2875

поэтому на практике используют менее строгий метод контроля точности численного решения — принцип Рунге. Данный принцип заключается в сравнении численных решений, полученных на временных сетках с шагом 2h и h, в одних и тех же узлах временной сетки. Абсолютное значение разности этих

решений характеризует величину погрешности численного решения. Недостаток настоящего подхода состоит в том, что

при данном способе контроля приходится ограничиваться квадратурными формулами, пригодными только для сеток с равномерным шагом.

Рис. X.2. Численное решение интегрального

Важно понимать, что необходимо согласовывать выбор конкретной квадратурной формулы (порядок ее точности) со степенью гладкости ядра интегрального уравнения. Если ядро и свободный член оказываются недостаточно гладкими, то для

вычисления интеграла не следует применять высокоточные

квадратуры, а лучше ограничится такими формулами, как формулы трапеций и прямоугольников.

Это замечание иллюстрирует рис. X.3, на котором представлено решение уравнения из примера X.1, полученное при использовании квадратурной формулы Симпсона. Далее приведен листинг файла Solve2_g11.m (листинг X.4), содержащего описание соответствующей функции.

Листинг X.4. Файл Solve2_g11.m function [X,Y]=solve2_g11(x1,x2,N,Lambda) % задание временной сетки h=(x2-x1)/(N-1);

i=1:N; t(i)=x1+h*(i-1); s=t;

%задание коэффициентов квадратурной формулы метода Симпсона

A(1)=1/3;

A(N)=1/3;

k=0;

for i=2:N-1 if k==0

A(i)=4/3;

k=1; else

A(i)=2/3;

k=0;

end;

end;

%вычисление значений функции Q(t,s) в узлах сетки

for i=1:N for j=1:N

q(i,j)=Q11(t(i),s(j));

end;

end;

% вычисление значений функции f(t) в узлах временной сетки

F=f11(t); for i=1:N

for j=1:N if i==j

M(i,j)=1-Lambda*A(i)*q(i,j)*h; else

M(i,j)=-Lambda*A(i)*q(i,j)*h; end;

end;

end;

X=t;

Y=M^-1*F'; % нахождение решения интегрального уравнения

Для получения численного решения интегрального уравнения следует создать файлы q11.m, f11.m, Solve1_g11 и затем выполнить следующую последовательность команд:

>>x1=1; % левая граница отрезка поиска решения

>>x2=2; % правая граница отрезка поиска решения

>>Lambda=1;

>>N=300; % число узлов разбиения отрезка

>>[X,Y]=solve2_g11(x1,x2,N,Lambda);

>>plot(X,Y) % визуализация решения интегрального уравнения

%(рис. X.3)

Рис. X.3. Численное решение интегрального уравнения

Симпсона

10.3. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Вольтера

Так как линейные интегральные уравнения Вольтерра в отличие от уравнения Фредгольма имеют единственное непрерывное решение при любых значениях параметра λ, при нахождении

численного решения уравнения

где t [а, b], можно положить λ = 1.

Учитывая, что уравнение Вольтерра формально можно считать

уравнением Фредгольма вида

для нахождения решения рассматриваемого уравнения воспользуемся результатами предыдущего раздела.

Введем в рассмотрение временную сетку s j Î[a, b] , состоящую

из п узлов, и выберем конкретную квадратурную формулу с весами Аj, тогда приближенное решение интегрального уравнения принимает вид (X.17). Составим систему линейных алгебраических уравнений, аналогичную системе (X.18), которая в силу свойств ядра интегрального уравнения (X.21) вырождается в треугольную:

Из (X.22) видно, что искомые значения x1, x2,…,хп находятся последовательными вычислениями по следующим формулам:

(Точное решение уравнения х = t2.)

1.Создайте файл q11_2.m (листингX.5), содержащий описание функции, возвращающей значения подынтегральной функции. Листинг X.5. Файл q11_2.m

function z=Q11_2(t,s) z=t*cos(t*s.^3).^2;

2.Создайте файл F11_2.m (листинг X.6), содержащий описание функции, возвращающей значения функции f(t).

Листинг X.6. Файл F11_2.m function z=f11_2(t) z=t.^2-1/3*tan(t.^4);

3.Создайте файл Solve3_g11.m (листинг X.7), содержащий описание функции, возвращающей решение интегрального уравнения.

