Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2601

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Если

при x ® ¥ ,

функция

f (x)

имеет

вид

f (x )=

j (x)

(a >1),

то

при a > 1

и j (x) £ c £ +¥

интеграл

òa¥ f (x )dx сходится, а при a £1 и j (x) > c > 0 расходится.

Если

сходится

интегралòa¥

f (x )dx , то

тем более

сходится

интегралòa¥ f (x )dx .

Последний

интеграл

называется

абсолютно

сходящимся,

функция

f (x)

абсолютно интегрируемой в промежутке

[a, +¥].

Признак Абеля. Если функции

f (x)

и j (x) определены

на

отрезке [a, +¥) , причем

функция f (x)

интегрируема

на

этом

отрезке, т. е. интеграл

òa¥ f (x )dx

сходится,

функция

j (x)

монотонна

ограничена

j (x)

£ L (L - const, x Î[a, ¥)), то

интеграл òa¥ f (x )j x(

dx)

сходится.

f (x) интегрируема на

Признак Дирихле. Если функция

любом

конечном

отрезке[a,b] (b > a),

причем

интеграл

òab

f (x )dx

£ L (L - const, a £ b < ¥)

оказыв

ограниченным, а функция j (x) монотонно стремится к нулю

при x ® ¥ , то интеграл òa¥ f (x )j x(

dx)

сходится.

Признаки

сходимости и расходимости несобственных

интегралов от неограниченных функций аналогичны.

Если для достаточно близких к с значений x функция

f (x)

имеет

вид f (x )=

j (x)

(a >0),

то

при a <1 и

(c - x)

j(x) £ L <+¥

(L - const )

интеграл òab

f (x )dx

сходится

(a £ c £ b), при a > 1 и j (x) ³ L > 0 интеграл расходится.

6.1. Вычислить несобственный интеграл

или

установить

его расходимость: а)

ò1¥

; б) ò-¥¥

; в)

ò-0¥ xe-

dx ;

1+ x

+ 2x + 2

г) ò1

; д)

ò9

(1+ x)

x ln

Решение. а) Преобразуем подынтегральное выражение и

воспользуемся формулой (1)

x2dx

lim

òb

dx3

lim arctg x3

1 1+ x

3 b ®¥ 1 1+ (x3

)

3 b ®¥

lim

arctg b 3 - arctg 1

)

3 b ®¥ (

б) Разбиваем точкой x = 0 промежуток интегрирования на

два интервала, а интеграл на два несобственных интеграла

d (x +1)

¥ d (x +1)

ò-¥

= ò-¥

+ ò0

+ 2x

+ 2

(x +1)

= lim

d (x +1)

+ lim

d (x +1)

= lim arctg (x +1)

0 +

òb (x +1)2 +1

ò0 (x +1)2 +1

b ®-¥

b ®¥

b ®-¥

b ®¥

(

)

b ®-¥ (

arctg1- arctg

(

b +

))

+ lim arctg

lim

+ lim (arctg (b +1)- arctg1) =

= p.

b ®¥

в)

Представим

несобственный

интеграл

помощью

предельного перехода в виде определенного и воспользуемся

формулой

интегрирования

по

частям, полагая

x = u ,

e 2 dx = dv ; dx = du , v = -2e 2

xe-

0 xe-

-2xe-

0 e-

dx = lim

+ 2

ò-¥

b ®-¥

òb

b ®-¥

òb

= -2 lim

- (b +

= -¥.

= -2 lim (x + 2)e 2

2)e

b ®-¥

Интеграл расходится.

г) Перейдем к новой переменной x = t2 ; dx = 2tdt

при x = 1 ,

t = 1, при x = ¥, t = ¥ и интеграл примет вид

ò1¥

= ò1¥

2tdt

= 2ò1¥

(

)

(

)

+ t

x 1+ x

t 1+ t

С помощью предельного перехода приводим интеграл к определенному интегралу и вычисляем значение предела

= 2 lim

= 2 lim arctg t

ò1 1+ t 2

b ®¥ ò1 1+ t2

b ®¥

æ p

p ö

= 2 lim (arctg b-arctg 1)

= 2 ç

÷ =

b ®¥

4 ø

д) Сделаем следующие преобразования

= lim

ln -3 xd ln x = - 1 lim

ò9

b ®¥ ò9

x ln3 x

b ®¥

ln 2 x

lim

= -

÷ =

2ln

8ln

2 b ®¥

è ln

6.2. Вычислить интегралы:

а) ò-21

; б)

ò12

; в) ò01

; г) ò02

;

(x -

- 3x

- 6x + 5

x ln x

Решение. а) Поскольку в

точке

x = 1 , принадлежащей

промежутку

интегрирования,

функция терпит разрыв, то

интеграл относится к несобственным интегралам второго рода

и вычисляется по формуле (4)

ò-21

= lime ®0 ò-11-e (x -1)-

dx + lime ®0 ò12+e (x -1)-

3 dx =

3 (x -1)

= lim 33

x -1

1-e

+ lim 33

x -1

= 3lim

(3 1 - e -1 - 3 -2 )+

e ®0

-1

e ®0

1+e

e ®0

+3lime ®0 (3 1 - 3 1 + e -1 )= 3 (3 2 +1).

