2912

1) Область определения функции; 2) область изменения функции, т. е. область ее значений; 3) нули функции; интервалы знакопостоянства функции (т, е. интервалы, в которых функция положительна или отрицательна); точка пересечения графика с осью Оу (если функция определена при х = 0); 4) свойства симметрии графика функции (четность или нечетность функции);

5) интервалы возрастания и убывания функции; 6) точки максимума и минимума функции; 7) асимптоты графика функции.

Разумеется, не всегда мы можем элементарными средствами получить точный ответ на все вопросы. Напротив, иногда возникают и другие, дополнительные вопросы различного содержания. Здесь указана примерная схема, которой мы в общих чертах придерживаемся при исследовании функции и построении ее графика.

4.5. Сложная функция. Понятие сложной функции, или функции от функции, определяется следующим образом. Пусть и = (х) некоторая функция от х; рассмотрим другую функцию y = f (и) такую, чтобы ее область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции и = (х). Тогда можно рассматривать у = f (и) = f ( (х)) как функцию от х: задание х определяет и = (х), а значение и, если оно попадет в область определения функции y = f (u), определит у. Таким образом, в конечном счете заданием х определяется значение у, т. е. у становится функцией х. Заданная таким способом функция

y = f (u) = f ( (x)) =F (x)

называется сложной функцией от х (заданной через посредство промежуточного аргумента и).

Пример. Функция у = sin(x) естественно представляется как сложная функция так: y u , u

= sin x.

Схематически сущность понятия сложной функции поясняется рис. 18.

Следует заметить, что термин «сложная функция» указывает на способ задания этой функции, а не на какие-либо ее особые свойства. Любую функцию при желании можно представить как сложную функцию. Например, для функции у = х можно

записать у = 3 x3 или

97

y 3u , u x3 ,

т. е. представить ее как сложную функцию.

4.6. Обратная функция. Рассмотрим функцию y = f (x), областью определения которой служит, например, сегмент [а, b] (рис. 19), а областью изменения сегмент [с, d]. Функция у = f(х) ставит каждой точке сегмента [а, b] в соответствие некоторую точку сегмента [с, d]. Для изображенной на рис. 19 функции (благодаря тому, что она

монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению у0 из сегмента [с, d] соответствует единственное значение x0 из сегмента [а, b] такое, что y0 = f (x0). Тем самым х можно рассматривать как функцию от у с областью определения [с, d] и областью изменения [а, b]. Функцию x = g(y) назовем обратной по отношению к функции y = f(x) (можно эти две функции назвать взаимно обратными).

При схематическом изображении взаимно обратные функции. f и g представятся

стрелками, как показано на рис. 20. При этом, однако, существенно, чтобы данному у могло отвечать лишь одно значение х такое, что y = f (x), тогда мы и пишем: х = g (у). Записи у = f (х) и х = g (у) имеют здесь равнозначный смысл: x = g (y) в том и только в том случае, если y = f (x).

Поэтому пары чисел (х, у), определяемые любым из

двух соотношений y = f (x) и x = g (y), будут одними и теми же. Это означает, что графики функций

у = f (х) и х = g (у) совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную х, изменяющуюся на сегменте [а, b], вторая переменную у с областью изменения аргумента [с, d]. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции x = g(y) мы станем значения аргумента обозначать через х и изображать на оси Ох, а значения функции будем обозначать через у и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами f и g; зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к y = f (x) функции будет уже иметь вид y = g (x).

Теперь график функции y = g (x) будет получаться из графика y = f(x) (или x = g (y)) с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого третьего координатных углов (рис. 21). В самом деле, пусть точка (х0, у0) лежит на графике данной функции; тогда точка (у0, х0,) с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции. Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы, а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I III координатных углов.

Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции y = 43 x 1.

98

функцией двух переменных х, у (принимающих значения в некоторой допустимой области изменения, называемой областью определения функции z = f(x, у)), если каждой паре значений х, у (из этой области) отвечает по некоторому закону единственное значение z.

Поскольку пара значений аргументов х, у может быть изображена точкой плоскости, то область определения функции удобно изображать на плоскости.

Пример. Функция задана аналитическим выражением:

найти ее область определения (т. е. о.д.з. соответствующего выражения) и изобразить ее графически.

Решение. а) Функция определена при x 0, y 0. Соответствующая

область четвертый квадрант (включая ограничивающие его лучи координатных осей), рис. 23, а.

б) Здесь 1 x2 y2 > 0, или x2 y2 1. Это условие определяет

множество точек, расстояние которых от начала О меньше единицы. Такие точки заполняют внутренность круга с центром в О и радиусом, равным единице .(точки окружности в область не входят), как показано на рис. 23, б.

Упражнения:

1.Найти область определения следующих функций:

2.Найти функции, обратные по отношению к следующим функциям:

функцией.

