2875

%- delta - допустимое отклонение для р0

%- epsilon - допустимое отклонение для эначений

%функции у

%- maxl - максимальное число итераций

%Выход- р - приближение Стеффенсена к нулю

%- Q - матрица, содержащая последовательность

%Стеффенсена

%Инициализацияматрицы R

R=zeros(maxl,3); for k=l:maxl

for j=2:3

% ВычислениезнаменателявформулеметодаНьютона-Рафсона nrdenom=feval(df ,R(k, j-1);

% ВычислениеприближенийНьютона-Рафсона if nrdenom==0

'деление на нуль в методе Ньютона-Рафсона' break

else

R(k, j)=R(k,j-l)-feval(f, R(k,j-l))/nrdenom; end

%Вычисление знаменателя в ускоренной процессе

%Эйткена

aadenom=R(k,3)-2*R(k,2)+R(k,l);

% Вычисление приближений ускоренного процесса Эйткена if aadenom==0

'деление на нуль в ускоренном процессе Эйткена' break

else R(k+l,l)=R(k,l)-(R(k,2)-R(k,l))^2/aadenom;

end end

% Конецпрограммыприпоявленииделениянануль if (nrdenom==0)|(aadenom==0)

break end end

ПрограммаP8 (методМюллера). Нахождениекорняуравненияf(x) = 0 стремя заданнымиразличныминачальнымиприближениямиРо, P1 и Р2.

function [p,y,err]=muller(f,p0,p1,p2,delta, epsilon,maxl)

%Вход- f - функция, вводимаякак строка'f '

%- р0, p1 и р2 - начальные приближения

%- delta - допустимое отклонение для р0, р1 и р2

%- epsilon - допустимое отклонение для значений функции у

%- maxl - максимальное число итераций

%Выход- р- приближениеМюллеракнулюфункцииf

%- у - значение функции у = f (р)

%- err - ошибка приближения к р

%ИнициализацияматрицРиY

Р=[р0 р1 р2]; Y=feval(f,P);

%Вычисление а и b for k=l:maxl

h0=P(l)-P(3); hl=P:(2)-P(3); e0=Y(l)-Y(3); e1=Y(2)-YX3); c=Y(3);

denom=hl*hO^2-hO*hl^2; a=(e0*hl-el*h0)/denom; b=(el*h0^2-e0*hl^2)/denom;

% Подавлениелюбыхкомплексныхкорней if b^2-4*a*c > 0

disc=sqrt(b^2-4*a*c); else

disc=0; end

% Нахождение наименьшегокорня if b < О

disc=-disc; end z=-2*c/(b+disc); p=P(3)+z;

% Сортировка входных Р для поиска двух ближайших к р if abs(p-P(2))<abs(p-P(1))

Q=[P(2) P(l) P(3)]; P=Q;

Y=feval(f,P);

end

if abs(p-P(3))<abs(p-P(2)) R=[P(1)P(3) P(2)]; P=R;

Y=feval(f,P); end

%Замена входного Р ближайшим от р рn

Р(3)-р;

Y(3) = feval (f, Р(3)); Y==Y(3);

%Вычисление критерия останова

err=abs(z);

relerr=err/(abs(p)+delta);

if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon) break

end end

Программа P9 (обратная подстановка). Решение верхней треугольной системы линейных уравнений АХ = В методом обратной подстановки. Обращаться к методу только в том случае, когда диагональные элементы не равны нулю. Сначала вычисляем xN — bN/aNN. а затем используем правило

%- В - матрица размера n x 1

%Выход - X - решение системы линейных уравнений АХ= В

%НаходимразмерматрицыВиинициализируемX n=length(B);

X=zeros(n,l);

X(n)=B(n)/A(n,n); for k=n-l:-l:l

X(k)=(B(k)-A(k,k+l:n)*X(k+l:n))/A(k,k); end

Программа P10 (построение верхней треугольной матрицы для применения метода обратной подстановки). Чтобы найти решение системы АХ = В, сначала приводим расширенную матрицу [А|В] к верхней треугольной форме, а затемвыполняемобратнуюподстановку.

function X = uptrbk(A,B)

%Вход - А - невырожденная матрица размера N х N

%- В - матрица размера N х 1

%Выход- X - матрицаразмераN х1, содержащаярешениеАХ=В

%ИнициализацияX ивременноесохранениематрицы

[N N]=size(A);

X=zeros(N,l);

C=zeros(l,N+l);

