Обратное утверждение неверно. Из того, что функция непрерывна в точке, не следует, что она дифференцируема, т.е. непрерывная функция может не иметь производную в этой точке.

Пример 3.1. Функция f(x) определена на промежутке 0, следующим образом (рис.13):

		f (x)		x,	0	x	1,
		f (x)		2x 1,	1	x	.
				2x 1,	1	x	.
		y
				y	2x	1
			y x
		0		1			x
				Рис. 13.
При	x=1		функция		непрерывна,			так	как
lim f (x)	lim	f (x)		f (1) 1 , но не дифференцируема.
x 1 0	x 1 0
		3.2. Правила дифференцирования
Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0, т.е.
если y c , где c		const, то y 0 .

Теорема 2. Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е.

u x v x ux vx .

Доказательство. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

y'= lim

(u(x

v(x

x))

(u(x)

v(x))

lim

u(x

u(x)

v(x

v(x)

lim

u' v'.

x 0

Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую, т.е.

u xv x ux v x u x vx .

Доказательство.

lim

u x v x

lim

u(x

v(x

u(x) v(x)

lim

v(x

x)u(x

u(x

x)v x

u x

x v x

u(x)v(x)

lim

u(x

v x

u x

u(x) lim

v(x) lim

v x u x

x v x .

x 0

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

cu x cux .

Доказательство. По теореме о производной произведения cu x c u x cux . Поскольку производная постоянной вели-

чины равна нулю c 0 , то получаем cu x	cu x .
41

Теорема 5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е.

u x

u x v x u x v x

v x

u(x

u(x)

Доказательство.

u x

lim

v(x

v(x)

v x

lim

u(x

x)v(x)

v(x

x)u x

xv(x

x)v(x)

x 0

lim

u(x

x)v(x)

u x v x

v(x

x)u x

xv(x

x)v(x)

x 0

lim

u(x

x)v(x) u x v x

lim

v x

x u x

v x u x

xv(x

x)v(x)

xv x

x v x

x 0

lim

u(x

x) u x

v x

lim

v x

x v x

u x

v x v x

v x v x x

x 0

lim

x v(x)

v (x)u x

x v x

u x v x

x 0

v(x

x)v(x)

v x 2

3.3.Производная степенной, показательной

итригонометрических функций

1.Степенная функция y xn , n R .

Найдем приращение функции y , придав аргументу x при-

ращение x : y x x n xn . Поэтому в соответствии с определением производной имеем:

x n

lim

x n

nxn 1

lim

x 0

Покажем, что бесконечно малые величины

n x

являются эквивалентными. Пусть

а 1

z ,

тогда

lim

0 n

Поскольку

z ,

то

n ,

ln 1

n ln 1

. Так как бесконечно малая величина

ln 1

эквивалентна величине

z , а бесконечно малая величина

ln 1

эквивалентна величине

, то

lim

ln 1

lim

n ln 1

0 n

0 n ln 1

Таким образом, производная степенной функции равна

x n

nx n 1 .

2. Показательная функция y

a x , a

0, a

Найдем приращение функции

y ,

придав аргументу x

при-

ращение

x :

a x x

a x . Поэтому

		y		a x x a x			a x 1
a x	lim		lim		a x	lim

	x 0	x	x 0	x		x 0		x
В пределе перейдем к новой переменной y						a x		1, которая

тоже является бесконечно малой величиной. Используя второй за-

мечательный предел lim 1

e и соотношение

log a 1

y ,

имеем:

a x

lim

a x

a x lim

x 0

0 log a 1

log a 1

a x lim

a x ln a .

y 0 log a e

Таким образом, производная показательной функции равна

a x

== ax ln a .

При a = e имеем:

e x

e x .

3. Тригонометрические функции y

sin x, y

cos x,

tgx,

y ctgx .

Для функции y

sin x имеем:

2 sin

cos x

sin x

lim

sin

sin x

lim

sin

2 lim

cos x

lim

cos x ,

x 0

т.е

sin x

cos x .

Для функции y

cos x имеем:

sin

cos x

lim

cos x

2 lim

x 0

sin

- 2

lim

- sin x lim

- sin x ,

x 0

т.е.

cos x

- sin x .

