Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление: практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 233 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

2sin2

sin2

1 .

lim

= 2 lim

lim

2 x

x→0

cos

x→0

cos

в) По формулам половинныx

углов имеем

lim

2sin2 x

= lim

2sin x cos x

= 2 lim

sin x

lim cos x = 2 .

xtgx

x→0

г) Умножим и разделим числитель на 4 в кубе

3 x

x 3

lim

= 8lim

= 8.

x→0 8sin3

x→0 sin3

д) Сделаем замену x-2 = t,

при x→2,

t→0:

lim

sin2 (x −2)

= lim

sin2 t

=1.

(x −2)2

x→0

t→0

е) На основании второй теоремы о пределах имеем

lim

sin 3x

+ lim

sin 4x

lim

sin 3x

lim

sin 4x

x→0

2 x→0

3 x→0

ж) Преобразуем числитель с помощью формул разности

косинусов двух углов и синуса двойного угла cosx - cos3x= =2sin2x sinx = 4sin2x cosx,

lim

cos x − cos3x

= 4lim

sin2

cos x = 4limcos x = 4.

x→0

4.4. Найти пределы: a) lim

3x4 −4x2 +1

;

2 +5x −2x4

x→∞

б) lim

2x3 + x5 −

;

в) lim

+ 2x3 + 4x5

;

6x2 − x

4x2 + x6

x→∞

г) lim

1 + 2 +3 +... + n

; д)

lim

1 − 2n

; е) lim

10n −1

4n4 + 3

+ 2n+1

+10n+1

n→∞

n→∞ 1

n→− ∞ 1

Решение: а) Разделим числитель и знаменатель на x4

3 −

= −

lim

→∞

− 2

т.к. величины

есть величины при х → ∞ бесконечно

малые.

б) Здесь можно разделить числитель и знаменатель на x2

2x +1 −

= lim

2x +1

= ∞.

lim

x→∞

−

в) Деля числитель и знаменатель на x6, получим

lim

= 0.

x→∞

г) Здесь числитель есть сумма арифметической прогрессии.

Находя в числителе сумму арифметической прогрессии,

получим

1+n

n + n2

lim

= lim

n→∞ 4n4 +3

n→∞ 2 4n4 +3

n→∞

4 +

д) Делим числитель и знаменатель на 2n+1

−

lim

2n+1

= −

n→∞

2n+1

е) При

п→ −∞

10n и

10n+1 стремятся к нулю и

неопределенности в пределе нет

lim

10n

−1

= −1.

1 +10n

+ 0

n→∞

4.5. Найти пределы: а) lim

−

;

→1

−

x −1

+ x − x

+ x −1

)

sin x

б) lim

;

в)

lim tg

−

x→∞ (

x→

cos2 x

Решение: a) Приведем к общему знаменателю

lim

1−2(x +1) = lim

−2x −1 .

x→1

x2 −1

x→1

x2 −1

При x→ 1 знаменатель стремится к нулю, следовательно, дробь является бесконечно большой величиной и стремится к

∞.

б) Умножим и делим на сопряженное выражение

lim

x2 + x − x2 − x +1

= lim

= 0.

x2 + x +

x2 + x −1

x→+∞

x→+∞ x2 + x +

в) Раскрываем тангенс и приводим к общему знаменателю

lim

sin2 x −sin x

= lim

sin x(sin x −1)

= −lim

sin x

= −

cos2 x

1−sin2 x

1 +sin x

x→π

πx ;

4.6. Найти пределы: a) lim (1 − x)tg

б) lim 3n tg3−n.

x→1

n→∞

Решение: а) Делаем замену x = 1-α , тогда при х→1, α→0

limαtg π (1 −α)

= limαctg

α =lim

α cos 2 α

α→0

sin

π α =

lim

limcos

π α→0

sin

α→0

, получим

б) Полагая 3

lim 3n tg3−n = lim

tgx = lim

sin x

=1.

n→∞

→0

x→0 x cos x

4.7. Найти пределы: а) lim

4 5x

+ 2

1+3x

; б) lim

;

→∞

x→∞

2+3x 2

x −1

3−2 x

в) lim

;

