Начала математического анализа. Часть 3. Горбунов В.В., Соколова О.А

комплексными:

k1

i ,

k2

i

p 2

p

p 2

D

g 0,

,

g

0

. В этом случае ча-

4

2

4

ции y

e i x и y

2

e i x , которые образуют фундаменталь-

1

Применяя

формулы

Эйлера

ei

cos

i sin

,

e i

cos

i sin

можно получить два действительных частных

линейно независимых решения дифференциального уравнения

~

и

y1

~

y2 :

~

y1

y2

e x i x

e x i x

x ei x

e i x

x

y1

e

e

cos

x ,

2

2

2

~

y1

y2

e

x i x

e x i x

x ei x

e i x

x

y

2

e

e

sin

x .

2

2

2

Функции

~

~

являются решениями дифференциального

y1

и y2

зуют фундаментальную систему решений, так как W x

0 . Поэто-

му

общее

решение

дифференциального

уравнения

y

py

qy

0

в

третьем

случае запишется

в

виде

y

e x

c cos

x c

2

sin

x .

1

Пример. 12. Найти общее решение дифференциального урав-

нения y

4y

13y

0 .

Решение:

Составим

характеристическое

уравнение

k 2

4k

13

0 , которое имеет два комплексных корня k

2

3i и

1

k2

2

3i . Запишем общее решение дифференциального уравнения в

виде y

e2x c sin3x

c

2

cos3x .

1

y

a1 x y a2 x y f x ,

где a1 x , a2

x , f x -

заданные, непрерывные на (a,b) функции.

Уравнение y

a1 x y

a2 x y 0 , называется соответствующим

Общим решением yон уравнения y a1 x y a2

x y

f x яв-

ляется сумма его произвольного частного решения

yчн

и общего

решения yoo

c1 y1

c2 y2 соответствующего однородного уравне-

ния, т.е. yон

yоо

yчн .

Доказательство. Убедимся при помощи подстановки, что

функция yон

yоо

yчн - решение уравнения

y

a1 x y a2 x y f x .

Так как yoo есть решение уравнения

y a1 x y a2 x y 0 ,

а yчн

- решение уравнения

y

a1 x y a2 x y f x ,

то

yoo

yчн

a1

x

yоо

yчн

a2

x yоо

yчн

yоо

a1 x yоо

a2 x yоо

yчн

a1 x yчн

a2 x yчн

0

f

x

f x .

Это означает, что функция

yоо

yчн

является решением ис-

что функция

yон

yчн

c1 y1

c2 y2

является общим решением

уравнения y

a1

x y

a2 x y

f

x

надо доказать, что из ре-

шения yон

yчн

c1 y1

c2 y2

можно

выделить единственное

ям y x0

y0 , y x0

y0 .

Это означает,

что функция yоо yчн является решением ис-

что функция

yон

yчн

c1 y1

c2 y2

является общим решением

уравнения y

a1

x y

a2 x y

f

x

надо доказать, что из ре-

шения yон

yчн

c1 y1

c2 y2

можно

выделить единственное

ям y x0

y0 , y x0

y0 .

Продифференцировав

функцию

yон

yчн c1 y1 c2 y2 и

подставив

yон и yон

в начальные условия получим систему уравне-

ний относительно с1

и с2 :

c1 y1

x0

c2 y2

x0

y0

yчн x0

,

c1 y1

x0

c2 y2

x0

y0

yчн x0

,

где y0

yон x0 , y0

yон

x0 . Определителем этой системы явля-

ется определитель Вронского W x0

для функции y1 x

и y2 x в

точке x x0 . Функции y1 x и y2 x

линейно независимы и обра-

зуют фундаментальную систему решений, т. е. W x0

0 . Следова-

часть уравнения

y

a1

x y

a2

x y

f1 x

f2

x представляет

собой сумму двух функций:

f1

x

и f2

x , а y1чн

и y2чн - частные

решения

уравнений

y

a1

x y

a2

x y f1 x

и y

a1 x y

a2

x y

f2

x

соответственно,

то

функция

yчн

y1чн

y2чн

является решением данного уравнения.

f x

P ( x)e x ,

где P (x) - многочлен

n –ой

степени. Параметр

n

n

правой части

i

совпадает с

, а число

не является кор-

нем

характеристического уравнения

k 2

pk

q 0. В этом слу-

чае частное решение ищется в виде

y

( A xn

A xn 1

... A )e x ,

0

1

n

где коэффициенты A0 ,

A1 ,…, An

подлежат определению.

Если же число

совпадает с одним из действительных корней

y

x( A xn

A xn 1 ...

A )e x .

0

1

n

Если же число

совпадает с двукратным действительным кор-

y

x2 ( A xn

A xn 1 ...

A )e x .

0

1

n

Пример 13. Найти общее решение уравнения

y 4y

3y x 2 .

