2601
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
1 |
æ |
x |
3 |
ö |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
b |
y2dx = p |
|
|
|
|
1 |
(1- x2 )dx = p |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
V = p |
|
|
|
2 |
|
xdx +p 1 |
|
|
|
+p çx - |
|
÷ |
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
òa |
|
|
|
ò0 |
|
2 |
|
|
|
ò |
|
|
|
2 2 |
|
è |
3 |
ø |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
æ 3 1 |
+1- |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
ö |
|
19 |
p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= p ç |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 8 |
3 |
2 |
|
24 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Доказать, что объем параболоида вращения равен половине объема кругового цилиндра, имеющего то же основание и ту же высоту.
Решение. Считаем, что параболоид образован вращением параболы y2 = 2 px вокруг оси Ox , причем сечение возьмем в
произвольной точке с |
абсциссойx |
(рис. 3.25). Тогда его |
|||
объем равен |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
Vn = p ò0 |
2 pxdx = p p x2 |
|
|
0 |
= p px2 . |
|
|
|
Рис.3.25
Объем цилиндра, имеющего то же основание и ту же высо-
ту, равен V = p y2 x . Поскольку y2 = 2 px , то V = 2p px2 . |
|
ö |
ö |
Сравнивая |
результаты, получим Vö = 2Vn , что и |
требовалось доказать.
3.8. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: y = cos x и y = -1 вокруг прямой y = -1 при -p £ x £ p
Решение. Тело, образованное вращением фигуры, ограниченной заданными линиями, показано на рис. 3.26.
121
Рис.3.26
Поскольку кривая вращается вокруг прямойy = -1, то
целесообразно |
перейти к новой |
|
системе координат |
|||||||
x¢ = x; y¢ = y +1. Тогда объем тела вращения равен |
||||||||||
V = p ò-pp (y¢ )2 dx¢ = p ò-pp (y +1)dx = p ò-pp (cos x +1)2 dx = |
||||||||||
p |
æ |
3 |
|
ö |
3 |
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
= p ò-p |
ç |
|
+ cos 2x + 2 cos x ÷ dx = p |
|
|
x |
= 3p |
|
. |
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
è |
|
ø |
|
|
-p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3.9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси: а) кардиоиды r = a (1- cosj ); б) лемнискаты r2 = a2 cos 2j .
Решение. а) Очевидно, что j изменяется от 0 до p . Отсюда по формуле (6) имеем
|
|
|
2 |
|
p |
3 |
(1 |
- cosj ) |
3 |
|
2 |
|
3 |
p |
(1- cosj ) |
3 |
d 1(- cosj ) = |
||||
V = |
|
p |
ò0 a |
|
|
sinjdj = |
|
pa |
|
ò0 |
|
||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
pa3 |
(1- cosj )4 |
|
p |
= |
p a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Так как лемниската симметрична относительно начала координат, то половина объема по формуле (6) равна
1 |
|
2 |
|
p |
3 |
|
2 |
|
p |
3 |
|
|||||
V = |
|
|
|
(cos 2j ) |
|
|
p a3 |
|
|
(2 cos2 j -1) |
|
|
||||
p ò04 |
a3 |
|
sin jdj = |
ò04 |
2 |
sin jdj . |
||||||||||
2 |
||||||||||||||||
2 |
|
3 |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122
|
Сделаем |
|
|
замену: |
|
cosj = |
|
|
1 |
|
|
|
|
,sin jdj = |
|
|
cos tdt |
; при |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 sin t |
|
|
2 sin 2 t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
j = 0, t = |
; при j = |
|
, t = |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
p3 cos4 tdt |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
p3 |
æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
ö |
|
|
|
|||||||
V = |
|
|
|
|
pa |
|
p |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
pa |
|
p |
ç |
|
|
|
|
|
- 2 + sin |
|
t ÷dt = |
||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
sin2 t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
ò4 |
è sin2 t |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
1 æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
öö |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
æ |
|
|
ö |
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
pa |
|
ç |
-ctgt - 2t + |
|
|
çt - |
|
|
|
|
sin 2t ÷ |
÷ |
= |
|
|
p a |
|
|
ç |
5 - |
|
|
÷. |
|||||||||||||||||||
3 2 |
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
2 è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
p |
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10. Найти объем тела, образованного вращением: а) од- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной ветви циклоиды x = a (t - sin t ), y = a (1- cos t ) |
вокруг оси |
Ох; б) фигуры, ограниченной кривой x = 3t2 , y = 2 ln t и осями
координат, |
вокруг |
координатных |
;осейв) астроиды |
x = a cos3 t , |
y = a sin3 t вокруг прямой x = a . |
|
Решение. а) Одна ветвь циклоиды получается при измене- |
|||||||||||||||||||||||||||
нии t от 0 до 2p , а x от 0 до 2p a . Следовательно, искомый |
|||||||||||||||||||||||||||
объем равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = p ò02p a y2dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя |
|
параметрические |
|
|
|
уравнения |
|
циклоиды, |
|||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
2p |
(1 |
- cos t ) |
3 |
|
|
|
3 |
2p æ |
|
|
(1 |
+cos 2t )- |
|
|
|||||||||
V = pa |
|
ò0 |
|
dt = p a |
ò0 |
ç1-cos t + |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
æ |
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
ö |
|
2p |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
-(1-sin |
|
t )cos t )dt = pa |
ç |
|
t - |
4sin t + |
|
sin 2t + |
|
|
sin |
|
t ÷ |
|
|
=5p |
a . |
||||||||||
|
2 |
4 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Фигура, ограниченная заданной кривой и осями координат, показана на рис. 3.27, где t Î[0,1]. Объем тела вращения вокруг оси Ox находим по формуле
3 1
V = p ò0 y2dx или V = 24p ò0 t ln2 tdt .
