Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление: практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Cx + D

x2 (x2 + 4)

x2 + 4

Откуда

1 = Ax3 + 4 Ax + Bx2 + 4B + Cx3 + Dx2 .

Составляем

систему

0 = A + C,

0 = B + D,

0 = 4 A,

1 = 4B.

Из решения системы имеем:

A = 0, B =

, C = 0, D = -

Таким образом

x4 + 4x2

x2 + 4

1 æ 1

= -

arctg

+ C = -

arctg

÷+ C.

4 è x

д) Поскольку один корень действительный, а два

комплексные, то

подынтегральная

функция

может быть

представлена в виде

2x +1

Bx + C

(

)

2 +

x -1

x2 +1

Откуда

2x +1 = Ax2 + A + Bx2 + Cx - Bx -C.

Приравнивая

коэффициенты, имеем

0 = A + B,

2 = C - B,

1 = A - C.

Из решения

системы находим:

A =

, B = -

, C =

. Таким

образом

2x +1

dx =

3x -1

(

)

x -1

3 d

(x2 +1)

1 dx

x -1

+1 +

4 x2 +1

2 x2 +1 2

(

)

arctg x + C =

ln (x -1)2

arctg x + C.

x2 +1

e) Раскладываем знаменатель подынтегральной функции

на множители и представим ее в виде простых дробей

Ax + B

Cx + D

x4 - x2 - 6

(x2 -3)(x2 + 2)

x2 - 3

x2 + 2

Откуда

1 = Ax3 + 2 Ax + Bx2 + 2B + Cx3 -3Cx + Dx2 -3D.

Составляем систему

0 = A + C,

0 = B + D,

0 = 2A -3C,

1 = 2B -3D.

Из решения системы имеем:

A = 0, B =

, C = 0, D = -

Таким образом

- x

+ 2

- 6 5

- 3 5

x -

arctg

÷ + C =

x +

è 2

x -

arctg

÷ + C.

x +

6.2. Найти интегралы:

а) ò		dx		; б) ò	4x2 - 4x + 7	dx.
	x	4	+1		(x +1)(2x - 3)(2x + 5)

Решение. а) Воспользуемся разложением

x4 +1 = (x4 + 2x2 +1)- 2x2 = (x2 +1)2 - (x 2 )2 = = (x2 + x 2 +1)(x2 - x 2 +1)

и представим подынтегральную функцию в виде

1 = Ax + B + Cx + D . x4 +1 x2 + x 2 +1 x2 - x 2 +1

Отсюда имеем

1 = (Ax + B )(x2 - x 2 +1)+ (Cx + D )(x2 + x 2 +1).

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

0 = A + C,

0 = - 2A + B + 2C + D,

x 0 = A - 2B + C + 2D,

1 = B + D.

Из

решения

системы

уравнений

A = -C =

, B = D =

Таким образом, решение примет вид

x + 2

dx -

x - 2

dx =

ò x4 +1 2 2 ò x2 + x 2 +1

2 2

ò x2 - x 2 +1

2x + 2

dx +

2dx

ò æ

4 2

ò x2 + x 2 +1

4 2

2 ö

æ 1 ö2

ç x

2 ø

2x - 2

dx +

2dx

ò æ

ö2

æ 1 ö2

4 2

ò x2 - x 2 +1

4 2

ç x

+ ç

+ x 2 +1

arctg (x 2 +1)+

arctg (x

2 -1)+ C.

- x 2 +1

2 2

4 2

2 2

б) Представим подынтегральную функцию в виде

4x2 - 4x + 7

x2 - x + 7 / 4

(x +1)(2x - 3)(2x + 5)

(x +1)(x -3 / 2)(x + 5 / 2)

x +1

x -3 / 2

x +5 / 2

откуда следует равенство

x2 - x + 7 / 4 = A(x - 3/ 2)(x + 5 / 2)+ B (x +1)(x + 5 / 2)+ C (x +1)(x -3 / 2 ).

Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях слева и справа будем полагать в этом равенстве

последовательно

x = -1, 3/ 2,

- 5 / 2,

тогда

сразу

получим

A = -1,

B =

, C =

т . к. справа

всякий раз

остается

лишь

один член. Таким образом,

4x2 - 4x + 7

dx = -ò

(x +1)(2x - 3)(2 x +5)

x +1

x -3 / 2

x +5 / 2

= -ln

x +1

x -3 / 2

x +5 / 2

+ C =

(2x + 5)(2x - 3)7

+ C.

