2601
.pdf
|
Решение. |
|
а) |
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
подстановкой x + |
1 |
= t, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 -1 |
dx = dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Выведем |
|
некоторые |
|
|
|
н уж н ы е |
|
|
|
соотношения |
+1 |
= t, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x4 +1 = (t 2 - 2)x2 , |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
тогда |
|
|
интеграл |
примет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
x |
2 |
|
|
|
) |
2 |
t |
2 |
- 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ò |
(x2 +1) |
|
|
|
dx |
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 -1) |
|
|
|
x4 +1 |
(t 2 - 4) |
|
t 2 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сделаем |
|
еще |
|
|
|
|
|
одну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
, tdt = zdz |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заменуt - 2 = z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представим интеграл в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ò |
|
|
dz |
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ln |
|
z - |
|
2 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
- 2 |
2 |
2 |
|
|
|
z + |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Переходя к переменной t, |
|
|
а затем к x, |
будем иметь |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( t2 - 2 - 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 +1 - x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
I = |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 - 4 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
б) Воспользуемся подстановкой x - |
|
1 |
= t, |
|
x2 +1 |
dx = dt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Введем |
|
|
некоторые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнительные |
|
|
|
|
|
соотношения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 -1 |
= t, |
|
|
x4 + 3x2 +1 = x |
|
t2 + 5, |
x2 +1 |
= |
t2 + 2. Интеграл в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
этом случае примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
x2 -1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I = ò |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x x |
4 |
|
|
2 |
+1 |
|
|
|
t |
2 |
+ 2 t |
2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Сделаем еще |
одну |
2 |
+ 2 = z |
2 |
, tdt |
= zdz, тогда |
||||||||||
заменуt |
|
|||||||||||||||
интеграл преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
I = ò |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= ln |
z + z2 + 3 |
+ C. |
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а затем к x, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Переходя к переменной t, |
получим |
|||||||||||||||
|
|
t 2 + 2 + t2 + 5 |
|
|
x2 +1+ x4 + 3x2 +1 |
|
|
|||||||||
I = ln |
|
|
+ C = ln |
|
|
+ C. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интеграл от четной степениsin x, cos x можно найти путем понижения степени вдвое по формулам
|
sin2 x = |
1 |
(1 - cos 2x), |
cos2 x = |
1 |
(1 + cos 2 x ). |
(1) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
2°. |
Интеграл |
от |
нечетной степениsin x, cos x |
можно |
||||||||
найти путем отделения от нее одного множителя и замены его |
||||||||||||
произведения на дифференциал новой переменной. |
|
|||||||||||
3°. |
Интегралы |
видаòsinm x cosn xdx |
можно |
найти по |
||||||||
правилу (1°), если m и n оба четные неотрицательные числа, |
||||||||||||
или по правилу (2°), если m или n (или иm и n) нечетно. Если |
||||||||||||
m + n = -2k, |
т. |
|
е. |
четное |
|
отрицательное |
число, то |
|||||
целесообразно использовать подстановку tg x = t или ctg x = t, |
||||||||||||
откуда dx = |
dt |
или dx = - |
dt |
|
. В общем случае интегралы |
|||||||
1+ t2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1+ t 2 |
|
|
|
|
|||
данного вида, где m и n целые числа, находятся с помощью |
рекуррентных |
формул, которые |
выводятся |
интегрированием |
по частям. |
|
|
|
4°. Если |
подынтегральная |
функция |
зависит только от |
tg x или ctg x, |
то применяют замену tg x = t или ctg x = t. |
62
|
|
5°. Если интеграл имеет вид òR (sin x, cos x )dx, где sin x, |
|||||||||||||
cos x |
входят |
только |
в |
четных |
степенях, то |
применяется |
|||||||||
подстановка |
|
tg x = t, dx = |
|
dt |
, |
поскольку sin2 x и cos2 x |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
||
выражаются |
|
|
|
|
|
|
|
через tg x |
|
рационально |
|||||
sin |
2 |
x = |
t2 |
и cos |
2 |
x = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
+ t2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
вид: òsin ax cos bxdx; |
|||||
|
|
6°. |
Если |
и н т е г р а л ы |
и м е ю т |
||||||||||
òsin ax sin bxdx; òcos ax cos bxdx, |
то |
их |
можно |
найти путем |
разложения на слагаемые по формулам:
sin ax cos bx = 12 (sin (a -b )x + sin (a + b)x ),
sin ax sin bx = 12 (cos (a -b )x - cos (a + b)x ),
cos ax cos bx = |
1 |
|
(cos (a -b )x + cos (a +b )x ). |
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7°. И н т е г р а л ы |
о т |
р а ц и о н а л ь н о й |
ф у н к ц и и вида |
||||||||||||||||
òR (sin x, cos x )dx |
с |
помощью |
подстановкиtg |
x |
= t |
всегда |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
сводятся |
к интегралам |
|
от |
рациональной |
функции, т. к. |
||||||||||||||
sin x, cos x и dx выражаются через t рационально |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin x = |
|
2t |
|
, |
cos x = |
1- t 2 |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ t 2 |
1 |
+ t2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx = |
. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотренная |
подстановка |
позволяет |
проинтегрировать |
||||||||||||||||
любую |
функцию |
|
видаR (sin x, cos x), |
|
|
поэтому |
ее |
иногда |
|||||||||||
называют |
|
«универсальной |
|
|
|
тригонометрической |
подстановкой».