123
Рис.3.27
При t = 0 подынтегральная функция терпит разрыв. Интегрируя несобственный интеграл дважды по частям: ln2 t = u ,
2 |
1 |
ln tdt |
= du; tdt |
= dv, v = |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
ç |
|
ln |
2 |
|
b |
÷ |
|
|
|||||
|
|
|
|
V = 24p lim |
ç |
|
ln |
2 t |
- |
òb |
t ln tdt ÷ |
= 24p ç- lim |
|
|
÷ + |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b ®0 |
è 2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
ø |
|
|
|
|
ç b ®0 |
|
|
|
÷ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
b |
2 |
|
÷ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
æ |
|
2 |
ln b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|||||
|
|
|
|
|
æ |
|
t |
2 |
ln t + |
t |
2 |
ö |
|
|
|
|
|
ç |
|
b |
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
1 |
÷ |
||||||||
|
|
|
|
+ lim |
ç |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
= 24p ç-lim |
|
|
|
+ lim |
|
|
ln b + |
÷ = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
b ®0 |
è |
2 |
|
|
|
|
4 |
ø |
|
b |
|
|
|
ç b ®0 |
- |
4 |
|
b ®0 2 |
|
|
|
4 ÷ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
b |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
æö
ç |
ln b |
|
1 |
÷ |
|||
= 24p çlim |
|
|
|
|
+ |
|
÷ = 6p. |
1 |
|
4 |
|||||
ç b ®0 |
|
|
÷ |
||||
ç |
|
b |
2 |
|
|
|
÷ |
è |
|
|
|
|
|
ø |
Объем тела вращения вокруг оси Oy находим по формуле
(3). При y = -¥,t = 0 ; при y = 0,t =1, отсюда
V = p ò-0¥ x2dy = 9p ò01 t4 |
dt |
|
9 |
pt 4 |
|
1 |
9 |
p . |
|
|
|
||||||||
= |
|
= |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
t 4 |
|
0 |
4 |
|
||||
|
|
в) Поскольку астроида симметрична относительно оси Ox , то достаточно найти половину объема тела вращения. Так как
124
астроида вращается вокруг прямой x = a , то перенесем начало координат в точку (a, 0) , тогда в новой системе координат x¢ = x - a, y¢ = y формула для вычисления объема примет вид
1V = p òa (x¢ )2 dy¢ = p òa (x - a )2 dy .