% Видрасширеннойматрицы:Aug= [A|B] Aug=[A В];

for p=l:N-l

% Частный выбор главного элемента для столбца р

[Y,j]=mах(abs(Aug(р:N,р)));

% Меняем местами строки р и j C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-l,:); Aug(j+p-l,:)=C; if Aug(p,p)==0

'А вырождена. Нет единственного решения' break

end

% Процессисключениядлястолбцар for k=p+l:N

m=Aug(k,p)/Aug(p,p);

Aug(k,p:N+l)=Aug(k,p:N+l)-m*Aug(p,p:N+l); end

end

%Обратная подстановка в [UIY] с использованием программы

%P3.1

X=backsub(Aug(l:N,l:N),Aug(l:N,N+l));

Программа P11 (РА = LU: разложение с выбором главного элемента). Построение решения линейной системы АХ = В, где А — невырожденнаяматрица.

function X = lufact(A,B)

%Вход - А - матрица размера NхN

%- В - матрица размера N х 1

%Выход - X - матрица размера N х 1, содержащая решение

%АХ = В

%Инициализация X, Y, временное сохранение матрицы С и

%строк заданной матрицы перестановок R

[N,N]=size(A);

X=zeros(N,l);

Y=zeros(N,l);

C=zeros(l,N);

R=1:N; for p=l:N-l

%Находим главный элемент строки для столбца р

[maxl,j]=max(abs(A(p:N,p)));

%Меняем местами строки р и j

С=А(р,:); A(p,:)=A(j+p-1,:); A(j+p-1,:)=C;

d=R(p); R(p)=R(j+p-l);

R(j+p-1)= d; if A(p,p)==0

'А вырождена. Нет единственного решения' break

end

%Вычисление множителя и размещение под диагональю

%матрицы А

for k=p+l:N

mult=A(k,p)/A(p,p); A(k,p) = mult; A(k,p+l:N)=A(k,p+l:N)-mult*A(p,p+l:N);

end

end

% Решение для Y Y(1)=B(R(1));

for k=2:N

Y(k)=B(R(k))-A(k, 1:k-1)*Y(1:k-1);

end

% РeшениедляX X(N)=Y(N)/A(N,N); for k=N-l:-l:l

X(k)=(Y(k)-A(k,k+l:N)*X(k-1:N))/A(k,k); end

Программа P12 (итерация Якоби). Решение линейной системы

АХ = В, начиная с исходного значения X = Р0, и генерирования последовательности {Pk}, которая сходится к решению. Эффективным условием для применения метода является то, что А — строго диагонально доминирующая матрица.

function X=jacobi(A,B,P,delta, maxl)

%Вход - А - невырожденная матрица размера N х N

%- В - матрица размера N х 1

%- Р - матрица размера N х 1, начальное предположение

%- delta - допустимоеотклонениедляР

%- maxl - максимальное число итераций

%Выход - X - матрица размера N х 1: приближение Якоби к решению

%АХ = В

N = length(В); for k=l: maxl for j=l:N

X(j)=(B(j)-A(j,[1:j-1, j+1:N])*P([1:j-1, j+1,:N]))/A(j, j); end

err=abs(norm(X'-P)); relerr=err/(norm(X)+eps); P=X';

if(err<delta)|(relerr<delta) break

end end X=X ' ;

Программа P13 (итерация Гаусса-Зейделя). Решение линейной системы АХ = В, начиная с исходного значения X = P0 методом генерирования последовательности {Pk}, которая сходится к решению. Эффективным условием для применения метода является то, что А — строго диагонально доминирующая матрица.

function X=gseid(A,B,P,delta, maxl)

%Вход - А - невырожденная матрица размера N х N

%- В - матрица размера N х 1

%- Р - матрица размера N х 1, начальное предположение

%- delta - допустимое отклонение для Р

%- maxl - максимльное число итераций

%Выход-X матрица размера Nх1: приближение

%Гаусса-Зейделя к решению АХ = В

N = length(B); for k=l:maxl for j=l:N

if j==l

X(1)=(B(N)-A(1,2:N)*P(2:N))/A(1,1); elseif j==N

X(N=(B(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1)))/A(N,N); else

%Х содержит k-e приближение и Pk-1

X(j)=(B(j)-A(j,1,j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:N)*P(J+1:N))/A(j,j); end

end err=abs(norm(X’-P);

relerr=err/(norm(X)+eps); Р=Х';

if(err<delta)|(relerr<delta) break

end

end X=X';