г) lim

+ 2

x→∞ x

x→∞

Решение. а) Разделим почленно числитель на x

lim

1 +

=lim

1 +

x→∞

Если сделать замену х = 4t, то при х→ ∞,

t→ ∞ и

1 t

lim

= e

x→∞

t→∞

б) Выделим целую часть и почленно разделим числитель

на знаменатель

+1 +1 1+3x

1+3x

lim

= lim 1 +

x +

x→∞

x +1

x→∞

Сделаем замену x+1=t. Тогда при x → ∞,

t → ∞ и предел

1 3t −2

1 t 3

1 −2

примет вид

lim 1

= lim 1

lim 1

= e

t →∞

t→∞

т.к. второй предел неопределенности не представляет и равен единице.

в) Выделим в скобках целую часть

+ 2 + 3

2+3x 2

2+3x2

lim

= lim 1

+ 2

x→∞

Сделаем замену х2 + 2 = 3t.

Тогда при х → ∞, t→ ∞ и предел примет вид

1 9t−4

1 −4

lim 1+

= lim 1+

lim

= e

t→∞

→∞

t→∞

г) Представим предел в виде

3−2 x

lim 1 −

=lim 1

−

lim

x→∞

→∞

В первом пределе сделаем замену -

= t. Тогда при х→∞,

t→0 и предел примет вид

lim (1+t

+3 lim

2 x

)

2 3

= e2 lim

= ∞.

t→0

x→∞

ln(1 + x)

4.8. Найти пределы: а) lim(1 + 5x)

, б)

lim

;

e−x −1

a3x

x→0

в) lim

; г) lim

−1

; д) lim(1 + 2tg 2 x)ctg 2 x ;

x→0

→0

е)	lim(sin 2x)tg 2 2 x ; ж) lim esin 2 x
	x→	π	x→0
	x→	4
з)	lim x(ln x −ln(x + 2)).
	x→∞

−esin x

;

Решение. а) Сделаем замену 5х =t при x→0, t→0 предел примет вид

= lim (1 + t)1t

= e10

lim(1 + t)

→0

t →0

б) Сделаем преобразования

lim

ln(1+ x)2

= 2lim

ln(1+ x) = 2lim ln(1+ x)x =

x→0

→0

= 2ln lim(1+ x)

= 2ln e = 2 .

x→0

в) Полагая e-x - 1= t, получим, что при х→0,

t→0.

ex =

x = ln

Таким образом,

lim

= −lim

= −

= −1.

ln(t +1)−1

t →0

ln(t +1)t

ln lim(t +1)t

t →0

г) Полагая

a3x - 1 = t,

получим,

что

при

x→0, t→0.

Преобразуем замену

ln(t +1)

a3x= t+1; 3xlna = ln(t+1); x =

Отсюда

3ln a

3t ln a

lim

= 3ln a

= 3ln a .

t →0 ln(t +1)

limln(t

+1)t

t →0

Решение этого примера можно найти и более простым путем

lim	a3x −1	= lim3	a3x −1	= 3ln a .
	x		3x
x→0		x→0

д) Делаем замену

tg 2 x = t.

При x→0,

t→0 и предел

примет вид

lim(1 + 2t)t = lim (1 + 2t)

= e2 .

t →0

→0

е) Делаем замену sin 2х = 1+t. При x→π

t→0.

Представим

(1 +t)2

(1 +t) 2

tg22x =

sin2 2x

= −

1 −sin2 2x

1 −(1 +t)2

t(2 +t)

Тогда

(1+t)

+t )1t

−

lim

2+t

= e−2

t→0

ж) Сделаем следующие преобразования

lim

esin 2 x

−esin x

esin x (esin 2 x−sin x

−1)

= lim

x→0

= lim

esin x (esin 2 x−sin x −1)(sin 2x −sin x)

= lim

sin 2x −sin x

x(sin 2x −sin x)

x→0

= 2 lim sin 2x −lim sin x = 2 −1 =1.

→0

x→0

з) Воспользовавшись свойствами логарифмов, имеем

x x

x +2

−x

lim xx(ln x −ln(x + 2)) = lim ln

= lim ln

x→∞

x +2

x→∞

2 −x

−2

= ln lim

= ln e

−2

= −2 .