100

4.Записать в виде сложных функций (введя промежуточный аргумент u = (х)) следующие функции:

5.Найти область определения функции и изобразить ее графически:

4.8.Обзор элементарных функций. В элементарной математике по большей части рассматриваются функции, которые могут быть аналитически заданы с помощью рациональных действий (сложение, вычитание, умножение и деление), выполняемых над числами (константами) и перечисленными ниже так называемыми основными элементарными функциями, а также с помощью образования сложных функций. Основными элементарными функциями условимся считать следующие:

I) степенные функции y = xk, где k любое действительное число;

Функции, получающиеся из основных элементарных функций перечисленными выше операциями (из которых особенно важна операция образования сложной функции), будем называть элементарными функциями. Так, например, элементарными являются функции

и т. п.

Выделим некоторые особенно важные виды элементарных функций. Функции, образуемые применением к аргументу только трех целых

рациональных действий, называют целыми рациональными функциями (ц.р.ф.). Их также называют многочленами или полиномами от переменной х; любая ц.р.ф. записывается в виде

(4.8.1)

Если а 0, то она называется ц.р.ф. или полиномом степени п. Линейную ц. р. ф.

(4.8.2)

называют просто линейной функцией; квадратичную ц.р.ф.

(4.8.3)

квадратным (или квадратичным} трехчленом.

101

Дробно-рациональной функцией (д.р.ф.) называют функцию, которая требует для своего образования выполнения рациональных действий (включая деление). Таковы, например, функции

Вообще, д. р. ф. представляется как частное от деления двух ц. р.ф.:

(4.8.4)

В простейшем случае, когда числитель и знаменатель—линейны, функция имеет вид

(4.8.5)

и называется дробно-линейной функцией.

Если, кроме рациональных операций, для образования функции применяется еще извлечение корня целой степени (т. е. возведение в рациональную степень), то такую функцию мы называем алгебраической иррациональной функцией. Примеры алгебраических иррациональных функций:

Все перечисленные до сих пор виды элементарных функций называются

алгебраическими функциями.

Показательная функция, логарифмическая функция, степенная функция при иррациональном показателе степени называются трансцендентными функциями; также трансцендентными считают и тригонометрические функции. Сам термин «трансцендентный» означает «превосходящий» (в смысле превосходящий силу алгебраических методов). Здесь мы рассмотрим некоторые алгебраические и трансцендентные функции (логарифмическую и показательную).

4.9. Линейная функция.Линейной функцией мы назвали функцию вида (4.8.2):

(4.9.1)

При b = 0 она принимает вид

(4.9.2)

В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х (с коэффициентом пропорциональности а); равенство (4.9.2) задает прямую пропорциональную зависимость между х и у.

Отметим простейшие свойства функции у = ах: 1) функция определена при всех значениях х; 2) график функции проходит через начало координат (при х = 0 имеем у = 0); 3) функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат, так как а( х} = (ах).

Чтобы построить график функции у = ах, проведем через начало

Докажем, что эта прямая и является графиком функции. Для этого следует установить два положения:

1. Любая точка этой прямой есть точка графика функции.

102

2. Любая точка графика функции лежит на построенной нами прямой. Возьмем любую точку прямой, отличную от начала координат (точка

M0 (x0, y0) на рис. 24, а). Имеем для нее

точка лежит на графике функции. Обратно, если для некоторой точки

коэффициент а прямой пропорциональности называют также угловым коэффициентом прямой, служащей графиком нашей функции. При а > 0

Для построения графика линейной функции (4.9.1) сравним ее с функцией (4.9.2) и заметим, что при любом значении х величина y, т.е. ордината графика линейной функции y ax b , получится из ординаты

графика функции у = ах прибавлением одного и того же слагаемого b. Отсюда ясно, что графиком функции (4.9.1) будет служить прямая линия, параллельная линии у = ах, служащей графиком функции (4.9.2). Эта прямая получается из прямой у = ах сдвигом на |b| единиц вверх при b > 0 или вниз при b < 0. При х = 0 имеем у = b; величина b показывает, в какой точке график пересекает ось ординат (рис. 25).

Доказано, что графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а.

Справедливо и обратное утверждение: всякая (не параллельная оси Оу) прямая на плоскости является графиком линейной функции (4.9.1).

Величины а и b называются, соответственно, угловым коэффициентом и начальной ординатой прямой, служащей графиком линейной функции (4.9.1).

103

При а > 0 линейная функция возраст тает, при а < 0 убывает, при а = 0 является постоянной.

Для фактического построения графика y ax b с данными числовыми

значениями коэффициентов а и b используем то, что прямая линия определяется любыми двумя своими точками.

Аналогично, полагая y = 0, получаем абсциссу x 3 2 точки, в которой прямая пересекает ось Ох; через

полученные точки (0, 3) и ( 3 2 , 0) проводим прямую (рис. 26).