8°. Интегралы от произведения трех тригонометрических функций могут быть найдены по формулам
63
òcos ax cos bx cos cxdx =
= |
|
1 æ sin (a + b + c)x |
+ |
|
sin (b + c - a )x |
+ |
sin (a + c - b )x |
+ |
sin (a + b - c )x ö |
+ C, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||
4 |
|
|
a + b + c |
|
|
|
|
b |
+ c - a |
|
|
|
a + c - b |
|
|
|
a + b - c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||
òcos ax sin bx sin cxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 æ sin (a + b - c) x |
|
|
|
sin (a + c - b)x |
|
|
|
|
sin (a + b + c )x |
|
|
sin (b + c - a )x ö |
+ C, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
4 |
|
|
a + b - c |
|
|
|
|
a |
+ c - b |
|
|
|
a + b + c |
|
|
|
|
b + c - a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||
òsin ax cos bx cos cxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 æ cos (a + b + c )x cos (b + c - a )x |
|
|
|
cos |
(a + b - c)x |
|
|
|
|
|
cos (a + c - b )x ö |
+ C, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= - |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||
|
4 |
|
|
a + b + c |
|
|
b + c - a |
|
|
|
|
|
a + b - c |
|
|
|
a + c - b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||||||
òsin ax sin bx sin cxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
1 æ cos (a + b + c)x |
- |
|
cos (a - b + c )x |
|
- |
|
cos (b + c - a )x |
- |
cos (a + b - c )x ö |
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||
|
4 |
|
|
a + b + c |
|
|
|
|
a - b + c |
|
|
|
|
b + c - a |
|
|
|
|
a + b - c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8.1. |
Найти |
|
|
|
|
интегралы: |
|
|
а) òsin 4 xdx; б) òcos3 xdx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) òcos |
|
x sin |
|
xdx; г) òsin x cos |
|
|
|
xdx; д) ò |
|
|
|
dx; е) òtg |
|
5xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Пользуемся формулами тригонометрии для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
половинного угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òsin4 xdx = ò(sin 2 x )2 dx = |
ò(1 - cos 2x )2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
ò(1- 2 cos 2 x + cos2 2x )dx = |
|
(x -sin 2x )+ |
|
òcos 2 2xdx = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
(x -sin 2x) |
|
1 |
ò |
(1+ cos 4x)dx = |
1 |
(x - sin 2x )+ |
1 |
æ |
1 |
|
|
|
|
ö |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x + |
|
sin 4x |
÷ |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
8 |
4 |
8 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||
б) Отделяем от нечетной степени один множитель первой |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степени и вносим его под знак дифференциала |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
òcos3 xdx = òcos2 x cos xdx = ò |
(1-sin2 x )d sin x = sin x - |
sin3 x + C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
в) По формулам половинных углов имеем
64
òcos2 x sin4 xdx = 18 ò(1 + cos 2x )(1 -cos 2x )2 dx =
=18 ò(1- cos2 2x)(1 - cos 2x )dx = 18 (1 -cos 2x -cos2 2x + cos3 2x )dx =
= |
1 |
æ x - |
1 |
sin 2x |
ö |
- |
1 |
ò |
(1+ cos 4x )dx + |
1 |
1- sin 2 |
2x |
) |
d sin 2x = |
|||||||||||
|
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
8 |
ç |
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
16 |
ò( |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
æ |
1 |
|
ö |
|
1 |
æ |
|
1 |
ö |
|
1 |
æ |
|
1 |
|
|
3 |
ö |
|
||||
= |
|
ç x - |
|
sin 2x |
÷ |
- |
|
|
ç x + |
|
sin 4x ÷ |
+ |
|
|
|
çsin 2x - |
|
|
|
sin |
|
2x ÷ |
+ C. |
||
8 |
2 |
16 |
4 |
16 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
è |
|
ø |
|
è |
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
г) Вносим синус под знак дифференциала
òsin x cos5 xdx = -òcos5 xd cos x = - 1 cos6 x + C. 6
д) Отделяем в числителе от нечетной степени один множитель первой степени и вносим под знак дифференциала
ò |
sin3 x |
|
dx |
= -ò |
1 -cos2 x |
|
d cos x = -ò |
d cos x |
+ ò |
|
d cos x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
4 |
x |
|
|
|
cos |
4 |
|
x |
|
|
|
cos |
4 |
x |
|
|
cos |
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= -òcos-4 xd cos x + òcos-2 xd cos x = |
1 |
cos -3 x - |
|
|
|
1 |
|
|
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
||||||||||
e) |
|
Делаем |
|
|
|
з а м е н у |
|
tg5x = t, |
|
|
|
|
тогда x = |
1 |
arctg t и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
Переходим |
|
|
под знаком |
|