256(x +1)4

6.3. Найти интегралы: а) ò

2 -3x + x2

dx;

(x +1)2

(

x2 + x +1

)

-1

б) ò

-1

dx; в) ò

(

)

dx; г) ò

(

+ x +1 2

(x +1)

(

x2 +1

(x -1)2

(

x2 -1 3

)

Решение. а) Воспользуемся методом Остроградского

2 - 3x + x2

é Ax2 + Bx + C ù¢

Dx2 + Ex + F

= ê

(x +1)2 (x2

+ x +1)

+ 2x

ë x

+ 2x +1û

+ 2x +1

откуда 2 - 3x + x2 = (2 Ax + B )(x3 + 2x2 + 2 x +1)-

-(Ax2 + Bx + C )(3x2 + 4x + 2)+ (Dx2 + Ex + F )(x3 + 2x2 + 2x +1).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях, получим систему уравнений, из которой и определяются неопределенные коэффициенты

0 = D,

0 = 2A -3A + 2D + E,

0 = 4A + B - 4A -3B + 2D + 2E + F ,

1 = 4 A + 2B - 2 A - 4B - 3C + D + 2E + 2F,

x -3 = 2 A + 2B - 4C - 2B + E + 2F,

2 = B - 2C + F.

И з

решения

данной

системы

уравнений :получим

A = -9, B = -20, C = -7, D = 0, E = -9, F = -2.

Интеграл примет вид

2 - 3x + x2

9x2 + 20 x + 7

9x + 2

I = ò

dx = -

- ò

dx.

(x +1)2 (x2 + x +1)2

(x +1)(x2 + x +1)

Пользуясь

методом

неопределенных

коэффициентов,

представим подынтегральную функцию в виде

9x + 2

Bx + C

(

)

2 +

x +1 x2 + x

откуда 9x + 2 = A(x2 + x +1)+ (Bx + C )(x +1),

0 = A + B,

9 = A + B + C,

2 = A + C.

Из

решения

системы

имеемA = -7, B = 7, C = 9. Таким

образом,

I = -

9x2 + 20x + 7

+ 7ò

- ò

7x + 9

dx =

(x +1)(x

+ x

+1)

+ x +1

x +1

= -

9x2 + 20x + 7

+ 7 ln

x +1

7 x + 9

dx.

(x +1)

+ x +1

1 ö2

(

)

ç x +

÷ +

В последнем интеграле сделаем замену x +

= t,

dx = dt,

x = t -

, тогда получим

7t +112

7x + 9

dx =

dt =

ln çt

arctg

+ C =

ò æ

2 è

2 3

ç x +

ln (x

+ x

+1)

arctg

2x +1

+ C.

Окончательный результат будет

I = -

9x2 + 20 x +7

+ 7 ln

x +1

ln (x

+ x

+1)-

arctg

2 x +1

+ C.

(x +1)

+ x

+1)

б) Воспользуемся методом Остроградского

-1

+ Dx + E

ö¢

+ Hx

+ Ix

+ J

= ç

+ Bx + Cx

÷ +

+Gx

(x5 + x +1)

+ x +1

4x5 -1 =

(

4Ax3

+ 3Bx2 + 2Cx + D

)(

x5 + x +1 -

(

Ax 4

+ Bx3 +

)(

(

)

)(

)

+Cx2 + Dx + E

4 +1 +

Fx4 + Gx3 + Hx 2

+ Ix + J

+ x +1

)

0 = F ,

0 = 4A -5A + G,

0 = 3B -5B + H ,

0 = 2C -5C + I ,

4 = D - 5D + J + F ,

0 = 4A + 5E - A + F + G,

0 = 4A + 3B - B + G + H ,

0 = 3B + 2C - C + H + I ,

x 0 = 2C + D - D + I + J ,

-1 = D - E + J.

И з решения системы A = 0, B = 0, C = 0, D = -1, E = 0,

F = 0, G = 0, H = 0, I = 0, J = 0.

Интеграл примет вид

4x5 -1

dx = -

+ C.

(

)

+ x +1

в) Воспользуемся методом Остроградского

(

-1

ù¢

Ax + Bx +Cx + D

Fx +G

)

(

)

x +1 x2 +1

(x +1)

)

x4 - 2x2 +1 = (3Ax2 + 2Bx + C )(x3 + x 2 + x +1)- 4 (Ax3 + Bx 2 +Cx +

+D)(x2 + x )+ E (x6 + 3x4 + 3x2 +1)+ (Fx + G )(x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x +1).