Для нахождения производных функций

tgx,

ctgx вос-

пользуемся формулой производной частного:

tgx

sin x

cos x

sin x cos x

cos x 2

sin x 2

cos x

cos x 2

cos2

tgx

cos2 x

ctgx

cos x

sin x

cos x sin x

sin x 2

cos x 2

sin x

sin x 2

sin 2

sin x

ctgx

sin 2 x

3.4. Обратные функции. Производная обратной функции

Пусть задана функция y

f x

с областью определения D и

множеством значений E . Если каждому значению y

E ставится в

соответствие единственное значение

x D , то определена функция

y с областью определения E и областью значений D , назы-

ваемая обратной по отношению к функции y

x . Про функции

y f x и x y говорят, что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение y f xотносительно x , то по исходной функции можно найти обратную функцию. Например, для функции

y	3x	обратной функцией будет функция			x		1	. Однако,		если,

							3y
как обычно, независимую переменную обозначить через									x , а зави-
симую		переменную через	y ,	то функция,		обратная			функции
y	f x	, запишется в виде	y	x . В последнем примере для
функции y 3x обратной будет функция y					1	.
					3x

	Для существования взаимно однозначного соответствия									меж-

ду множествами E и D необходима монотонность функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обрат-

ных функций

и x

совпадают, то графики функций

y f x

и y

x симметричны относительно биссектрисы угла

первой четверти.

Теорема. Если функция

f x

строго монотонна на про-

межутке

a,b

и имеет неравную нулю производную

в любой

точке этого промежутка, то обратная ей функция

также

имеет производную

в соответствующей точке,

определяемую

равенством

Доказательство.

Рассмотрим

обратную

функцию

y .

Пусть аргумент y

и функция x

испытывают приращения

и x .

Поэтому можно записать

lim

y 0

lim

0 x

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.

Используем теорему о дифференцировании обратной функции для нахождения производной логарифмической функции y log a x .

Рассмотрим функцию			y a x с известной			производной
a x	a x ln a . Тогда для обратной функции x log a y можно ука-
зать производную x		1	1		. Поменяв a x на	y , затем, пе-

		y		a x ln a

рейдя к привычным обозначениям для аргумента и функции, получим:

log a x	1	.

	x ln a
	x ln a

В частном случае для натурального логарифма имеем:

ln x

Аналогичным образом могут быть получены производные об-

ратных

тригонометрических

функций.

Например,

для

функции

arcsin x обратной функцией является функция x

sin y . Тогда

arcsin x

cos y

sin y

sin

Подобным образом получаем:

arccos x

arctgx

arcctgx

x 2

3.5. Сложные функции. Производные сложных функций

Пусть y f u

x ,

тогда

f u x

является слож-

ной функцией с промежуточным аргументом u

и независимым ар-

гументом x .

Теорема. Если функция u

имеет производную ux в

точке

x , а функция

имеет

производную yu

точке

x , то сложная функция

f u x

имеет производную

y x в

точке x , находящуюся по формуле

yx yu ux .

Доказательство.

Поскольку

lim

yu ,

то

0 u

yu u

u ,

где

при

0 , причем

0 .

Для функции

x , имеющей производную в точке

x ,

можно записать

x , где

0 .

Подставив значение

u в выражение для

y имеем

y yu ux x

u ux x

yuux x yu

x ux

u x

x .

Рассмотрим предел

lim

yu ux x yu

x ux

u x

yu ux .

Таким образом, производная сложной функции равна

yx yu ux .

3.6.Гиперболические функции и их производные

Вмеханике встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами: гиперболический синус

	ex	e	x
shx				,
shx		2		,
		2

гиперболический косинус (цепная линия)

	e x	e	x
chx				,
chx		2		,
		2

гиперболический тангенс
thx	shx	e x	e	x	,
thx	chx	e x	e	x	,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.99 Mб43050.pdf
#
15.11.20223 Mб03053.pdf
#
15.11.20223 Mб33054.pdf
#
15.11.20223.01 Mб33109.pdf
#
15.11.20223.01 Mб23110.pdf
#
15.11.20223.04 Mб13115.pdf
#
15.11.20223.04 Mб03118.pdf
#
15.11.20223.05 Mб03119.pdf
#
15.11.20223.05 Mб03123.pdf
#
15.11.20223.06 Mб103125.pdf
#
15.11.20223.06 Mб13126.pdf