б) Подынтегральная функция терпит разрыв в точкех = 1,

т.е. на конце промежутка [1,2]. Следовательно, интеграл отно-

сится

несобственным

интегралам

второго

рода

вычисляется

d ln x =limlnln x =lnln2-limlnln (1+e)=lnln2+¥=¥

2 dx

=lim

ò1

e®0ò1+e

xlnx

ln x

e®0

1+e

e®0

в) При x = 0 подынтегральная функция обращается в бесконечность, во всех остальных точках промежутка[0,1] она непрерывна. Следовательно, имеем

1	dx							1			dx									1 æ				1					1						1		ö
	dx				=lim						dx						=lim ç-							1			-		1			+			1		÷dx =
					=lim					(			)				=lim ç-										-					+		(			÷dx =
ò0 x3 -3x2						e®0 òe x2				(			)							e	è			9x 3x2									9	(	)ø
ò0 x3 -3x2						e®0 òe x2						x-3						e®0 òç						9x 3x2									9		x-3		÷
				1				1 1			1									1		1				1
	æ			1	ln x+			1 1			1				x				ö	1		1				1
=limç-									+				ln				-3		÷	=			+					ln2-
=limç-									+				ln				-3		÷	=			+					ln2-
e®0 è 9								3 x 9											ø	e		3 9


-limæ		1	1		-	1	lne+		1		1		+	1		ln		e-3			ö=				1	æ1+				1	ln2+				1	lim(lne+1)-		1	ln3	ö=-¥,
		1	1			1			1		1			1											1					1					1			1

	ç								3 x 9												÷					ç														÷
e®0 è3e					9				3 x 9												ø			3è					3						3 e®0		3			ø

т.е. интеграл расходится.

г) Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [0,2] за исключением точкиx = 1 , в которой она терпит разрыв. Следовательно,

1-e

ò0

= lime ®0

ò0

lime ®0 ò1+e

x2 - 6x + 5

(x -3)2 - 4

(x - 3)2 - 4

Первый интеграл равен

lim

= 1 lim ln

x - 5

1-e

1 lim æln e + 4 - ln 5 ö = ¥

1-e

e ®0 ò0

(x -3)

e ®0

x -1

e ®0

- 4

и представляет неограниченную площадь криволинейной трапеции (рис. 3.1), ограниченную осью y, кривой

y =

> 0

на данном промежутке, осью абсцисс и

x2 - 6x + 5

вертикальной асимптотой x = 1

Второй интеграл равен

lim

= 1 lim ln

x - 5

= 1 lim æln 3 - ln

e - 4

ö = -¥

ò1+e

e ®0

-3)

- 4

e ®0

x -1

e ®0

1+e

и представляет неограниченную площадь криволинейной трапеции (рис. 2.1), ограниченную осью x, прямой x = 2 ,

вертикальной асимптотой x = 1 и функцией y = x2 - 6x + 5 < 0

на данном промежутке

Рис.2.1

Данный интеграл представляет два расходящихся интеграла, т.е. расходится.

6.3. Исследовать на сходимость интегралы:

¥ sin x

dx (a > 0);

а) ò1

; б) ò0

e 2 dx ; в) òa

1+ 3x

+ x

¥ 2x2 +

(x -1)3

sin x sin 2x

(a > 0).

г) ò1

dx ; д) ò0

+ 2

Решение. а) Подынтегральная функция

f (x )=

1+ 3x2 + x6

в промежутке

интегрирования

меньше, чем j (x )=

. Так

как ò1¥ dxx6 сходится, то данный интеграл тем более сходится.

б) Разобьем промежуток интегрирования

ò0¥ e-

dx = ò01 e-

dx + ò1¥ e-

dx .

Первый интеграл в правой части не является несобствен-

, при x ³ 1, а

ным, а второй сходится, так как e 2 £ e 2

æe-

¥ e-

dx = 2 lim e-

= -2 lim

- e-

= 2e-

ò1

b ®¥

Следовательно, данный интеграл сходится.

в) Пользуясь

признаком

Дирихле, полагаем

f (x) = sin x ,

j (x )=

. Поскольку

òab sin xdx

cos a - cos b

£ 2 (a £ b < ¥)

и функция

монотонно

убывая, стремится

к нулю при

¥ sin x

x ® ¥ , то интеграл òa

при a > 0 сходится.

г) Сравним подынтегральную функцию

f (x )=

2x2 +

(x -1)3

с функцией j (x )=

. Найдем предел

3x2 + 3 x4 + 2

их отношения

2 +

æ 1

ö3

(x -1)

1/ 3

4 / 3

lim

= lim

è x

x®¥ 3x2 + 3 x4 + 2

x®¥

3 + 3

Поскольку

ò1¥

расходится,

то

на

основании второго

при-знака сходимости несобственных интегралов расходится и данный интеграл.