интеграла |
|
к новой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
3 |
5xdx = |
1 |
|
|
|
t3dt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
5 |
|
ò t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Выделяем, деля числитель на знаменатель, целую часть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 t3dt |
|
1 æ |
|
|
|
|
|
|
t ö |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
d |
(t2 +1) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
çt |
- |
|
|
|
÷dt = |
|
|
|
|
t |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
5 ò t |
2 |
|
|
|
t |
2 |
|
10 |
|
|
|
10 |
|
ò |
|
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+1 5 òè |
|
|
|
|
|
+1 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 101 (t2 - ln (t2 +1))+ C = 101 (tg2 5x - ln (tg2 5x +1))+ C.
65
8.2. Найти интегралы: а) òsin2 xdx; б) òcos 3x cos 7 xdx; cos6 x
в) ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; г) ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
; д) òcos 2x sin 3x sin 4xdx; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 cos x + 3sin x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
е) ò |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ж) ò |
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x -8sin x cos x - cos2 x |
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. а) Поскольку |
|
|
|
|
синус и косинус в четных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенях, используем подстановку tg x = t; dx = |
|
|
dt |
|
|
, тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|||
ò |
|
sin2 |
xdx |
= ò |
|
sin 2 x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= òt |
2 |
(1+ t |
2 |
) |
2 |
|
|
dt |
|
|
|
= ò(t |
2 |
+ t |
4 |
)dt = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
6 |
x |
|
cos |
2 |
x cos |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
t3 + |
1 |
t5 + C = |
1 |
|
tg3 x + |
1 |
|
tg5 x +C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
б) Преобразуя по формулам (2), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òcos 3x cos 7xdx = |
1 |
|
ò(cos 4 x +cos10x )dx = |
1 |
|
òcos 4xd (4x )+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
òcos10xd (10x |
|
|
|
=) |
|
1 |
sin 4x + |
1 |
sin10x + C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
в) |
|
Пользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
универсальной |
|
|
|
|
|
|
тригонометрической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановкой tg |
x |
= t, тогда по формулам (3) получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
2 cos x + 3sin x + |
2 |
|
|
1- t |
2 |
+ 3 |
|
2t |
|
|
+ 2 |
|
|
|
2 - 2t |
2 |
+ 6t + 2 + 2t |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t 2 |
|
+ t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
= |
ln |
|
3t + 2 |
|
+ C = |
ln |
3tg |
+ 2 |
+ C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3t + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Воспользуемся обобщенной формулой интегрирования
(13)
66
|
|
|
|
dx |
= |
|
sin x |
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
sin x |
+ |
3 |
æ |
|
|
|
sin x |
|
+ |
|
1 |
|
|
dx |
ö |
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||
ò cos5 x |
|
4 cos4 |
x |
|
4 ò cos3 |
x |
|
4 cos4 x |
4 |
2 cos2 |
|
|
|
|
|
|
òcos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
x 2 |
ø |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
sin x |
|
|
+ |
3 |
æ |
|
|
sin x |
|
|
+ |
1 |
ln |
|
tg x |
+ sec x |
|
ö |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4cos |
|
|
x |
|
|
4 |
è |
2 cos |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д) Пользуясь формулами пункта (8°), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
òcos 2x sin 3x sin 4xdx = |
1 |
çæsin (2 +3 - 4)x + |
1 |
sin |
(2 + 4 -3)x - |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
æ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
- |
|
|
|
sin |
(2 + 3 + 4)x |
- |
|
|
|
|
sin (3 + 4 - |
2)x ÷ |
+ C |
= |
|
|
|
|
|
çsin x + |
|
|
|
sin 3x - |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
5 |
|
4 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
sin 9x - |
|
|
|
|
sin 5x ÷ + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
е) Разделим числитель и |
|
знаменатель наcos2 x, будем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
d tg x |
|
= ò |
|
|
|
d |
tg x - 4 |
|
|
= |
1 |
|
|
ln |
|
tg x - 4 - 17 |
|
