2595

при выполнении (7.4) они являются статистически независимыми и эквивалентными в статистическом смысле. Это значительно облегчает моделирование квазигармонических процессов.

Существует два подхода для моделирования процесса x t (7.1) на ЭВМ.

7.1.2. Прямые методы моделирования квазигармонических процессов

Эти методы применимы для процессов с соотношением

рекуррентный метод формирования процессов (5.18). Для квазигармонических процессов с огибающей корреляционной

моделирования. Также просто получаются имитационные модели для процессов с корреляционными функциями вида

N

R exp i cos i i .

i 1

121

В этом случае формируется одновременно N квазигармонических процессов с помощью рекурсивных фильтров второго порядка с последующим суммированием отсчетов в одинаковые моменты времени t j t . В табл. 6.2 приведены соответствующие параметры некоторых имитационных моделей. Более полный набор рекурсивных имитационный моделей приведен в [13].

7.1.3. Метод моделирования с квадратурными компонентами

Если 0 1, т.е. узкополосные свойства

моделируемого процесса ярко выражены, то такой процесс целесообразно формировать на основе (7.2). Согласно этому подходу формируются два независимых (при выполнении условий гауссовости и (7.4)), но с одинаковыми корреляционными функциями случайных процесса X t , Y t . Затем они умножаются на квадратурные гармонические процессы cos 0t ,sin 0t .

Дискретный вариант (7.2) на практике реализуется

форме этот алгоритм выглядит следующим образом:

122

гармонических функций. Для типичных задач радиотехники берется 12-24 отсчета на одном периоде колебания. В этом случае t 2 12 24 0 1 12 24 f0 , т.е. фазовый угол аргумента гармонического колебания дискретизируется с

является не только невыгодным с точки зрения вычислительных затрат, но и порождает ряд вычислительных проблем: при t кор 0 коэффициент корреляции квадратур

t* очень мало отличается от 1, что требует представления чисел в формате с большой разрядностью.

В этой связи низкочастотные случайные процессы X t ,

Y t формируются с шагом t t* , определяемым видом огибающей корреляционной функции , а промежуточные

коэффициент интерполяции выборки. Пусть имеются отсчеты

ti,ti 1 можно использовать следующие интерполяционные формулы для предсказания величины отсчета квадратуры в момент времени ti k ( k k t* ,k 1,K 1) [6]:

а) интерполяция нулевого порядка

Z ti k Z ti Zi ,

б) интерполяция первого порядка

123

Z ti k Z ti k Z ti 1 Z ti t Zi 1 Zi 1 ,

в) интерполяция второго порядка

Z ti k Zi 1 k k t 2Zi k2 t2 Zi 1 k k t 2 t2

t kK .

Расчет погрешности интерполяционных случайных процессов исследовался различными авторами при различных интерпретациях нормы погрешности. Если в качестве нормы погрешности взять средний квадрат отклонения истинного значения процесса Z ti от интерполированного значения

ZINT ti

D Z ti ZINT ti 2 ,

то можно получить следующие выражения для погрешностей при разных видах интерполяции:

а) интерполяция нулевого порядка

точке 0,5 (в середине интервала t ) ошибка максимальна:

124

0,2 – maxD 3 10 4 . Из полученных оценок видно, что при использовании линейной интерполяции величина интерполяционной ошибки оказывается весьма малой. Поэтому квадратичную интерполяцию можно не применять.

7.2. Моделирование негауссовских случайных процессов

7.2.1. Общая схема моделирования

быть реализована с помощью двухэтапной процедуры (рис. 7.1).

Этап 1: из белого шума u t формируется стандартный гауссовский процесс x t с заданной нормированной корреляционной функцией Rx t1,t2 .

Этап 2: осуществляется нелинейное безынерционное преобразование g x процесса x t .

дифференциального уравнения:

125

Действительно, дифференцируя по переменной y левую и правую части тождества

Пример 7.1. Сформировать коррелированный случайный процесс с равномерной плотностью вероятности

Решение. Из (7.7) имеем

126

Подставляя (7.12) в (7.9), (7.10), для математического ожидания, дисперсии и нормированной корреляционной функции процесса t получаем

Rx 2sin 6 R 3 R или R 3 Rx Rx .

7.2.2. Трехэтапная схема формирования негауссовского процесса

Общая двухэтапная схема формирования негауссовского случайного процесса может быть модифицирована в трехэтапную.

Этап 1: формируется стандартный гауссовский случайный процесс с заданной нормированной x t с заданной нормированной корреляционной функцией Rx t1,t2 .

Этап 2: осуществляется нелинейное безынерционное

Этап 3: выполняется монотонное нелинейное преобразование согласно методу обратных функций.

Дифференциальное уравнение (7.7) для преобразования

127

g x запишется как dg y dy wx y . Отсюда получаем

распределением F y 1 1 exp y .

преобразование стандартного гауссовского процесса x t в t запишется как

ln 1 x t x t .

Для первых двух моментов процесса t находим:

точности справедлива аппроксимация

ln 1 y y 1,72y 0,37y 3.

Тогда после соответствующих преобразований получаем

R Rx .

Реализации процессов с нормальным и логистическим распределением качественно показаны на рис. 7.2а и 7.2б соответственно. Сплошная кривая на рис. 7.2б построена при10, 10, штриховая кривая – при 40, 4.

128

образом, алгоритм формирования равномерно распределенного процесса t по формуле (7.14) проще, чем по формуле (7.13),

однако в (7.14) требуется формирование двух гауссовских реализаций вместо одной.

Пример 7.3. Сформировать случайный процесс t с

распределением Вейбулла:

Здесь b – параметр масштаба (характерное время жизни), c – параметр формы, причем параметр b обладает следующим

свойством: при любом c 0 вероятность P b 1 exp 1 .

приходим к следующему алгоритму формирования негауссовского процесса с распределением Вейбулла:

сплошной и штриховой линией изображены реализации гауссовских квадратур x1 t , x2 t .

130