20 0
Рассматривая только объем тела, получающийся от вращения вокруг прямой x = a фигуры, ограниченной верхними ветвями астроиды, и переходя к переменной t , представим его как разность интегралов
|
æ |
|
p |
|
2 |
p |
2 |
|
ö |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V = 6p a 3 |
ç |
òp2 (cos3 t -1) |
|
sin 2 t cos tdt - ò02 (cos3 t -1) |
|
sin 2 |
t cos tdt ÷ |
= |
||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
= 6p a3 çæ |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||
òp2 (2 - 3 sin 2 t + 3 sin 4 t - sin 6 t )sin 2 td sin t - 2 òp2 |
cos 4 t sin 2 tdt - |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
ö |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ò02 (2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t )sin 2 |
td sin t + 2 òp2 cos 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 sin 2 t + 3 sin 4 t - sin 6 |
|
t sin 2 |
tdt ÷ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
9 |
|
ö |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6p a |
|
|
(ç |
|
|
sin |
|
t - |
|
|
|
sin |
|
|
t + |
|
|
sin |
|
|
t - |
|
|
|
sin |
|
t ÷ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
p |
è |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
- |
|
|
òp2 |
ç |
1 |
+ cos 2t - |
|
|
(1 |
|
+ cos 4t )- (1 - sin |
|
2t )cos 2t ÷dt |
- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
æ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
9 |
|
ö |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
ç |
|
|
|
sin |
|
t - |
|
|
sin |
|
|
t + |
|
|
|
sin |
|
t - |
|
|
sin |
|
|
t ÷ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
|
ò02 |
ç1 |
+ cos 2t - |
|
|
|
(1 |
+ cos 4t )- (1 - sin |
|
2t )cos 2t ÷dt) = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
æ 2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 ö |
|
1 |
|
p |
æ |
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 ö |
|
1 |
|
|||
= 6p a |
3 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
t |
||||||||||||||
|
(ç |
|
- |
|
+ |
|
- |
|
÷ |
- |
|
|
- ç |
|
- |
|
+ |
|
- |
|
÷ |
+ |
|
|||
|
3 |
5 |
7 |
9 |
8 |
3 |
5 |
7 |
9 |
8 |
||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
p |
è |
|
|
|
ø |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p
|
2 |
= 3 p 2 a3 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
125
3.4. Длина дуги кривой |
|
||
1°. |
Если плоская |
кривая отнесена к прямоугольной |
|
системе координат и задана уравнениему = f(х) или х = F(y), |
|||
или параметрически x =φ(t), y=ψ(t), то |
дифференциал dl |
||
длины |
ее дуги(рис. 3.28) |
определяется, |
соответственно, по |
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = |
1+ ( y¢)2 dx = |
1+ (x¢)2 dy = |
x&2 + y&2 dt . |
(1) |
|||||
Интегрируя |
|
дифференциал |
дуги |
в |
заданных |
пределах, |
|||
находим длину дуги |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
b |
|
b |
|
|
|
|
|
L = òdl = ò 1+ (y¢ )2 dy = ò |
x&2 + y&2 dt . |
(2) |
||||||
|
|
0 |
a |
|
a |
|
|
|
|
2°. Если плоская кривая отнесена к полярной системе |
|||||||||
координат |
и |
задана |
уравнениемr = r(j) |
(рис. |
3.29), |
то |
|||
дифференциал |
дуги |
равен dl = |
r 2 + (r¢ 2)dj , а длина дуги |
||||||
определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
r 2 + (r¢ )2 dj . |
|
|
|
||
|
|
L = ò |
|
(3) |
|
a
Рис. 3.28 |
Рис.3.29 |
3°. Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями х = х(t), у = y(t), z = z(t) при изменении t от α до β, определяется по формуле
126
b |
|
L = ò x&2 + y&2 + z&2 dt . |
(4) |
a |
|
4.1.Найти длину дуги: а) кривой y = ln cos x от x = 0 до
x= p ; б) астроиды x2 / 3 + y 2 / 3 = a2 / 3 ; в) кривой y2 = 9 – х
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между точками пересечения ее с осью Оу; |
|
г) полукубической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
параболы y 2 |
= x3 |
заключенной внутри окружности х2 +у2 =6х. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
а) Применяя формулу (1), имеем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
sin 2 x |
|
p |
dx |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
L = ò |
1 +[(ln cos x) ] |
|
dx = |
ò |
1 + |
cos |
2 |
x |
dx = ò |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cos x |
||||||||
|
|
|
|
|
æ x |
|
p |
ö |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
æ b |
|
|
|
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= lim ln |
tgç |
|
+ |
|
÷ |
|
|
= lim ln tgç |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
÷ |
= ¥ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
p®p |
|
|
è 2 4 |
ø |
|
0 |
|
b ® |
p |
|
|
|
è 2 4 |
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
Поскольку |
|
|
астроида |
|
|
симметрична |
|
|
относительно |
|||||||||||||||||||||||||
координатных |
осей, |
то |
достаточно |
|
|
найти |
длину одной ее |
||||||||||||||||||||||||||||
ветви. |
|
Дифференцируя |
|
|
|
|
|
уравнение |
|
|
астроиды, имеем |
||||||||||||||||||||||||
y¢ = -( y / x)1/ 3 . Длина одной четверти астроиды находится по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (2) и равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
a |
|
x2 3 + y2 3 |
|
a |
a 13 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
L = |
ò 1+ |
(y x |
|
|
|
dx)= ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ò |
|
dx = |
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
0 |
x 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 a |
3 x |
3 |
a |
= 3 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда длина всей астроиды L = 6a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
в) |
|
Кривая |
|
представляет |
|
|
|
|
|
параболу |
|
|
|
симметричную |
|||||||||||||||||||||
относительно оси Ох (рис. 3.30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
Рис. 3.30
Найдем точки пересечения с осью Оу: при x = 0, у = ±3.