+ C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(tg x - 4) |
2 |
-17 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x -8tg x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
tg x - 4 + |
17 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ж) Умножим числитель и знаменатель на cos x, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ò |
|
dx |
= ò |
|
|
|
|
|
d tg x = |
òtg 2 xd tg x = 2 |
|
tg x + C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x cos2 x |
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1.9. Интегрирование гиперболических функций |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1°. Интегрирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиперболических |
|
|
|
|
|
|
функц |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интег |
||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрических |
|
|
|
|
|
|
функций. |
|
Интегралы |
от |
|
|
квадратов и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
других |
четных |
степеней sh x, ch x |
находятся |
|
|
применением |
формул:
ch2 x -sh2 x =1; sh 2x = 2 sh x ch x; ch 2 x = 12 (ch 2x +1); sh2 x = 12 (ch 2x -1); sch 2 x =1 - th 2 x; csch 2 x =1 -cth 2 x.
67
Интегралы от нечетных степеней sh x, ch x находятся так же, что и интегралы от нечетных степеней sin x, cos x.
2°. Гиперболические подстановки могут применяться при нахождении интегралов вида
òR (
òR (
òR (
x, |
x2 |
- a2 |
)dx — подстановкой x = a ch t; |
|
x, |
x2 |
+ a2 |
)dx |
— подстановкой x = a sh x; |
x, |
a2 |
- x2 |
)dx |
— подстановкой x = a th x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x = a sh t, |
|
|
то t = ln |
|
x + |
|
x2 + a2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
При |
|
этом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
если |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = a ch x, то t = ln |
|
x + ln |
x2 - a2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) òsh2 2xdx; б) òsh x ch3 xdx; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
9.1. |
Найти |
|
|
интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) òth4 xdx; г) ò |
dx |
|
|
; д) |
ò |
|
|
dx |
; е) òx2sh xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ж) ò |
|
ch x -1dx; з) ò |
|
ex dx |
|
|
|
; и) òsin x sh xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ch x +sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. а) Пользуясь формулами понижения степени, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(ch 4x -1)dx = |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
æ |
|
|
|
|
|
ö |
|
||||||||||||||||||
|
sh |
|
2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
ch 4xd 4x - x |
÷ |
= |
|
ç |
|
|
sh 4x - x ÷ |
+ C. |
|||||||||||||||||||||||
ò |
|
2 |
ò |
2 |
|
4 ò |
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||||
б) Внесем ch x под знак дифференциала, тогда будем иметь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ò |
sh2 x ch3 xdx = |
ò |
sh2 x ch2 x dsh x = |
ò |
( |
|
|
|
2 x |
) |
dsh x = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 x 1 +sh |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= òsh2 xd sh x + sh 4 x dsh x = |
1 |
sh3 x + |
1 |
sh5 x + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
|
|
Сделаем |
|
замену th x = t; |
|
|
dx |
|
|
= dt; dx = |
|
dt |
|
, |
|
|
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ch2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- t2 |
|
|
|
|
получим
68
ò |
|
4 |
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
t4 dt |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
æ t3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t -1 |
|
ö |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
th |
|
xdx |
= |
|
|
|
|
|
= - |
|
|
çt |
|
|
+1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ dt |
= -ç |
|
|
|
|
|
|
|
+ t + |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
÷ |
+ C = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1-t |
|
|
|
|
|
òè |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
-1 |
ø |
|
|
|
|
è |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t +1 |
|
ø |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
æ 1 |
|
th |
3 |
x + th x |
+ |
|
1 |
ln |
|
th x -1 |
|
ö |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) Преобразуем подынтегральную функцию по формулам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
