2912

Можно также рассмотреть и несколько более общий случай функций вида у = ахn. Их графики получатся из графиков функций у = xn аналогично тому, как параболы у = ах2 получались в п. 4.10 из параболы у = х2.

Можно указать на некоторые общие свойства рассматриваемых функций. Все они принимают нулевое значение при x = 0 (их графики проходят через

n = 2k + 1, то и функция нечетная, так как x 2k 1 x2k 1 . В этом случае график симметричен относительно начала координат.

Для x >= 0 функции (4.11.1) все являются возрастающими. При этом, чем больше показатель п, тем больше значения х" для х > 1; напротив, при 0<х<1 функции с большим показателем степени п принимают меньшие значения. Для х = 1 все функции у = х" принимают значения, равные 1.

Вот таблица, поясняющая это на примере отдельных значений:

Графики функций y = xn для n = 1, 2, 3, 4 показаны на рис. 30. При п = 3 и п = 4 они соответственно называются

параболами третьей и четвертой степени (парабола третьей степени называется также кубической параболой).

4.12. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени. Начнем с исследования степенной функции у = хk в случае k = 1:

или с несколько более общей функции:

67

(в этом случае говорят, что х и у находятся в обратной пропорциональной зависимости, а число т называют

коэффициентом обратной пропорциональности). Равенство (4.12.2) записывают также в симметричной относительно х и у форме:

Таким образом, произведение величин, находящихся в обратной пропорциональной зависимости, постоянно и равно коэффициенту пропорциональности.

Проведем исследование функции (4.12.2) в случае m > 0.

1)Областью определения функции (12.2) служит вся ось Ох, кроме точки

х= 0: эта область состоит из двух бесконечных. открытых интервалов ( , 0) и

(0, + ).

2)Функция не обращается в нуль. Если х > 0, то (в силу т > 0) и у > 0, для отрицательных х функция также принимает отрицательные значения. Областью изменения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

3)Функция (4.12.2) нечетна (докажите); ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно поэтому рассмотреть лишь ту его

часть, которая соответствует интервалу (0, + ).

График функции (4.12.2) обладает и симметрией относительно биссектрис координатных углов. Покажем, например, его симметрию

координаты x2 = y1, у2 = х1, лежит на том же графике; из равенства х1у1 = т следует

x2 y2 y1x1 m .

Это соображение применимо всякий раз, когда соотношение между х и у можно представить в форме, симметричной относительно х и у, т. е. в виде F (х, y) = 0, причем функция F (х, у) удовлетворяет условию F (у, x)=F(x,y).

4) При x > 0 функция (4.12.2) убывающая; действительно, из 0 x1 x2 следует т/х1 > т/х2, т. е. y1 y2 . Функция является убывающей и в интервале

( , 0) (проверьте самостоятельно). Было бы ошибкой, тем не менее считать функцию убывающей во всей области определения: в точке х = 0 она не

каждом из которых она убывает.

5) Изучим характер изменения у при условии, что х принимает все большие положительные значения (стремится к бесконечности). Ясно, что у = т/х при этом будет приближаться к нулю, оставаясь все же положительным. Графически это означает, что кривая приближается (при движении точки вправо) к оси абсцисс, оставаясь выше оси абсцисс. Ось Ох является асимптотой графика обратной пропорциональности.

68

Если, напротив, заставить х приближаться к нулю, оставаясь положительным, то у будет неограниченно возрастать (стремиться к бесконечности). График имеет и вторую асимптоту ось Оу (последнее ясно также из наличия асимптоты Ох и симметрии относительно прямой у = х). Кривая, соответствующая разобранному случаю т > 0, показана на рис. 31, а; случай т < 0 рассматривается аналогично, график изображен на рис. 31,б.

Кривая, служащая графиком обратной пропорциональной зависимости, называется равнобочной гиперболой. В обоих случаях т > 0 и т < 0 гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями гиперболы. Гипербола имеет оси симметрии (здесь они совпадают с биссектрисами координатных углов), две асимптоты (они совпали с координатными осями), центр симметрии (помещающийся в точке пересечения осей симметрии и асимптот).

На рис. 32 показаны графики функций y 1 xn при n = 2, п = 3;

исследование этих функций предоставляется читателю.

В качестве примеров степенных функций с дробными показателями степени рассмотрим y 3 x и y x .

Функцию y 3 x можно рассматривать как обратную по отношению к у = х3; поэтому можно построить ее

график как кривую, симметричную с кубической параболой у = х3 относительно биссектрисы I III координатных углов (рис. 33). Ясно, что и не зная правила, относящегося к графикам взаимно обратных

функции, мы могли бы переписать уравнение y 3 x в равносильном виде х = у3 и строить график функции х = у3 как кубической функции от у.

69

у/х = 13 x , т. е. при х > + отношение у/х уменьшается, приближаясь к нулю.

Это означает, что хорда, соединяющая точку (0, 0) с любой точкой (х, 3 x2 ), наклонена к оси Ох по мере удаления точки в бесконечность под все более острым углом (рис. 35), график поднимается полого.

71

Исследуем еще вид кривой вблизи начала координат. Здесь при малых значениях х отношение у/х = 13 x , показывающее наклон хорды, весьма

велико, кривая входит в начало координат, тесно приближаясь к оси Оу (касаясь оси Оу). График на рис. 35 построен с учетом этого исследования и с

при а > 0, а 1 называется показательной функцией.

Исследуем эту функцию.

1)Областью определения функции (4.13.1) служит вся ось абсцисс, т. е. бесконечный интервал ( , + ).

2)Функция (13.1) не является ни четной, ни нечетной.

3)Функция у = аx положительна при всех значениях аргумента, поэтому

ееграфик весь располагается выше оси абсцисс. Если а > 1, то a x > 1 при х > 0 и a x < 1 при х < 0. Напротив, если а < 1, то a x < 1 при х > 0 и a x > 1 при х < 0.

x0

4)Если а > 1, то функция у = a x монотонно возрастает; если а < 1, то она

монотонно убывает. Действительно, пусть, например, а > 1. При x1 x2 имеем

показать, что при этом ее значения по мере возрастания х становятся сколь угодно большими. График функции круто поднимается вверх при движении точки х по оси абсцисс вправо.

Если теперь заставить переменную точку х двигаться без ограничений по оси Ох влево, то при этом значения функции (4.13.1) будут становиться все меньше и меньше, оставаясь, однако, положительными. По мере неограниченного движения точки х по оси Ох влево график функции (4.13.1) будет сверху все ближе и ближе подходить к оси Ох. Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции (4.13.1), как показано на рис. 36,а.

В случае а < 1 функция y = ax, как уже отмечено, убывает; по мере возрастания х ее значения быстро приближаются к нулю ось Ох является асимптотой графика функции. Отрицательным значениям х теперь соответствуют значения функции, большие единицы, с увеличением модуля х (х ) функция растет, стремится к бесконечности. График показательной функции при а < 1 показан на рис. 36, б.

Чем больше основание а > 1, тем круче поднимается график функции y = ax вправо и тем быстрее приближается к асимптоте при движении точки влево.

71

единицу вдоль оси Оу вниз (рис. 41,в).

74