б) В этом случае прямая проходит через начало координат O(0, 0) и для ее построения достаточно найти еще одну точку. Положим, например, х = 1, при этом у = 2; значит точка A(1, 2) принадлежит искомому графику. Построим прямую, проходящую через точки A и О, она и является графиком данной функции (рис. 26).

в) В этом примере а = 0. Графиком функции служит прямая, параллельная оси Ох. В данном случае она удалена от этой оси на одну единицу масштаба и лежит под ней (рис. 26).

Произвольная прямая, не параллельная оси Оу, является графиком некоторой линейной функции. Если прямая параллельна оси Оу и пересекает ось Ох в точке с абсциссой х = а, то все точки прямой имеют такую же абсциссу; прямая определяется уравнением

(4.9.3)

не содержащим y.

Можно вообще рассмотреть произвольное уравнение первой степени (линейное уравнение) относительно х и у.

(4.9.4)

Такое уравнение называется общим линейным уравнением. При B 0 оно, по существу, определяет у как линейную функцию х:

Если функция y = f(x) задана уравнением F (х, у) = 0, связывающим х и y, которое не разрешено относительно у, то говорят, что функция задана в неявном виде; уравнение (4.9.4) задает линейную функцию в неявном виде.

Если B = 0, то считаем A 0 и находим

104

т. е. получаем уравнение прямой, параллельной оси Оу. Окончательный вывод: общее линейное уравнение

(4.9.4) всегда определяет на плоскости прямую линию (предполагается, что А и В одновременно нулю не равны).

Пример 2. Построить прямые, заданные следующими уравнениями:

а) 2х + 3y 6 = 0; б) 3x + 15 = 0.

Решение. а) Определим точки пересечения данной прямой с осями координат. Для этого в уравнении положим сначала x

= 0, а затем y = 0. Найдем точки (0, 2) и (3, 0) и проведем через эти две точки прямую (рис. 27).

б) В уравнении отсутствует член с у. Поэтому оно задает прямую, параллельную оси ординат. Находим x = 5 и строим. прямую, параллельную оси ординат, расположенную слева от этой оси и отстоящую от нее на 5 единиц масштаба (рис. 27).

4.10. Квадратичная функция y=axг. Рассмотрим функцию

(4.10.1)

установим ее простейшие свойства и построим график этой функции.

1.Функция определена при всех значениях x; значения функции неотрицательны: она равна нулю при х = 0 и положительна при любых других значениях х. Следовательно, график функции проходит через начало координат

ирасполагается выше оси Ох (имея с ней общую точку O(0, 0)).

2.Функция четная: x 2 x2 , график функции симметричен

относительно оси Оу. Поэтому достаточно построить его для х >= 0 и затем зеркально отразить относительно Оу.

Точка O(0, 0) точка минимума функции. В ней функция принимает свое наименьшее значение, равное нулю.

4. Для правильного изображения графика функции полезно рассмотреть более подробно характер ее изменения («поведение») при х, весьма близких к нулю, и при весьма больших х.

Если х принимает, например, большие положительные значения, скажем

абсолютном смысле, но и по отношению к х. Именно, находим из у = х2

(4.10.2)

откуда видно, что с увеличением х отношение у/х растет неограниченно, стремится к бесконечности. Поэтому график функции поднимается вверх (вправо) весьма круто (рис. 28).

65

При очень малых х, например при х = 0.1, х = 0.01, х = 0.001, у принимает, соответственно, еще более быстро убывающие значения 0.01; 0.0001; 0.000001, малые не только «абсолютно», но и по отношению к х (что видно из того же равенства (4.10.2)). Геометрически это означает, что наклон хорды, соединяющей точку (х, у) графика с точкой (0, 0), при малых х будет очень мал: график подходит к началу координат, тесно сближаясь с осью Ох, «касаясь» оси Ох (рис. 28).

Для более точного изображения графика составим еще небольшую табличку значений функции, например:

Табл.3

Полученные на рисунке точки соединим плавной линией с учетом общих, установленных выше свойств функции.

Графики функций у = ах2 имеют такой же характер; при а > 0 ординаты графика функции у = ах2 отличаются множителем а от ординат графика функции у = х2. При а < 0 получается график, симметрично расположенный с графиком у = | а | х2 относительно оси Ох.

На рис. 29 показаны графики функций

Напомним, что график функции вида у = ах2 называется параболой; ось симметрии графика называется осью параболы (здесь она совпадает с осью Оу), точка пересечения

4.11. Степенная функция у = x n. Рассмотрим теперь функцию

(4.11.1)

при любом натуральном п. В случае п = 1 и п = 2 получаются уже знакомые функции: линейная у = х и квадратичная у = х2, графиками которых являются прямая (биссектриса I III координатных углов) и парабола.

66