2512

чтобы c1

x y1 x

c'2

x y2 x

0 . Тогда

y c1 x y1 x c2 x y2 x ,

y

c1 x y1

x

c1 x y1 x

c2 x y2 x c2 x y2 x . Подстав-

c1 x y1 x c1 x y1 x c2 x y2 x c2 x y2 x

a1 x c1 x y1 x c2 x y2 x

a2 x c1 x y1 x c2 x y2 x

f x

или

c1 x y1 x a1 x y1 x a2 x y1 x

c2 x y2 x a1 x y2 x a2 x y2 x

c1 x y1

c2 x y2 x f x .

Поскольку y1

x и y2

x

- частные решения уравнения

y a1 x y a2 x y 0 ,

то выражения в квадратных скобках равны нулю, а поэтому

c1 x y1 x c2 x y2 x

f x .

Функция y

c1 x y1 x

c2

x y2 x

будет частным решени-

ем уравнения y

a1 x y

a2

x y

f

x , если функции c1

x и с2(х)

удовлетворяют системе уравнений :

c1 x y1 x c2 x y2 x 0,

c1 x y1 x c2 x y2 x

f x .

Определитель системы

y1

x

y2 x

0 , так как является

y1

x

y2 x

решений y1 x и y2

x

однородного дифференциального уравнения.

Поэтому система уравнений относительно c1

x

и c2

x

имеет един-

ственное решение: c1

x

1 x и c2 x

2

x , где

1

x и 2 x -

некоторые функции от х. Интегрирование функции 1

x

и

2 x

по-

зволяет найти c1 x и с2(х). По формуле y c1 x y1

x

c2

x y2

x

Пример 19. Найти общее решение уравнения y

y

1

.

cos x

Решение: Найдем общее решение

yoo

соответствующего од-

нородного

уравнения

y

y

0 ,

составляя

характеристическое

уравнение

k 2

1

0,

k

i,

k

2

i .

Следовательно,

1

yoo

c1 cos x

c2 sin x .

Частное решение

yчн

исходного уравне-

ния ищется в виде

yчн

c1

x cos x

c2

x sin x .

Для нахождения

c1 x и с2(х) составляем систему уравнения:

с1

x cos x

c2

x sin x

0,

c1

x

sin x

c2

x cos x

1

.

cos x

Вычисляем главный определитель системы и дополнительные

определители:

cosx

sin x

cos2 x

sin2 x

1,

sin x

cosx

sin x

cos x

0

0

1

1

cos x

tgx,

2

sin x

1

1.

cos x

cos x

Следуя методу Крамера, находим

c1

x

1

tgx,

c1

x

tgx dx

ln

cos x

,

c2

x

2

1, c2

x

dx

x .

Запишем

частное

решение

данного

уравнения:

yчн

ln

cos x

cos x

x sin x ,

что позволяет записать общее реше-

ние

уравнения

y

y

1

в

виде

cos x

y

yoo

yчн

c1 cos x

c2 sin x

cos x ln

cos x

x sin x .

рядка с постоянными

коэффициентами и правой частью ви-

да e

x P ( x) , где

P (x)

есть многочлен степени n 0.

n

n

e x ( A cos x

B sin

x) .

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциального уравнения первого

порядка.

1.

y tgx

y

a.

Ответ:

y

C sin x

a .

2.

y

10 x

y .

Ответ: 10x

10

y

C.

3.

x

y

y

.

Ответ:

y

x

2 ln

Cx

y

x

4.

xy

y ln

y

.

Ответ:

y

xe1 Cx .

x

5.

y

2xy

xe x2 .

Ответ:

y

e x2 (C

x 2

).

2

6.

y

1

2x

y

1.

Ответ:

y

Cx 2 e1 / x

x 2 .

x 2

7.

y

xy

2;

y

x 1 1.

x

yy

Ответ: arctg

y

ln( x 2

y 2 )

ln 2.

x

4

8.

y

1

y 1

x;

y

x 0

1.

x 2

1

1

1

x

Ответ:

y

[2

x 1

x 2 arcsin x].