половинных углов |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
= |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
= th |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x +1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ch |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
dx |
|
|
|
|
|
d th |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
д) ò |
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= ln |
th |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
sh x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sh |
ch |
|
|
|
|
|
|
2sh |
|
x |
|
ch |
2 |
|
|
|
|
th |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e) |
Воспользуемся |
|
|
|
|
дважды |
|
|
|
|
|
|
|
формулой |
|
|
интегрирования по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частям, |
|
|
принимая |
|
|
|
|
x2 =u, sh xdx =dv, 2xdx =du, v =ch x. |
|
Будем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò x2sh xdx = x2ch x - 2òx ch xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Принимаем x = u, ch xdx = dv, отсюда dx = du, v = sh x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ò x2sh xdx = x2ch x - 2 (x sh x - ch x )+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ж) ò |
|
|
ch x -1dx = ò |
|
|
|
2sh2 |
x |
dx = 2 |
|
2 òsh |
|
x |
d |
x |
= 2 |
2ch |
x |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
з) |
|
|
2 |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sh x = |
1 |
|
|
ex - e-x |
|
, ch x = |
1 |
|
|
ex + e-x |
|
, |
|
тогда будем иметь |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
ex dx |
|
|
|
|
= 2ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
= òdx = x + C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x +sh x |
ex + e- x + ex - e- x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и) |
|
Раскроем |
|
|
|
гиперболический |
|
|
|
синус |
|
|
и |
|
воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обобщенной формулой (6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
òsin x sh xdx = 12 òex sin xdx - 12 òe- x sin xdx = 14 (sin x -cos x )e x + + 14 (sin x + cos x)e- x + C = 12 (sin x ch x -cos x sh x )+C.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9.2. |
|
Найти |
и н т е г р а л ы : |
|
а) ò |
|
x2 + 4dx; б) ò |
|
x dx |
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - a |
|
|
|
|||
в) |
ò |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x - x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. а) Сделаем замену x = 2sh t; dx = 2ch xdt, тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
x2 + 4dx = 4ò sh2t +1 ch tdt = 4òch2tdt = 2ò(ch 2t +1)dt = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x + x |
2 + 4 |
|
|
|
|
|
||
= sh 2t + 2t + C = 2sh t 1+ sh t |
+ 2t + C = |
|
|
4 + x |
|
+ |
|
2 ln |
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Сделаем замену x = a ch tdt, dx = a sh tdt, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
2 |
t sh tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ò |
|
|
x dx |
= a2 ò |
|
= a2 |
òch2tdt = |
|
ò(ch 2t +1)dt = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
a2 |
(sh 2t + t )+ C = a2 |
(ch t ch 2t -1 + t )+ C = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x x |
2 |
|
- a |
2 |
|
+ a |
2 |
|
ln |
x + ln x2 - a2 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
в) |
|
|
Выделяя |
|
|
|
|
полный |
|
|
|
|
квадрат |
|
|
|
|
и |
делая |
зам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1- x = t, dx = -dt, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= -ò |
|
|
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x - x |
2 |
|
|
|
1-(1- x) |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Сделаем еще одну замену t = th z, |
dt = |
dz |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ch2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
ch zdz |
|
|
|
|
|
|
d sh |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
-ò |
|
|
|
= -ò |
|
|
= -ò |
= -ò |
|
= -arctg sh 2 z + C = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1- t |
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
1 +sh z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= -arctg |
|
|
|
th2 z |
+ C = -arctg |
|
t2 |
|
|
+ C = -arctg (1- x)2 |
+ C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-t 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1- th2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x - x2 |
|
|
|
|
|
|
70