Листинг X.7. Файл Solve3_g11.m function [T,Y]=Solve3_g11(t1,t2,N) % задание временной сетки h=(t2-t1)/(N-1);

i=1:N; t(i)=t1+h*(i-1);

s=t;

% задание коэффициентов квадратурной формулы метода трапеций

A(1)=0.5; m=2:N-1; A(m)=1; A(N)=0.5;

%вычисление значений функции Q(t,s) в узлах сетки for i=1:N

for j=1:N Q(i,j)=Q11_2(t(i),s(j));

end;

end;

%вычисление значений функции f(t) в узлах временной сетки

F=f11_2(t);

%вычисление решения интегрального уравнения

x(1)=F(1)./(1-A(1)*Q(1,1)); for m=2:N

S=0;

for j=1:m-1 S=S+h.*A(j).*Q(m,j).*x(j);

end; x(m)=(F(m)+S)./(1-h.*A(m).*Q(m,m));

end;

T=t;

Y=x;

4. Выполните следующую последовательность команд:

>>t1=0; % левая граница отрезка поиска решения

>>t2=0.5; % правая граница отрезка поиска решения

>>N=300; % число узлов разбиения отрезка

>>[X,Y]=solve3_g11(x1,x2,N,Lambda);

>>plot(X,Y) % визуализация решения интегрального уравнения

%(рис. X.4)

Рис. X.4. Численное решение интегрального уравнения

%оценка параметров решения интегрального уравнения

%методом наименьших квадратов

>>Z=[ones(size(X'))X'X'.^2];

>>a=Z\Y'

a=

-0.0000 -0.0000 1.0003

>>format long

>>a

a=

1.0е+002*

-0.00000187595514 -0.00000470664690 1.00030838604155

Получим расчетные формулы для решения уравнения Вольтерра первого рода (X.5) при использовании метода средних прямоугольников. Решения уравнения будем находить

в узлах временной сетки

a

Рис. X.5. Пространственно-временная сетка, используемая для

решения уравнения Вольтерра

Из (X.26) видно, что в данном случае условие совпадения узлов квадратур si с узлами временной сетки ti не является обязательным, поэтому их можно выбрать посередине элементарных промежутков интегрирования [ti-1, ti] (рис. X.5). Выбор данной сетки означает, что

Учитывая выбор квадратурной формулы и условия (X.27), запишем (X.26) в следующем виде:

hQ(t1 , s1 )x1 = f (t1 ),

hQ(t2 , s1 )x1 + hQ(t2 , s2 )x2 = f (t2 ),

где i = 2, 3,

Пример X.4. Найти в пакете МАТЬАВ решение интегрального

уравнения

используя систему узлов координатно-временной стеки, представленную на рис. X.5.

(Точное решение уравнения x(t) = t12 . )

1.Создайте файл F11_4.m (листинг X.8), содержащий описание функции, возвращающей значения функции f(t).

Листинг X.8. Файл F11_4.m function z=F11_4(t) z=t.^2-1./t;

2.Создайте файл Q11_4.m (листинг X.9), содержащий описание функции, возвращающей значения функции Q(t,s).

Листинг X.9. Файл Q11_4.m function z=Q11_4(t,s)

z=t.^2+s.^2+1;

3. Создайте файл УоИеггаП.т (листинг X.10), содержащий описание функции, возвращающей решения интегрального уравнения Вольтерра.

Листинг X.10. Файл Volterra11.m function [T,Z]=Volterra11(t1,t2,N)

%задание временной сетки h=(t2-t1)/(N-1);

i=1:N;

t(i)=t1+h*i;

s=t+h/2;

%вычисление значений ядра интегрального уравнения

%в узлах временной сетки

fоr i=1:N fоr j=1:N

q(i+1,j+1)=Q11_4(t(i),s(j)); end;

end;

%вычисление значений функции F(t) в узлах временной сетки

F(1)=F11_4(t(1)); F(i+1)=F11_4(t(1));

%Вычисление значений решения интегрального уравнения в соответствие с (X.29),(X.30)

х(1)=F(1)/(h*q(1,1)); for m=2:N

s=0;

fоr j=2:m-1 s=s+q(m,j)*m(j);

еnd;

х(m) = (F(m) -h*s)/( h*q(m,m)); end;

Т=t; Z=х;

4. Выполните следующую последовательность команд:

>>t1=1; % левая граница интервала поиска решения

>>t2=1.3;%правая граница интервала поиска решения

>>N=300; % число интервалов разбиения отрезка

%[t1,t2]

>>[Т,Z]=Voltегга11(t1,t2,N); % численного решения

% интегрального уравнения Вольтерра

>>рlоt(Т,Z); % визуализация решения уравнения

%Вольтерра (рис. X.6)

При использовании квадратурных формул замкнутого типа и совпадающей системы узлов возникает проблема вычисления значения x1=x(t1)=x(s1)=x(a), которая не возникала при решении уравнений Вольтерра второго рода. Действительно, при i=1 равенство (X.25) теряет всякий смысл.

