2790

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.18) есть сумма , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, а

– любое частное решение неоднородного уравнения. В дан-

когда она является периодической функции времени, изменяющейся с частотой :

Частное решение уравнения (8.18) будем искать в виде периодической функции , в результате подстановки которой в уравнение получим Итак, общим решением уравнения (8.18) будет функция

представляющая собой сумму двух колебаний: с собственной частотой и частотой вынуждающей силы . Отметим, что при наличии малого трения в системе первое слагаемое со временем исчезнет (установившиеся колебания). Постоянные и определяются из начальных условий.

Когда колебания происходят в фазе с вынуждаю-

вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебаний системы называют резонансом. На практике беспредельному возрастанию амплитуды при резонансе препятствуют нелинейные эффекты, не учитываемые в рамках рассматриваемой нами теории малых гармонических колебаний, а также имеющиеся в любой в реальной системе силы сопротивления.

Чтобы выяснить характер колебаний системы при при-

движение вблизи резонанса можно считать малыми колебаниями с переменной амплитудой, равной

Записав комплексные амплитуды и в виде

получим

102

Здесь первые два слагаемых описывают свободные колебания,

атретье – вынужденные.

8.3.Затухающие колебания

Влюбой реальной системе, совершающей колебания, присутствуют силы сопротивления, приводящие к диссипации энергии и постепенному уменьшению амплитуды (затуханию) колебаний. Мы ограничимся рассмотрением силы трения, имеющей вид

т.е. пропорциональной обобщенной скорости . Такой характер носит сила трения, действующая на движущееся с невысокой скоростью тело в газе или жидкости.

Рассмотрим сначала случай свободных затухающих колебаний. Сила (8.31) не является потенциальной, соответственно уравнением движения будет уравнение Лагранжа для неконсервативной системы (3.12). В нашем случае оно запишется в виде

104

Помимо коэффициента затухания , используют и некоторые другие характеристики затухающих колебаний. Величину называют временем релаксации, она представляет собой время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз. За это время система совершает колебаний.

Декрементом затухания называется отношение двух соседних амплитуд, равное

называют логарифмическим декрементом затухания.

Добротностью колебательной системы называют отношение энергии колебаний к потерям энергии за период, умноженное на . Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, получим

В случае слабого затухания (высокой добротности), когда

106

увеличении от 0 до ) в точке . Поэтому угол

отрицателен и лежит в пределах от 0 до – .

Итак, частным решением уравнения (8.44) будет функция

Добавляя общее решение соответствующего однородного уравнения (выберем решение (8.37) для случая ) получим общее решение

Первое слагаемое (затухающие колебания) экспоненциально убывает со временем и через некоторый период остаются только вынужденные колебания, происходящие по гармоническому закону (8.46). Такие колебания называют установивши-

мися (см. рис. 8.5).

Рис. 8.5 Рис. 8.6

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний b частоты вынуждающей силы (резонансная кривая) при различных значениях коэффициента затухания представлена на рис. 8.6. Резонансная частота , соответствующая максимуму амплитуды b, находится путем приравнивания нулю произ-

109