Программа P14 (нелинейная итерация Зейделя). Решение нелинейной системы неподвижной точки X = G(X) с заданным начальным приближением P0 и генерированием последовательности {Pk}, которая сходится к решению Р.

function [P,iter] = seidel(G,P,delta, maxl)

%Вход- G - нелинейнаясистема, записаннаявформеМ-файлаG.m

%- Р - начальное приближение к решению

%- delta - грань ошибки

%- maxl - число итераций

%Выход- Р- приближениеЗейделякрешению

%- iter - число потребовавшихся итераций

N=length(P); for k=l:maxl

Х=Р;

% X k-oe приближениекрешению

for j=l:N A=feval('G',X);

% ВыводчленовX помереихвычисления

X(j)=A(j) end

err=abs(norm(X-P)); relerr-err/(norm(X)+eps);

Р=Х; iter=k;

if(err<delta)|(relerr<delta) break

end end

Программа P15 (метод Ныотона-Рафсона). Решение нелинейной системы F(X) — 0 с одним заданным приближением P0 и генерированием последовательности {Pk}, которая сходится к решению Р.

function [Р,iter,err]=newdim(F,JF,P,delta,epsilon,maxl)

%Вход - F - система, записанная в форме М-файла F.m %- JF - матрица Якоби F, записанная в форме М-файла JF.M

%- Р - начальное приближение к решению

%- delta - допустимое отклонение для Р

%- epsilon - допустимое отклонение для F(P)

%- maxl - максимальное число итераций

%Выход - Р - приближенное решение

%- iter - число потребовавшихся итераций

%- err - ошибка вычисления Р

Y=feval(F,P); for k=l:maxl

J=feval(JF,P);

Q=P-(J\Y')';

Z=feval(F,Q); err=norm(Q-P);

relerr=err/(norm(Q)+eps);

P=Q;

Y=Z;

iter=k;

if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(Y)<epsilon) break

end end

Программа P16 (приближение Лагранжа). Программа вычисляет полином Лагранжа P(x)= ∑kN=0 yk LN ,k (x) основанный на

N + 1 точке (xk,yk) для k = 0,1,..., N. function [C,L]=lagran(X,Y)

%Вход - X - вектор абсцисс

%- Y - вектор ординат

%Выход- С- матрицакоэффициентовинтерполирующего

%полинома Лагранжа

%- L - матрица коэффициентов полинома Лагранжа w=length(X);

n=w-l; L=zeros(w,w);

%ФормированиекоэффициентовполиномаЛагранжа

for k=l:n+l

V=l;

for j=l:n+l if k~=j

V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end

end

L(k,:)=V;

end

%Определениекоэффициентовинтерполирующегополинома

%Лагранжа

C=Y*L;

Программа P17 (интерполяционный полином Ньютона). Для построения и вычисления полинома Ньютона степени <N, который

проходит через точки (xk,yk) = (xkf(xk)), k = 0,l,...,N:

Р(х) = d0,0 + d1,1(x - х0) + d2,2(x - х0)(х - x1)+ + • • • + dN,N(x - х0)(х -x1)---(x- XN-1),

function [C,D]=newpoly(X,Y)

%Вход- X векторабсцисс

%- Y вектор ординат

%ВыходСвекторкоэффициентовинтерполирующего

%полинома Ньютона

%- D таблица разностных отношений

n=length(X);

D=zeros(n,n);

D(:,1)=Y';

% Использование формулы для формирования таблицы for j=2:n

for k=j:n

D(k, j)=(D(k, j-1)-D(k-l, j-l))/(X(k)-X(k-j+1); end

end

%Определениекоэффициентовинтерполирующего

%полиномаНьютона

C=D(n,n);

for k=(n-l):-l:l C=conv(C,poly(X(k))); m=length(C); C(m)=C(m)+D(k,k;

end

Программа P18 (приближение Чебышева). Построение и вычисление интерполирующего полинома Чебышева степени N на интервале [-1; 1], где полином

function [C,X,Y]=cheby(fun,n,a,b)

%Входfun - функция, заданнаяв видестроки, которуюприближают

%- N - степень интерполирующего полинома Чебышева

%- а - левая крайняя точка

%- b - правая крайняя точка

%Выход- С- массив коэффициентовполинома

%- X - массив абсцисс

%- Y - массив ординат

if nargin==2, a=-l; b=l; end d=pi/(2*n+2); C=zeros(l,n+l);

for k=l:n+l X(k)=cos((2*k-l)*d);

end X=(b-a)*X/2+(a+b)/2; x=X;

