Интегральное исчисление: практикум. Пантелеев И.Н

трудности возникают при решении конкретных

задач

и

примеров, которые требуют знание определенных методов и

приемов. Цель

пособия -

помочь

студентам

научиться

самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики,

при условии, что изучение теории должно выполняться по

рекомендованному

в

программе

учебнику

и

конспекту

лекций.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического

введения, приводятся основные определения, теоремы без

доказательств, главнейшие

формулы,

методы

и способы

решения

задач. Решение

типовых

примеров

и

задач

в

параграфе,

как

правило,

расположено по возрастающей

трудности.

Характерной особенностью является включение решений

задач вычислительного характера, что позволяет развивать

необходимые навыки и умение для студентов инженерных

специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено

методам решения прикладных задач с физическим смыслом.

Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н.

Сборник задач по курсу математического анализа, 1975;

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972;

Задачи и упражнения по математическому анализу, под

редакцией

Б.П.

Демидовича, 1968;

Сборник

задач

по

математике

для

вузов. Под

редакцией

А.В.Ефимова, ч.1-2,

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.

Первообразная

функция

и

неопределенный

интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица

основных интегралов и простейшие примеры

1°.

Пусть дана функцияf ( x ) , требуется

найти такую

функцию F ( x ) , производная которой равнаf ( x ) , то есть

F'(x) = f ( x ) .

Определени е 1.

Функция

F ( x )

называется

первообраз ной от функции f ( x ) на отрезке [ а;b], если во

всех точках этого отрезка выполняется равенство

F'(x) = f ( x ) .

Всякая непрерывная

функцияf ( x )

имеет

бесчисленное

неопределенным

интегралом от

функции f ( x ) и

обозначается ò f (x )dx.

Таким образом, по определению

если F'(x) = f (x).

ò f (x)dx = F(x) +C ,

Функцию

f ( x )

называют

подынтегральной

функцией; f (x)dx —

по дынтегральным выражением;

С — постоянной интегрировани я.

данной функцииf ( x )

Нахождение

первообразной для

что

интегрирование

есть

действие

дифференцированию. Правильность

интегрирования

всегда

можно

проверить, выполнив обратное действие,

т. е.

найдя

производную

функции,

получившейся

в

результате

интегрирования.

Производная

должна

быть

равна

подынтегральной

1. ò xa dx =

xa +1

+ C; a ¹ -1.

a +1

9. ò

dx

=

1

arctg

x

+ C;

a

2

2

a

+ x

a

10.

ò

dx

= arcsin

x

+ C;

a2 - x2

a

11.

ò

dx

=

1

ln

x -a

+C;

x

2

2

x +a

-a

2a

ò

dx

1

x + a

+ C;

12.

=

ln

a2 - x2

2a

x - a

13.

ò

dx

= ln

x +

x2 + a

+ C;

x2 + a

ò

dx

x

+ C;

14.

= ln

tg

sin x

2

15.

dx

= ln

tg

æ x

+

p

ö

+ C ;

ç

÷

ò co s x

4

è 2

ø

имеют место для любой переменной.

Процесс

нахождения

первообразной

сводится

преобразованию

подынтегральной

функции

к

табличному

виду.

Простейшие

интегралы

могут

быть

найдены

путем

разложения подынтегральной функции на слагаемые. В состав

каждого интеграла входит постоянная интегрирования, но все

они могут быть объединены в одну, поэтому обычно при

интегрировании

алгебраической

суммы

функций

пишут

1.

ò

æ

P¢

P¢¢¢

ö

æ

P¢

P¢¢

ö

P(x) sin axdx = sin ax ç

-

+...÷

- cos ax ç

-

+...÷

+ C,

è

a a4

ø

è

a a3

ø

2.

æ P

P¢

ö

æ

P¢

P¢¢¢

ö

ò P(x) cos axdx = sin ax ç

-

+...÷

+ cos ax ç

-

+...÷

+ C;

a

a

3

2

a

4

è

ø

è a

ø

3. òP( x)e

ax

dx = e

ax æ

P

P¢

P¢¢

ö

+ C;

ç

-

+

-÷

a

a

2

a

3

è

ø

4. ò xm lnn xdx =

1

xm +1 ln n x -

n

òxm ln n -1 xdx ,

m +1

m +1

5.