д) Пользуясь признаком Дирихле, полагаем f (x) =esinx sin2x,

j (x )=

. Функция

® 0

при x ® ¥ ,

монотонно убывая.

Делая

замену t = sin x,

x = 0, t = 0; x = b, t = sin b

получим

ò0b esin x sin 2xdx

= 2

ò0sin b tet dt

Интегрируя по частям, будем иметь

sin b

et (t -1

sin b

< 2e ,

ò0

tet dt

)

т. е. интеграл от функции

f (x) ограничен.

Поскольку условия признака Дирихле выполнены, то дан-

ный интеграл сходится.

6.4. Исследовать сходимость интегралов: а) ò1

;

-1

; в) ò

ln x

б) ò

; г)

ò 2 ln sin x dx ; д) ò

dx .

ln x

0 3

x (ex - e-x )

Решение. а) В

точке x = 1

подынтегральная функция

имеет разрыв, т.е.

обращается

бесконечность.

Разложим

подкоренное выражение на множители

x4 -1

(x -1)(x +1)(x2 +1)

x -1

(x +1)(x2 +1)

Отсюда, при x ®1 будем иметь

Так как интеграл

x4 -1

x -1

2 (x -1)-

= lim

2 dx = 2lim

x -1

= 2

ò1 (x -1)

b ®1

òb

b ®1

сходится, то данный интеграл также сходится.

б) В точке x = 1 подынтегральная функция имеет разрыв. Найдем предел отношения подынтегральной функции и функ-

ции j (x )=	1
ции j (x )=	x -1			ln x
	x -1
			lim		= 1.
			lim		= 1.
			x®1 x -1
Поскольку порядок подынтегральной функции по отноше-
нию к функции		1	равен единице(a = 1) , то данный
нию к функции		x -1	равен единице(a = 1) , то данный
		x -1

интеграл расходится.

в) В точке x = 0 подынтегральная функция имеет разрыв. Поскольку

lim ex - e- x = lim ex + e- x = 2 ,

x®0 x

x®0 1

то порядок подынтегральной функции относительно 1 равен x

a= 2 < 1. Следовательно, данный интеграл сходится. 3

г)

В точке x = 0

подынтегральная функция имеет разрыв.

Воспользуемся интегрированием по частям. Полагая u =lnsinx,

dv = dx; du =

cos x

dx, v = x , получим

sin x

cos x

x dx

ln sin x dx = x ln sin x

ò02

- ò02

dx = -ò02

tgx

sin x

Поскольку

lim

= 1 и

lim

= 0 ,

то последний интеграл

x®+0 tgx

x®

-0 tgx

является собственным. Следовательно, данный интеграл

сходится.

д) Представим исходный интеграл в виде суммы двух ин-

тегралов

¥ ln x

ln x

ò0

= ò0

dx + ò1

dx .

Сделаем во

втором

интеграле замену

переменнойx =

dx = -

воспользуемся

свойствами

определенного

t 2

интеграла, тогда получим

æ1 ö

ln x

ln ç

0 ln t dt

1 ln tdt

1 ln x dx

è t

ò0

= -ò1

= ò1

= -ò0

æ1

è t

Отсюда следует сходимость и данного интеграла.

3. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 3.1. Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин

Определенный

интеграл

широко

используется

для

вычисления

различных

геометрических

физических

величин.

Рассмотрим

общую

схему

применени

определенного интеграла к вычислению некоторой величины

и в заданных пределах или на отрезке [a, b] .

1°. а) Заданный отрезок разделим на п промежутков точка-

ми a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn

= b

и найдем длину каждого

из этих частичных промежутков.

x1 - x0 = Dx1 , x2 - x1 = Dx1 ,..., xn - xn-1 = Dxn .

б) Выберем в каждом из этих промежутков произвольную

точку xk

так,

что

xk -1 £ xk

£ xk ,

определим

соответствующее

значение

функции в

этой

точкеf x

)

представим

(

приближенное значение каждого элементаDuk

виде

произведения Duk ; f (xk )Dxk .

в) Составим сумму таких произведений по всем промежут-

кам заданного отрезка

f (x1

)Dx1 + f (x2

)Dx2 +... + f (xn

)Dxk .

)Dxn = å f (xk

k =1

Выражаемая этой суммой величина будет тем ближе к истинному значению m, чем меньше каждый из промежутков

Dxk .

г) Истинная величина u определяется	пределом, к
которому стремится указанная сумма, при	условии, что
каждый из промежутков Dxk ® 0 , т.е.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.88 Mб12584.pdf
#
15.11.20221.89 Mб02589.pdf
#
15.11.20221.9 Mб02591.pdf
#
15.11.20221.91 Mб12595.pdf
#
15.11.20221.91 Mб02597.pdf
#
15.11.20221.92 Mб12601.pdf
#
15.11.20221.92 Mб32602.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12605.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12606.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12609.pdf
#
15.11.20221.93 Mб22612.pdf