Y=eval(fun); for k =l:n+l

z=(2*k-l)*d; for j=l:n+l

C(j)=C(j)+Y(k)*cos((j-l)*z); end

end C=2*C/(n+l); C(l)=C(l)/2;

(x1; y1) , . . . , ( x N , y N ) .

function [A,B]=lsline(X,Y)

%Вход- X - векторабсциссразмера1хп

%- Y - вектор ординат размера 1хп

%Выход- А- коэффициентприхвуравненииАх+ В

%- В - постоянный коэффициент в уравнении Ах + В xmean=mean(X);

ymean=mean(Y); sumx2=(X-xmean)*(X-xmean)'; sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean)'; A=sumxy/sumx2;

B=ymean-A*xmean;

Программа P20 (построение полинома методом наименьших квадратов). Построение полинома степени М методом наименьших квадратов РМ(Х) = c1+ c2x + с3х2 +...+ смхм-1 + см+1хм, который

N

подогнан по N точкам { ( xk ,U k )}k =1 .

function С = lspoly(X,Y,M)

%Вход- X - вектор абсцисс размера 1хn

%- Y - вектор ординат размера 1хn

%- М - степень полинома, построенного

%методом наименьших квадратов

%Выход-С - коэффициенты полинома n=length(X);

B=zeros(l:M+l);

F=zeros(n,M+l);

%Заполнение столбцов матрицы F степенями X

for k=l:M+l

F(:,k)=X>.-(k-l);

end ' . % Решение линейной системы

A=F'*F;

B=F'*Y';

С=А\В;

C=flipud(C);

Программа P21 (смыкающий кубический сплайн). Построение и вычисление интерполяционного смыкающего кубического сплайна

N

S(x) по N+ 1 заданнойточке { ( xk , yk )}k =0 function S=csfit(X,Y,dxO,dxn)

%Вход- X - векторабсциссразмераIxn

%- Y - вектор ординат размера Ixn

%- dx0 = S' (х0) - граничноеусловиенапервуюпроизводную

%- dxn = S' (xn) - граничное условие на первую производную

%Выход- S: строкиS - этокоэффициентывпорядкеубывания

%для интерполяционного кубического сплайна

N=length(X)-l;

H=diff(X);

D=diff(Y)./H;

A=H(2:N-1);

B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));

C=H(2:N);

U=6*diff(D);

%Смыкающий сплайн с ограничениями в крайних %точках

В(1)=В(1)-Н(1)/2; U(l)=U(l)-3*(D(l)-dxO); B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2; U(N-l)=U(N-i)-3*(dxn-D(N)); for k=2:N-l

temp=A(k-l)/B(k-l);

B(k)=B(k)-temp*C(k-l);

U(k)=U(k)-temp*U(k-l);

end M(N)=U(N-1)/B(N-l);

for k=N-2:-l:l

M(k+l)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);

end

M(l)=3*(D(l)-dxO)/H(l)-M(2)/2; M(N-H)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;

for k=0:N-l S(k+l,l)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+l));

S(k+l,2)=M(k+l)/:2; S(k+l,3)=D(k+i)-ft(k+l)*(2*M(k+l)+M(k+2))/6; S(k+l,4)=Y(k+l);

end

Программа P22 (тригонометрические полиномы). Построение тригонометрического полинома степени М вида

P(x)= a20 +∑Mj=1 (aj cos( jx) +bj sin( jx)) ,

построенного по N равномерно отстоящим значениям Xk = - π +2π kk/N, k = 1,2…N. В программе допускается, что 2М + 1 ≤

N.

function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M)

%Входвекторравноотстоящихабсцисснаинтервале [-p1,pl]

%- вектор ординат

%- степень тригонометрического полинома

%Выходвектор, содержащийкоэффициентыприcos(jx)

%- вектор, содержащий коэффициенты при sin(jx)

if M>maxl M=maxl;

end

A=zeros(l,M+l);

B=zeros(l,M+l);

Yends=(Y(l)+Y(N+l))/2;

Y(l)=Yends;

Y(N+l)=Yends;

A(l)=sum(Y); for j=l:M

A(j+l)=cos(j*X)*Y';

B(j+l)=sin(j*X)*Y';

end A=2*A/N; B=2*B/N; A(l)=A(l)/2;

Программа P23 (дифференцирование, использующее пределы).

