2595

датчика равномерно распределенных случайных чисел.

2.Перечислите наиболее часто встречающиеся на практике законы распределения дискретных случайных величин. В каких задачах они используются?

3.Как может быть реализовано моделирование дискретной случайной величины на основе датчика равномерно распределенных случайных чисел?

4.Как программно моделируются дискретные случайные величины с бесконечным числом исходов?

5.В каком случае и каким образом реализуется совместное моделирование дискретной и непрерывной случайных величин?

6.Какова структура алгоритма моделирования гауссовского вектора с заданными корреляционными свойствами?

3.5. Задачи

Смоделировать последовательность из 500 случайных чисел с заданным законом распределения. Вычислить теоретически и экспериментально их математическое ожидание

идисперсию. Построить ряд распределения.

1.Распределение Пуассона

61

величины X, закон распределения которой имеет следующий вид

Смоделировать регистрацию событий в течение 6 часов.

8.Смоделировать n 10 отсчетов гауссовского

62

4. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

4.1. Выборочные моменты, расчет погрешностей

4.1.1. Общие соотношения

Набор значений x x1,x2, ,xn измеряемой величины

ξ, полученный при n-кратном повторении эксперимента, называется реализацией выборки. Можно считать, что все

некоторая статистика (функция выборки), приближенно соответствующая его истинному значению при конечном объеме выборки n ( m ) и сходящаяся к нему (в

вероятностном смысле) при неограниченном возрастании числа

характеризуется следующими числовыми значениями [1,16]: 1) средним значением оценки:

m m u w u du;

2)смещением оценки: b m ;

3)дисперсией оценки:

D m m 2 u m 2 w u du

или рассеянием оценки:

V m 2 u 2w u du D b2 ;

4) доверительной вероятностью P0 или доверительным интервалом Δ:

63

Здесь w u – плотность вероятности оценки m .

4.1.2. Основные параметры и характеристики оценок

В дальнейшем будем считать, что выборка x подчиняется гауссовскому закону распределения, причем ее значения xi, xj, i,j 1,n являются некоррелированными (а,

следовательно, и статистически независимыми) при i j:

xi xi xj xj 0.

Тогда для наиболее часто используемых на практике параметров можно записать следующие соотношения.

Параметр m – математическое ожидание.

Параметр 2 – дисперсия:

а) математическое ожидание m известно

64

Параметр k – центральный момент k-го порядка

а) математическое ожидание m известно

65

б) математическое ожидание неизвестно

4.2. Выборочные распределения

4.2.1. Общие соотношения

Теоретическими вероятностными характеристиками для непрерывной случайной величины ξ, полностью характеризующими ее в статистическом смысле, являются плотность вероятности w x и функция распределения

66

x

F x w u du.

Для дискретной случайной величины ξ такими характеристиками являются распределение вероятностей Pk P xk и функция распределения

При проведении эксперимента теоретическое распределение F x может быть:

а) частично известно с точностью до некоторых неизвестных параметров;

б) полностью неизвестным.

В первом случае экспериментальное определение w x , F x , Pk сводится к оценке параметров распределения,

Эмпирической функцией распределения называется оценка F x по несгруппированной выборке. Гистограммой

называется оценка плотности вероятности w x по

сгруппированным данным.

Полигоном накопленных частот называется оценка функции распределения F x по сгруппированным данным.

Правило построения эмпирической функции распределения:

1) берется выборка x x1,x2, ,xn объемом n 100 и производится ее упорядочивание: x 1 x 2 x n .

67

интервалов группировки для всех xi:

Здесь xmin и xmax – минимальное и максимальное значение

выборки x. Для односторонних распределений (экспоненциального, релеевского, хи-квадрат и др.) полагается a1 0.

4) Подсчитывается количество kj элементов, попавших в интервал группировки aj,bj . При этом kj должно быть не менее 5 10. Если kj 5 10, то разбиение на интервалы

попадания значения случайной величины ξ в j-ый интервал и строится диаграмма столбцов высотой j или j, j 1,r.

В идеальном случае гистограмма меньше всего отличается от теоретической плотности вероятности в центре интервала группировки aj bj 2.

Для примера на рис. 4.2 приведена теоретическая плотность вероятности (сплошной линией) w u стандартной

гауссовской случайной величины ξ и ее гистограмма (столбиками)

При построении гистограммы использовались объем выборки n 1000 и число интервалов r 10000,4 15.

69