Для нахождения начального значения x1 продифференцируем уравнение (X.5) по t.

2.Создайте файл dF11_4.m (листинг X.12), содержащий описание функции, возвращающей значения производной функции f(t).

Листинг X.12. Файл dF11_4.m function z=dF11_4(t) z=2*t+1/t.^2;

3.Создайте файл Q11_4.m (листинг X.13), содержащий описание функции, возвращающей значения функции Q(t,s). Листинг X.13. Файл Q11_4.m

function z=Q11_4(t)

z=t.^2+s.^2+1;

интегрального уравнения Вольтерра на совпадающей сетке.

Листинг X.14. Файл Volterra11_2.m function [T,Z]=Volterra11(t1,t2,N)

%задание временной сетки h=(t2-t1)/(N-1);

i=1:N; t(i)=t1+h*(i-1); s=t;

%вычисление значений ядра интегрального уравнения

%в узлах временной сетки

fоr i=1:N fоr j=1:N

q(i,j)=Q11_4(t(i),s(j)); end;

end;

%вычисление значений решения интегрального

%уравнения в соответствие с (X.33), (X.34) F=F11_4(t);

F(1)=dF11_4(t(1)); х(1)=F(1)/(h*q(1,1)); for m=2:N

s=0;

fоr j=2:m-1 s=s+q(m,j)*m(j);

еnd;

х(m) = (F(m) -h*s)/( h*q(m,m));

end; Т=t; Z=х;

5. Выполните следующую последовательность команд:

>>t1=1; % левая граница интервала поиска решения

>>t2=1.3;%правая граница интервала поиска решения

>>N=300; % число интервалов разбиения отрезка

%[t1,t2]

>>[Т 2]=Vо1tеrrа11_2 (t1,t2,N) ; % численного

% решения интегрального уравнения Вольтерра

>> рlо1; (Т,Z); % визуализация решения уравнения % Вольтерра (рис. X.7)

Приложение

Примеры программ MatLab для численных методов

Программа P1 (итерация неподвижной точки). Получить приближенное решение уравнения х = g(х), начав с предположительно угаданного значения Ро и итерационного правиларп+1 = g(рп)

function [k,p,err,P]=fixpt(g,p0,tol,maxl)

%Вход - g - итерационная функция, вводимая как строка 'g'

%- рО - начальное угаданное значение неподвижной точки

%- tol - допустимое отклонение

%- maxl - максимальный член итерации

%Выход - k - число произведенных итераций

%- р - приближение для неподвижной точки

%- err - ошибка приближения

%- Р - содержит последовательность {рп}

Р(1)= рО; for k=2:maxl

P(k)=feval(g,P(k-l)); err=abs(P(k)-P(k-1); relerr=err/(abs(P(k))+eps); P=P(k);

if (err<tol) I (relerr<tol),break;end end

if k == maxl

disp('максимально допустимое число итераций')

end

Р=Р;

Замечание. Если использовать строго определенную функцию fixpt, то необходимо вводить М-файл g.m в виде строки: 'g' .

Программа P2 (метод деления пополам). Приближенное нахождение корня уравнения f(x) = 0 на интервале [а;b]. Применять только для случая, когда функция f(x) непрерывна и f(a) и f(b) имеют различные знаки.

function [c,err,yc]=bisect(f,a,b,delta)

%Ввод - f - функция вводится как строка 'f'

%- а и b - левая и правая крайние точки

%- дельта - допустимое отклонение

%Выход - с - нуль

%- yc=f(c)

%- err - ошибка вычисления с

ya=feval(f,а); yb=feval(f,b);

if ya*yb>0, break, end maxl=l+round((log(b-a)-log(delta))/log(2)); for k=l:maxl

c=(a+b)/2;

yc=feval(f,c); if yc==0

a=c;

b=c; elseif yb*yc>0

b=c;

yb=yc; else

a=c;

ya=yc; end

if b-a < delta, break, end

end c=(a+b)/2; err=abs(b-a); yc=feval(f,c);

Программа P3 (метод ложного положения или метод regula falsi).