2

1

x

9. (1 e x ) yy

e y ;

y

x 0

0.

Ответ: (1

y)e

y

ln

1

e x

1

x .

2

y

3x 2 y

x 5

x 2 ;

10.

y

x 0

1.

Ответ:

y

5

e

x3

1

(2

x

3

).

3

3

x

1

y

C 2 )e C1

11. xy y ln

.

Ответ:

y (C

x

C

.

1

2

x

1

12.

y

ln x.

Ответ:

y

x 2

(ln x

3

) C x

C

.

2

2

2

1

( y ) 2

2

13. 2xyy

1.

Ответ:

y

(C1 x

1)3

C2 .

3C1

14

yy

yy ln y

( y )

2

.

Ответ:

x C2

C arctg(C ln y).

2

1

1

3

x

15.

4 y

16 y 15 y

4e

2

; y

x 0

3,

y

x 0

5,5.

3

5

x

Ответ:

y

(1

x)e

2

e

2 .

10 x 2

16.

y

2 y

10 y

18 x

6; y

x

0

1,

y

x

0

3,2.

Ответ: y e x (0,16 cos 3x

0,28 sin 3x)

x 2

2,2x

0,84.

17.

y

y

2(1

x);

y

x

0

1,

y

x

0

1.

Ответ: y

e x

x 2 .

S

1

1

1

, S

1

1

1 1

1

1

,

2

1

3

2

6

1 3

2 4

2

6

4

8

S3

1

1

1

1 1

1 1

1 1

3 1 1

, …,

1 3

2

4

3 5

2

6

4

8

6

10

4

8

10

Sn

1

1

1

...

1

1

1

1 3 2 4 3 5

n n 2

2 6

1

1

1

1

...

1

1

3

1

1

.

4

8

6

10

2n

2n

4

4

2n

2

2n

4

Следовательно,

lim Sn

lim

3

1

1

3

, т.е.

4

2n

2

2n

4

4

n

n

ряд сходится.

Числовой ряд 1

1 1 1 1 1

... расходится, так как после-

довательность

частичных

сумм

1,0,1,0,1,0,...

S1

1,

S2

0,

S3

1, ...

не имеет предела.

Известным числовым рядом является геометрическая прогрес-

сия a

ag

ag2 ...

agn 1 ... (a

0) . Сумма первых n членов

прогрессии находится по формуле

Sn

a 1

g n

,

g

1.

Предел

1

g

этой суммы равен:

lim Sn

lim

a 1

g n

a

a lim

g n

.

1

g

1 g

g

n

n

n

1

Если

g

1 ,

то

lim g n

0 ,

поэтому

lim S

n

a

,

геомет-

n

n

1

g

1, то lim g n

lim S

Если

g

, поэтому

n

,

ряд расходится.

n

n

Если g

1, то ряд принимает

вид a

a a ... a ... . После-

довательность

частичных сумм

Sn na

расходится, lim Sn

,

n

следовательно, расходится и ряд. При

g

1

ряд принимает

вид a

a a

a ... - в этом случае Sn

0 при четном n и Sn

a

при нечетном n . Следовательно,

lim Sn

не существует, а ряд расхо-

n

ный ряд, а если сходится числовой ряд

un

, то сходятся и ряд,

n 1

полученный отбрасыванием конечного числа членов.

Доказательство. Сумму первых k

отброшенных членов обо-

значим Sk .

Оставшиеся

члены

ряда

un 1

un 2 ...

uk

k

n 1

называются

n -м остатком

ряда.

Рассмотрим последовательность

частичных

сумм

оставшихся

членов

S n k :

uk 1 ,

uk

1

uk 2 ,

uk 1 uk

2

uk 3 , …. Данная

последовательность

по

условию

теоремы

является

сходящейся, т.е. lim Sn k

является некоторым

n

числом

S . Рассмотрим последовательность частичных сумм ис-

ходного

ряда Sn

Sk

Sn k , которая является сходящейся, т.к.

lim Sn

lim Sk

Sn k

Sk S . Это и означает, что исходный

n

n

Теорема 2. Если все члены сходящегося ряда

un умножить