2595

единичными дисперсиями и корреляционными функциями

Rx xi t xi t .

Первые моменты и корреляционная функция процесса

t равны

(7.16)

R 0,921Rx2 0,058Rx4 .

Для задач, не требующих высокой точности решения, в ряде (7.16) в силу его быстрой сходимости можно ограничиться первым членом разложения:

R 0,921Rx2 Rx2 .

Таким образом, формирование отсчета релеевского случайного процесса с корреляционной функцией R

сводится к формированию отсчетов двух независимых гауссовских случайных процессов с корреляционными функциями

Rx R . (7.17)

Пример 7.4. Пусть для моделирования задан релеевский случайный процесс, корреляционная функция которого может быть представлена в виде R exp . Используя (7.17),

для корреляционных функций квадратур x1,2 t имеем:

Rx exp 2 .

Используя готовый алгоритм (6.2) для моделирования гауссовского случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией, получим следующий алгоритм для моделирования заданного релеевского случайного процесса:

j 1 2 1 j x1 j 1 2 1 2 2 j x2 j 1 2 ,

независимых гауссовских чисел с параметрами ~ N 0,1 .

132

Процесс Релея-Райса (обобщенный релеевский процесс)

Распределение этого процесса описывается выражением

гауссовские случайные процессы с корреляционными

функциями Rx xi t xi t .

Первые моменты и корреляционная функция процессаt связаны достаточно сложной зависимостью с параметрами

Процесс типа χn2

Такой процесс имеет одномерную плотность вероятности вида

133

одинаковыми корреляционными функциями Rx xi t xi t

соотношением

n

t n2 t 2 xi2 t .

i 1

При этом m n 2 , D 2n 4 , R Rx2 .

Квадратичная сумма величин с распределением Релея-Райса (нецентральное χn2 -распределение)

Рассмотрим случайный процесс вида

гауссовские процессы с одинаковыми корреляционными

n

где Z2 zi2 . Если же, кроме того, Z 3 5, то R Rx .

i 1

134

7.5. Контрольные вопросы

1.Назовите способы моделирования квазигармонических случайных процессов и условия целесообразности их применения.

2.Из каких соображений выбирается шаг дискретизации несущих гармоник и низкочастотных квадратур при моделировании квазигармонического процесса методом с квадратурными компонентами?

3.Какую интерполяционную формулу целесообразно применять при моделировании отсчетов квадратурных компонент квазигармонического процесса?

4.Как выглядит схема моделирования случайного процесса с произвольным законом распределения на основе гауссовского процесса? Каким образом могут быть найдены моменты и корреляционная функция моделируемого процесса?

5.В чем состоит суть трехэтапной схемы формирования негауссовского случайного процесса с заданным законом распределения?

6.В чем отличие модифицированного трехэтапного метода формирования негауссовского случайного процесса от стандартной трехэтапной схемы?

7.Каким образом может быть сформирован негауссовский случайный процесс с заданной корреляционной функцией?

8.Приведите алгоритмы формирования на ЭВМ типовых негауссовских случайных процессов.

7.6. Задачи

1.Сформировать узкополосный процесс с

используя представление

R exp j 0 exp j 0 2.

2. Сформировать узкополосный случайный процесс с

135

корреляционной функцией R exp 2 22 cos 0 .

корреляционными функциями RX RY exp 2 22 . 3. Сформировать узкополосный случайный процесс со

спектральной плотностью G при 0 2.

4. Сформировать узкополосный случайный процесс со спектральной плотностью

G G0 2 0 2 2 0 2

5.Сформировать равномерно распределенный процесс с корреляционной функцией R exp кор .

6.Сформировать релеевский процесс с корреляционной

функцией R exp 2 02 .

7. Сформировать обобщенный релеевский процесс (Релея-Райса) с корреляционной функцией квадратур

R exp 2 0 .

8.Сформировать релеевский процесс с корреляционной функцией R sin 2 , 4.

9.Сформировать хи-квадрат процесс с 6 степенями свободы и корреляционной функцией R exp 2 02 .

136

8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУАССОНОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ (СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ)

8.1. Моделирование пуассоновских процессов (случайных потоков)

8.1.1. Моделирование однородных пуассоновских случайных процессов

Дискретные (пуассоновские) случайные процессы могут возникать в самых различных приложениях физики, радиотехники, теории массового обслуживания и др. Одним из примеров может служить схема, приведенная на рис. 3.1. Здесь на выходе фотодетектора имеем последовательность импульсов (рис. 8.1а), которая преобразуется счетчиком в дискретный случайный процесс.

а)

б)

Рис. 8.1

137

Графическая иллюстрация дискретного случайного процесса показана на рис. 8.1б. Здесь точками показаны моменты появления событий (импульсов), а сплошной линией

– изменение числа событий с течением времени.

Другой пример (ядерная физика): пусть имеется источник ионизирующего излучения, частицы которого поступают на счетчик Гейгера, соединенного с пересчетным устройством (рис. 8.2). Тогда процесс на выходе пересчетного устройства также можно представить дискретным случайным процессом, аналогичным показанному на рис. 8.1б.

Рис. 8.2

Как видно из рис. 8.1б, дискретный случайный процесс представляет собой число событий из случайного потока, наступивших к моменту времени t, и может быть представлен двумя моделями:

1)последовательностью точек на оси времени (координатной оси, оси частот и т.д.), т.е. моментами времени появления событий из потока;

2)в виде ступенчатой функции N t непрерывного

времени.

Эти два описания во многом совпадают, но не во всех случаях являются эквивалентными.

Дискретный случайный процесс может обладать следующими свойствами.

т.е. вероятность наступления более одного события на малом интервале t имеет более высокий порядок малости, чем t ;

138

соседними событиями, образующими пуассоновский процесс, есть независимые одинаково распределенные величины с экспоненциальной плотностью вероятности (2.8). При этом параметр λ будет иметь тот же самый смысл, что и в законе Пуассона. Таким образом, формируя случайную величину τ с экспоненциальным законом распределения, можно получить пуассоновский случайный процесс (и наоборот).

Если представляет интерес обрабатывать только каждую m-ую точку, то случайная величина

m

i ,

i 1

характеризующая длительность временного интервала между i- ой и i m -ой точками описывается законом распределения

распределения.

Для пуассоновских процессов имеют место следующие свойства:

1)свойство инвариантности к линейным

2) свойство случайного прореживания точек: если текущая точка пуассоновского точечного потока интенсивности λ отбрасывается с вероятностью γ (оставляется

впотоке с вероятностью 1 ), то получающийся

разреженный поток также является пуассоновским с интенсивностью

140