Решение: Общее решение соответствующего однородного

уравнения имеет вид

y

оо

C e x

C

2

e3x .

1

x 2 e0x , где параметр правой части

i =0 и не совпадает с

корнями характеристического уравнения k1

1 и

k2

3 , то част-

ное решение ищется в виде

y

чн

Q (x)e0 x

Ax

B .

1

Подставляя это выражение в заданное уравнение, имеем

4A 3(Ax B) x

2 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-

лучим

3A

1,

4A

3B 2 ,

откуда A 1/ 3, B

10 / 9. Следовательно,

yчн

1

x

10

.

9

3

x 2 ex , где параметр правой части

i =1 и совпадает с корнем

характеристического уравнения k1

1 ,

то частное решение ищется

в виде

y

чн

xQ (x)e x

( Ax 2

Bx)e x .

1

Найдя первую производную

y

Ax2

2A

B x

B ex и

вторую производную y

Ax2

4A

B x

2A

2B ex и под-

ставляя это выражение в заданное уравнение, имеем

Ax 2

4A B x 2A 2B e x

5 Ax 2

2A B x B e x 4 Ax 2

Bx e x

x

2 e x ,

6Ax 4A 3B ex

x 2 ex .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях xex ,

e x получим

6A

1,

2A

3B

2 ,

откуда

A

1/ 6, B

5 / 9.

Следовательно,

yчн

x 2 / 6 5x / 9 e x .

Общее решение дифференциального уравнения равно

y C ex

C

2

e4x

( x2 / 6 5x / 9)ex .

1

k 2 4

0,

k

2i .

Общее решение

соответствующего

одно-

1,2

родного уравнения

yоо

C1 cos2x

C2 sin 2x .

Правая

часть

данного неоднородного

уравнения xex

имеет

вид P (x)e x . Так как коэффициент

i

1 в показателе степени

1

шение ищется в виде

yчн

( Ax

B)e x . Подставляя это выражение

в заданное уравнение, будем иметь

(Ax 2A B)ex

4(Ax B)ex

xex .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получим

5A

1,

2A

5B

0,

откуда

A

1/ 5,

B

2 / 25.

Следовательно, частное

решение

равно yчн

(x / 5

2 / 25)e x .

Общее решение равно

y

C cos2x

C

2

sin 2x

x / 5

2 / 25 e x .

1

2. Правая часть неоднородного уравнения имеет вид

f x

x

P x cos x

Q

m

x sin x ,

n

где Рп(х) и Qm(x) - многочлены степени п и т соответственно,

и

- действительные числа.

В

этом

случае

частное

решение

следует искать в

виде

y

xl x

M s

x cos

x

N s

x sin x , где l -

число, равное крат-

ности

i

как

корня

характеристического

уравнения

k 2

pk

g

0 , M s

x и N s

x

- многочлены степени s

с неопре-

деленными коэффициентами,

s

- наивысшая степень многочленов

Рп(х) и Qm(x), т. е. s

= max(n, m).

Следует отметить, что указанные формы частных решений со-

уравнения имеет вид

P (x)e

x cos x или

Q

m

(x)e x sin x .

n

Если же правая часть линейного уравнения второго порядка

имеет вид:

f (x)

M cos x

N sin

x ,

k 2 4 0,

k1

2i,

k2

2i.

Подставляя производные

yчн

2x(

Asin 2x

B cos2x)

( A cos2x

B sin 2x),

yчн

4x( A cos2x

B sin 2x)

4(

Asin 2x

B cos2x)

в исходное уравнение, и приравнивая коэффициенты при

cos 2x

и

sin 2x ,

получим

два

уравнения

для

определения

А и

В:

4B

1,

4A

0 .

Откуда

A

0,

B

1 / 4. Следовательно, част-

ное решение yчн

1

x sin x . Общее решение будет иметь вид

4

y

C cos 2x

C

sin 2x +

1

x sin x .

2

1

4

Пример 18. Найти частное решение линейного неоднородного

уравнения,

удовлетворяющее

начальным

условиям.

y(0)

1,

y (0)

2. .

y

y

2 y

cos x

3sin x.

Решение: Найдем общее решение дифференциального уравне-

ния y

yoo

yчн .

k 2 k 2 0,

k1 1,

k2

2.

y

oo

C e x

C

2

e 2 x .

1

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

f ( x)

e x (M cos x N sin x) .

Так как число

i

i

не является корнем характеристиче-

ского уравнения, то частное решение будем искать в форме

yчн

( A cos x

B sin x),

B

3A 1,

3B A 3.,

откуда A

0,

B

1.

Следовательно, частное решение yчн sin x .

Общее решение будет иметь вид

y

C1e x

C2 e 2 x

sin x .

Найдем С1, С2, используя начальные условия

C1e0

C2 e0

sin 0

1;

или

C1

C2

1;

C1e0 2C2 e0

cos 0

2,

C1

2C2 1

2.