= ln lim 1+

x→∞

4.9. Найти пределы: a) lim xsin x ; 6) lim		1
4.9. Найти пределы: a) lim xsin x ; 6) lim		(ln x) x .
x→0	x→∞
Решение. a) Неопределенность	вида 0°. Обозначая

функцию под знаком предела за y и логарифмируя, будем иметь

lny=sin x lnx= sinx x xlnx

Отсюда, на основании пункта 4, имеем

limln y = lim sin x lim x ln x = 0, следовательно, lim xsin x =1.
x→0	x→0	x	x→0	x→0

6) Неопределеность вида ∞0 . Обозначая функцию под знаком предела за y и логарифмируя, будем иметь

lny = 1x lnlnx.

Отсюда на основании пункта 4° имеем

lim ln y = lim			ln ln x		ln x		= 0, следовательно,

x→+∞		x→+∞		ln x		x
		lim		1		=1 .
				(ln x)x
		x→+∞					(e2 x3 −1)sin 3x
4.10. Найти пределы: a) lim								;
							ln(1 −3x2 )(1 −cos 2x)
						x→0
б) lim	( 1 +sin x −1)arctg3x).
x→0		(etgx −1)arctg2x

Решение. а) Так как при x→0, 2x3→0, Зх→0,

-3x2→0, и 2х →0, имеем неопределенность 00 . Заменяя исходные бесконечно малые эквивалентными, получим

lim		(e2 x3 −1)sin 3x	= lim	2x3 3x				= −1.
x →	0 ln(1 −3x2 )(1 − cos 2x)		= lim			1		= −1.
x →	0 ln(1 −3x2 )(1 − cos 2x)		x→0		2	1	2
				−3x			(2x)
				−3x		2	(2x)
						2

б) При x→0 имеем неопределенность вида 00 . Заменяем исходные бесконечно малые эквивалентными и упрощаем

lim (	1+sin x −1)arctg3x			1	sin x 3x
							3		3
			= lim	2		= lim		cos x =		.
	(	)
x→0			x→0 tgx 2x			x→0	4	4
		etgx −1 arctg2x

1.5. Непрерывность и точки разрыва функции

10. Если	аргумент	функции	получает приращение
x = x2 − x1 ,	то значение	функции	при новом значении

аргумента равно f(x+ x) = y + y. Отсюда приращение функции y = f(x + x) - f(x), т.е. приращение функции равно разности наращенного значения функции (при наращенном значении аргумента) и начального значения функции. Приращение аргумента может быть не только положительным, но и отрицательным числом.

20. Определение непрерывности функции:

1. Функция у = f(х) непрерывна в точке х = а, если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т. е.

lim	f (x) = lim	f (x) = f (a).
x→a −0	x→a +	0

2. Функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое

приращение функции, т.е. lim y = 0 вблизи точки а. Сумма,

x→0

разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

30. Непрерывная на отрезке [а,b] функция принимает любое промежуточное значение между ее наименьшим т и наибольшим М значением, то есть т ≤ f(x) ≤ М для всех x [a,b]. Отсюда следует, что если в граничных точках отрезка [а,b] функция имеет разные знаки, то внутри отрезка есть, по крайней мере, одно такое значение х = с, при котором функция обращается в ноль. Это свойство непрерывности функций позволяет находить приближенно корни многочленов.

40. Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.

Если при x→a слева функция имеет конечный предел k1 , а при x→a справа функция имеет конечный предел k2 и

k1 ≠ k2 , то говорят, что функция при x→a имеет разрыв первого рода. Разность k1 − k2 определяет скачок функции в

точке х = а. Значение функции при x=а при этом может быть равно какому угодно числу k 3 .

Если значение функции при х = а равно k1 , то говорят, что функция непрерывна слева; если же k2 , то говорят, что функция непрерывна справа.

Если k1= k2 ≠ k3, то говорят, что функция имеет в точке а

устранимый разрыв.

Если при x→ a справа или слева, предел функции не

существует или равен бесконечности, то есть lim f (x) = ∞ , то

x→a

говорят, что при x= а функция имеет разрыв второго рода.

5.1. Найти приращение функции y=2x3 - 3x + 1, если аргумент x изменился от x1 = 1 до x2 = 2.

Решение. Найдем приращение аргумента

<<< < Предыдущая 1 23 / 233 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]