Приравнивая

коэффициенты

при

одинаковых

степенях

неизвестных, получим

	x6			0 = E + F ,
	x5			0 = -A + F + G,
	x4		1 = -A - 2B + 3E + 2F + G,
	x3			0 = 3A - 2B - 4C + 2F + 2G,
	x2			-2 = 3A + 2B - 4C - 4D + 3E + F + 2G,
	x 0 = 2B + C - 4D + F + G,
	x0		1 = C + E + G.
И з решения системы:															A =					1		, B = -					1	, C =						2		, D = 0,
И з решения системы:															A =							, B = -						, C =								, D = 0,
					1														3							2						3
E = 0, F = 0, G =					1		. Интеграл примет вид
E = 0, F = 0, G =							. Интеграл примет вид
				3															1					1						2
	(	x	2	-1						2									1		x3 -			1	x2 +					2	x				1 dx
			2																		x3 -				x2 +						x
																			3				2						3
ò								)					dx =						3				2						3				+					=
ò	(x +	1)		(				2		)		3	dx =								(		2			)			2				+		3		x2 +1	=
				(		x				)											(		x +			)
						x			+1														x +			1
									æ		3				3			2											ö
								1 ç x				-					x			+ 2x									÷
								1 ç x				-			2		x			+ 2x									÷
				=					ç														+ arctg x ÷									+ C.
				=				3	ç			(		x		2			)		2		+ arctg x ÷									+ C.
									ç			(							)										÷
									è								+1												ø
																	+1

г) Представим подынтегральную функцию в виде

(

2 -

)

(x -1)5

(x +1)3

и воспользуемся методом Остроградского

é Ax5

+ Bx4

+ Cx3 + Dx2 + Ex + F

ù¢

= ê

ú +

(x -1)5 (x +1)3

(x -1)4 (x +1)2

G	+	H	.

x -1		x +1

Найдем производную, приведем к общему знаменателю и приравняем числители

1 = (5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 + 2Dx + E )(x2 -1)- (Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 +

+Ex + F )(6x +

+ G

(

6 - 3x4

)

-1)+ H

(

x3 - 3x2 +

3x2 -1 (x

+3x -1)(x4 - 2x2 +1).

0 = G + H ,

0 = 5A = 6 A -G -3H ,

0 = 4B - 2A - 6B - 3G - 2H + 3H ,

0 = -5A + 3C - 2B - 6C + 3G + 6H - H ,

0 = -4B + 3D - 6D - 2C + 3G + H - 6H ,

0 = -3C + E - 2D - 6E - 3G + H ,

x 0 = -2D - 2E - 6F -G + 3H ,

1 = -E - 2F + G - H .

И з решения системы имеем: A =

, B = -

, C = -

D =

, E = -

, F = -

, G =

, H = -

. Таким

образом,

интеграл будет равен

x5 -

x4 -

x3 +

x2 -

x -

(

2 -

(x -1)4 (x +1)2

)

1 dx

12x5 -6x4 - 20x3 + 23x2 - 2x -11

x -1

x +1

(x -1)4 (x +1)2

6x -1

+ C.

x +1

1.7. Интегралы от иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций берутся только в некоторых частных случаях. Основным приемом интегрирования является отыскание таких подстановок,

которые	приводят		подынтегральное					выражение
рациональному виду.
1°.		æ		m1		m2	ö	R —
1°.	Интегралы вида R ç x, x n1				, x n2 , ...÷dx, где			R —
		ç					÷
		è					ø

некоторая рациональная функция; m1, m2 , n1, n2 — целые числа, приводятся к интегралу от рациональной функции с

помощью подстановки x = tk , dx = ktk -1dt,

где k — общий

знаменатель дробных показателей.

2°. Интегралы

более

общего

òR (x, (ax + b)a , (ax + b)b

... )dx

или

æ ax + b öa

æ ax + b öb

R ç x,

, ... ÷dx

è cx + d ø

è cx

+ d ø

приводятся к рациональному виду с помощью аналогичных

подстановок

ax + b = tk ,

ax + b

= tk ,

где k

—

общий

cx + d

знаменатель дробей a, b, ... .

3°. Интеграл

от

дифференциального

би

ò xm (a + bxn )p dx,

где m, n, p, a, b

— постоянные

числа,

преобразуется

помощью

подстановкиx = z

виду

ò z

(a + bz )

dz,

где q =

m +1

-1

приводится

к интегралу

от рациональной функции в следующих трех случаях:

1. Если

— целое, то

подстановка z = t n1 ,

где n

—

знаменатель дроби q = m1 . n1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 245 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]