òe

ax

cosbxdx =

b sin bx + a cos bx

e

ax

+C ;

a

2

+ b

2

6.

òe

ax

sinbxdx =

a sin bx - b cos bx

e

ax

+C ;

a

2

+ b

2

x2 + a ))+ C;

7.

ò

x2 + adx =

1

(x x2 + a + a ln (x +

2

8. ò

2

2

1

æ

2

2

2

x ö

a

- x

dx =

ç x

a

- x

+ a

arcsin

÷ + C;

2

è

dx

a ø

9. Если обозначить In

= ò

(n = 1, 2, 3,...) , то

(x2 + a2 )n

In+1 =

1

x

+

2n -1 1

In ;

2na2

(x2 + a2 )n

2n

a2

10.

òsinn xdx = -

1

cos x sin n -1 x +

n -1

òsin n -2 xdx;

n

n

11.

òcosn xdx =

1

sin x cosn-1 x +

n -1

òcosn-2 xdx;

12.

n

n

sin 2nxdx = 2åsin (2k -1)x + C, (n =1, 2,...);

ò

n

13.

sin x

k =1

2k -1

sin (2n +1)xdx = x + 2åsin 2kx + C , (n = 1, 2,...);

ò

n

sin x

k =1

2k

dx

sin x

æ

1 ö

dx

14.

=

+

ç1-

÷

;

ò cos

2 k +1

x

2k cos

2 k

x

2 k -1

è

2k øò cos

x

dx

1

cos x

æ

1 ö

dx

15.

= -

+ ç1

-

÷

;

ò sin

2k +1

x

2k sin

2 k

òsin

2k -1

x

è

2k ø

x

16.

ò xne- x dx = -xne-x + nòxn-1e- xdx;

ò

ax + b

a

bc - ad

17.

dx

=

x +

ln

cx + d

+ C;

cx + d

c

c2

18.

ò

dx

=

1

ln

x + b

+ C.

(x + a)(x + b)

a -b

x + a

1.1. Найти интегралы: а)

ò

æ

3

1

ö

ç x

+ 2x

+

÷dx;

x

è

ø

б) òe

x

æ

e- x ö

в)

òctg

2

xdx;

г)

ò

x4

dx;

ç1

-

÷dx;

x

3

1

+ x

2

è

ø

д)

æ

1

1

ö

е)

dx

.

ç

-

÷dx;

ò

ò sin2

x cos2

è

3

x

4 x3

ø

x

x

dx

x

-3

x

x-2

x

1

òe

dx - ò

= e

- òx

dx

= e

-

+C = e

+

+C.

x3

-2

2x2

в) Сделаем следующие преобразования

ò

cos2 x

dx = ò

1 -sin2 x

dx

= ò

dx

- òdx = -ctg x - x + C .

sin

2

x

sin

2

x

sin

2

x

г) Вычтем и прибавим в числителе единицу

ò

x

4

-1

+1

dx = ò

æ

x

4

-1

1

ö

ç

+

÷dx =

2

2

2

1+ x

è

1+ x

1

+ x

ø

ò(

2

)

ò

dx

x3

1+ x2

3

=

x

-1 dx +

=

- x + arctg x +C.

д)

Заменим

корни

отрицательными

степенями

и

представим интеграл в виде разности двух интегралов

1

3

3

2

1

3

ò x-

dx - òx-

dx =

x

- 4x

+C =

3 x 2 - 4 4 x +C.

3

4

3

4

2

2

е) Считаем, что

в

числителе

множителем

стоит

тригонометрическая единица 1 = sin2 x + cos2 x , тогда

ò

sin2

x + cos

2 x

dx = ò

dx

+

ò

dx

= tg x - ctg x +C.

sin

2

x cos

2

x

cos

2

sin

2

x