Приближенное нахождение корня уравнения f(x) = 0 на интервале [a; b]. Только для случая, когда функция f(x) непрерывна и f(a) и f(b) имеют различные знаки.

function [c,err,yc]=regula(f,a,b,delta,epsilon,maxl)

%Ввод - f - функция вводится как строка 'f'

%- а и b - левая и правая крайние точки

%- delta - допустимое отклонение для нуля

%- epsilon -допустимое отклонение для значения f в нуле

%- maxl - максимальное число итераций

%Вывод - с - нуль

%- yc=f(c)

%- err - ошибка вычисления для с

ya=feval(f,а); yb=feval(f,b); if ya*yb>0

disp(' Замечание: f(a)*f(b)>0'), break,

end

for k=l: maxl dx=yb*(b-a)/(yb-ya); c=b-dx;

ac=c-a; yc=feval(f,c); if yc==0,break; elseif yb*yc>0

b=c;

yb=yc; else

a=c;

ya=yc; end

dx=min(abs(dx), ac);

if abs(dx)<delta, break, end if abs(yc)<epsilon, break, end

end err=abs(b-a)/2; yc=feval(f,c);

Программа P4 (приближенное нахождение места расположения корней). Найти приблизительное место расположения корней уравнения f(x) = 0 на интервале [а; b] используя точки (xk; f(xk) ) следующий критерий:

(i) (yk-1)(yk) < 0, или

(ii) |yk |< ε и (yk - yk-1)(yk+1 - yk) < 0.

Иначе говоря , либо f(xk-1) и /(xk) имеют различные знаки, либо |f(xk)| мал и тангенс угла наклона кривой у = f(x) меняет знак около (хk , f(xk))

function R = approot (X,epsilon)

%Вход - f - функция записанная как М-файл под именем f .m

%- X - вектор абсцисс

%- epsilon - допустимое отклонение

%Выход - R - вектор приближений корней

Y=f(X);

yrange = max(Y)-min(Y); epsilon2 = yrange*epsilon; n=length(X);

m=0;

X(n+l)=X(n);

Y(n+l)=Y(n);

for k=2:n,

if Y(k-l)*Y(k)<=0, m=m+l;

R(m)=(X(k- 1)+X(k))/2;

end s=(Y(k)-Y(k-l))*(Y(k+l)-Y(k)).;

if (abs(YCk)) < epsilon2) & (s<=0) m=m+l;

R(m)=(k);

end

end

Программа P5 (итерация Ньютона-Рафсона). Найти корень функции f(х) = 0 с одним заданным начальным приближением р0, используяитерацию

function [p0, err, k, y]=newton(f, df, p0, delta, epsilon, maxl)

%Вход- f - функция, вводимая как строка'f'’

%- df - производная f, вводимая как строка 'df’

%- р0 - начальное приближение функции f к нулю

%- delta - допустимое отклонение для р0

%- epsilon - допустимое отклонение для значений функции у

%- maxl - максимальное число итераций

%- Выход– р0 - приближениеНьютона-Рафсонакнулю

%- err - ошибка вычисления для р0

%- k - число итераций

%- у - значение функции f (р0)

for k=l:maxl

pl=p0-feval(f, р0)/feval(df, p0); err=abs(p1-p0); relerr=2*err/(abs(p1)+delta); p0=p1;

y=feval(f, p0);

if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon), break, end

end

Программа P6 (метод секущих). Найти корень уравнения f(x) = 0 с двумя заданными начальными приближениями ро, р1 и используя итерацию

function [pl,err,k,y]=secant(f, p0, pl, delta, epsilon, maxl)

%Ввод - f - функция, вводимая как строка 'f'

%- р0 и р1 - начальные приближения к нулю

%- delta - допустимое отклонение для р1

%- epsilon - допустимое отклонение для значений функции у

%- maxl - максимальное число итераций

%Выходр1 - приближениекнулюдляметодасекущих

%- err - ошибка вычисления для р1

%- k - число итераций

%- у - значение функции f (p1)

for k=1: maxl;

p2=pl-feval(f, pl)*(pl-p0)/(feval(f, pl)-feval(f, p0)); err=abs(p2-pl);

relerr=2*err/(abs(p2)+delta);

p0=pl;

pl=p2; y=feval(f, pl);

if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon), break, end

end

Программа P7 (ускоренный метод Стеффенсена). Быстрое нахождение решения уравнения неподвижной точки х = g(х) с заданным начальным приближением р0. Предполагается, что и g(х), и g'(х) непрерывны, |g'(х)| < 1 и обычная итерация неподвижной точки медленно (линейно) сходится кр.

function [p,Q]=steff(f,df,p0,delta,epsilon,maxl)

%Вход - f - функция, вводимая как строка 'f'

%- df - производная, вводимая как строка 'df'

%- р0 - начальное приближение х нулю функции f