Чтобы получить численное приближение f'(х), генерируем последовательность

допустимого отклонения, что является попыткой найти наилучшее приближение f ‘(x) ≈Dn

function [L,n]=difflim(f.x.toler)

%Bход - f - функция, вводимая в виде строки 'f'

%- х - точка дифференцирования

%- toler - допустимое отклонение для ошибки

%Выход - L=[H' D' Е']:

%Н - вектор длин шагов

%D - вектор приближений производной

%Е - вектор граней ошибок

%- n - координата "наилучшего приближения"

maxl=15;

h=1;

H(l)=h;

D(l)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h); Е(1)=0;

R(l)=0; for n=l:2

h=h/10;

H(n+l)=h; D(n+l)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h); E(n+l)-abs(D(n+l)-D(n)); R(n+l)=2*E(n+l)*(abs(D(n+l))+abs(D(n))+eps);

end n=2;

while((E(n)>E(n+l))&(R(n)>toler))& n<maxl h-h/10;

H(n+2)=h; D(n+2)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h); E(n+2)=abs(D(n+2)-D(n+l)); R(n+2)=2*E(n+2)*(abs(D(n+2))+abs(D(n+l))+eps); n=n+l;

end n=length(D)-1; L=[H’ D’ E’];

Программа P24 (дифференцирование с использованием экстраполяции). Чтобы найти численное приближение f'(x), генерируем таблицу приближений D(j, k) для k ≤j и используем f‘(x) ≈D(n, n) в качестве окончательного ответа. Приближения

D(j, k) хранятся в нижней треугольной матрице, первый столбец которой равен

function [D,err,relerr,n]=diffext(f,x,delta,toler)

%Вход - f - функция, вводимая как строка 'f '

%- delta - допустимое отклонение для ошибки

%- toler - допустимое отклонение для относительной ошибки

%Выход- D - матрицаприближенийпроизводных

%- err - грань ошибки

%- relerr - грань относительной ошибки

%- п - координата "наилучшего приближения"

егг=1; relerr=l; h=l;

j=1;

D(l,l)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h); while relerr>toler & err>delta &j<12

h=h/2;

D(j+l,l)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h); for k=l:j

D(j+l,k+l)=D(j+l,k)+(D(j+l,k)-D(j,k))/((4^k)-1);

end err=abs(D(j-1,j+l)-D(j,j));

relerr=2*err/(abs(D(j+l,j+l))+abs(D(j,j))+eps);

j=j+1;

end [n,n]=size(D);

Программа P25 (дифференцирование, использующее N + 1 узел).

Программа предназначена для численного приближения f'(x) полиномомНьютонаN-й степени

Р(х) = a0 + a,(x - x0) + a2(X--X0)(X - x1) +

+аз(х — x0)(X - x1)(x — x2) +...+aN(X — X 0 ) . . . ( X — XN-I)

ииспользует значение f ‘(xо) ≈ Р'(хо) в качестве ответа. Метод следует использовать для точки XQ. Для вычисления f'(xk) fa P'(xk) точки можно перегруппировать {Xk, X0, ..., Xk-1, Xk+1,..., XN}.

function [A,df]=diffnew(X,Y)

%Вход- X - векторабсциссразмера Ixn

%- У - вектор ординат размера Ixn

%Выход- А- векторразмераIxn, которыйсодержиткоэффициенты

%полинома Ньютона N-й степени

%- df - приближение производной

А=Y; N=length(X); for j=2:K

for k=N:-l:j A(k)=(A(k)-A(k-l))/(X(k)-X(k-j+l));

end end x0=X(l); df=A(2); prod=l;

nl=length(A)-l; for k=2:nl

prod=prod*(xO-X(k)); df=df+prod*A(k+l);

end

Программа P26 (составная формула трапеций). Предназначена для приближения интеграла

%- а и b - верхний и нижний пределы интегрирования

%- М - число подынтервалов

%Выход- s - суммаформулытрапеций

h=(b-a)/M; s=0;

for k=l:(M-l) x=a+h*k; s=s+feval(f,x);

end s=b*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h*s;

Программа P27 (составная формула Симпсона). Предназначена дляприближенияинтеграла

хk, = а+ kh, k = 0, 1, 2,..., 2М. Заметим, чтоX0= аиx2M= b

function s=simprl(f,a,b,M)

%Вход- f - подынтегральнаяфункция, вводимаякакстрока

%- а и b - верхний и нижний пределы интегрирования

%- М - число подынтервалов