Вследствие |
|
симметрии |
кривой |
|
относительно Охоси |
||||||
достаточно |
|
найти |
|
половину |
длины |
заданной . кривой |
|||||
Используя формулу (1), будем иметь |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
L = ò 1 + (x¢ )2 dy = ò 1 + 4 y 2 dy . |
|
||||||||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя по частям |
1+ 4 y 2 |
= u , dy = dv; |
|
||||||||
du = 4 ydy |
, |
u = y , получим |
|
|
|
|
|
||||
1+ 4 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 L = y 1 + 4 y |
2 |
3 |
|
|
3 |
dy |
2 . |
||||
- ò 1 + 4 y 2 dy + ò |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1+ 4 y |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
= 3 37 + 1 ln(6 + 37 ). |
|||
L = y 1+ 4 y 2 + 1 ln 2 y + 1+ 4 y 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
г) Сделаем чертеж (рис. 3.31) и найдем точки пересечения окружности и параболы.
Для этого решим системуу2 =х3, х2 —6х + у2 =0. Абсциссы точек пересечения будут 0 и 2.
Вследствие симметрии достаточно найти половину длины дуги. По формуле (1) имеем
128
Рис 3.31
1 |
2 |
L = ò |
|
2 |
0 |
=
Таким образом
1 + |
æ 3 |
|
|
x |
ö |
2 |
dx = |
4 |
2 |
æ |
|
+ |
9 |
x |
||||||||||||||
ç |
2 |
|
|
÷ |
|
9 |
ò |
ç1 |
|
4 |
||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
0 |
è |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
8 æ |
|
|
9 |
|
|
|
ö3 |
|
2 |
8 |
çæ |
11 ö2 |
|
|||||||||||||||
|
|
ç1 + |
|
|
|
|
x ÷ |
|
= |
|
|
|
ç |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||
27 |
4 |
|
|
27 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
0 |
ç |
è |
ø |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
16 |
æ |
æ 11 ö |
3 |
|
ö |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
L = |
|
|
ç |
ç |
|
|
|
÷ |
-1÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ç |
è |
2 ø |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ 9 |
|
|
||
ö |
|
ö |
|
||
2 |
|
||||
÷ |
|
dç |
|
x ÷ |
= |
|
4 |
||||
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
- |
÷ |
|
|
|
|
1÷ |
|
|
|
||
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
4.2.Найти длину дуги кривой: а) x = a(cos t + tsint),
у= a(sint - tcost) от точки t1 = 0 до точки t2 = 2π; б) одной арки
циклоиды x = a(t - sint), y = a(1- cost); в) x = |
t 6 |
, |
y = 2 - |
t 4 |
||
6 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
между точками пересечения с осями координат. |
|
|
|
|||
Решение. а) Заданная кривая |
представляет эвольвенту |
|||||
(развертку) окружности (рис. 3.32). Находим |
производные |
|||||
x& = atcost, y& = atsint. Длина дуги |
кривой |
находится по |
||||
формуле (2) |
|
|
|
|
|
|
129
Рис 3.32
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
2 |
|
2p |
= 2ap 2 . |
|||
L = ò |
a2t 2 cos2 t + a 2t 2 sin 2 tdt = a òtdt = at |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
||||||
6) Здесь t изменяется |
от 0 до 2π. Находим |
производные |
||||||||||||||||||||||||
x& = a (1- cos t ), |
y& = a sin t . |
Длина |
одной |
арки |
циклоиды по |
|||||||||||||||||||||
формуле (2) равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
L = ò |
|
a2 (1- cos t)2 + a2 sin 2 tdt = a |
2 ò |
1- cos tdt = |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2p |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2p = 8a. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= 2a ò sin |
dt = -4a cos |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) Найдем пределы интегрирования: при x = 0, t = 0; при |
||||||||||||||||||||||||||
y=0, t = 4 |
8 |
. |
Вычисляя |
|
производные x& = t 3 , |
y& = -t 3 и |
||||||||||||||||||||
используя формулу (2), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 8 |
|
|
4 8 |
|
|
|
|
|
|
4 8 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
L = ò t10 + t6 dt = ò t3 t 4 +1dt = |
1 |
ò (t 4 +1) |
|
d |
(t 4 +1) |
|||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
3 |
|
4 8 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= |
(t |
+1)2 |
|
0 = |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4.3. Определить длину дуги кривой: а) первого витка спирали Архимеда r = aj ; б) кардиоиды r = a(1 +cosφ);
130