2512

Возвращаясь

к

переменной

у,

получаем

решение

y

uv

Q x e P x dx dx c e

P x dx

исходного дифференциаль-

ного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

dy

2

y

( x

1)3 .

dx

x

1

Решение: Пусть y

uv , а y

uv

vu . Тогда

uv

vu

2uv

x

1 3 или u v

2

v

vu

( x

1) 3 .

x 1

x

1

Для определения v решаем уравнение v

2

v

0 , т.е.

x

1

dv

2dx

1)2 .

,

откуда

ln

v

2 ln

x

1

или

v

(x

Подставляем

v

x

1

x 1

2

u

x 1

3

, или

u (x 1) , откуда u

(x 1)

2

C .

2

(x 1)4

y

C(x 1)2 .

2

Пример 5. Найти частное решение дифференциального урав-

нения y ytgx cos 2 x ,

удовлетворяющее начальному условию

y 0

1.

Решение: Положим y=uv, тогда y

uv vu и

u v

vtgx vu

cos2 x .

Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в

нуль.

Тогда v vtgx,

dv

sin x

dx .

Интегрируя уравнение, най-

v

cos x

дем ln v ln cos x или v

cos x .

Функция u

определяется

из

уравнения

u cos x cos2 x ,

du

cos x ,

u

cos x dx

sin x

c .

Отсюда

dx

y uv cos x sin x

c .

Используя начальное условие y 0 1, найдем

1 cos0 sin 0 c

, откуда c

1. Искомое частное решение будет

иметь вид

y

cos x(sin x

1) .

1.6. Уравнения Бернулли

Уравнение вида y

p x y

g x yn , n

1,

называется урав-

ному

уравнению. Разделив

уравнение

на

y n ,

получим:

y n y'

p x y n 1

g x .

Обозначим

y n 1

z .

Тогда

z

1

n y n y' .

Отсюда находим

y n y

z

. Уравнение Бер-

1

n

нулли принимает вид линейного относительно z уравнения

1

z

p x z

g x .

1

n

На практике уравнение Бернулли удобнее решать методом

Бернулли посредством введения

y

uv

без предварительного све-

y

f (x, y, y )

функция f (x, y, y )

и ее частные производные по аргументам y, y

непрерывны

в

некоторой

области, содержащей

значе-

ния x

x0 , y

y0 , y

y0 , то существует и притом единственное ре-

шение

y

y(x) уравнения, удовлетворяющее условиям y

x x

y0 ,

0

y

x x

y0

(без доказательства).

0

y

x x

y0 ,

y

x x

y0

0

0

постоянные C1 , C2

можно

подобрать так, что функция

данным начальным условиям y

x x

y0 , y

x x

y0 ,

0

0

средством введения новой функции y

p x . Тогда, используя

y

p

x , получаем дифференциальное

уравнение первого по-

рядка

p

f x , решив которое, получим общее решение уравнения

первого порядка p

p x,C1

. Решая уравнение

y

p x,C1 , полу-

чим общее решение заданного уравнения

y

p( x, C1 )dx C2 .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y

cosx .

Решение: Полагая

y

p x , преобразуем уравнение к виду

p cos x . Интегрируя,

имеем dp

cos xdx

или

p

sin x

C1 .

Возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению y

sin x

C1 .

Следовательно,

y

sin x

C1 dx

cos x

C1 x

C2 .

2. Пусть дано уравнение y

f

x, y

. В уравнении отсутст-

вует явным образом искомая функция y .

Порядок понижается по-

средством введения

новой функции

y

p x . Тогда,

используя

y

p

x , получаем дифференциальное

уравнение первого

по-

рядка

p

f x, p . Пусть p

x;C1

- общее решение дифферен-

лучаем

второе

дифференциальное

уравнение

первого порядка:

y

x;C1 .

Интегрируя последнее

уравнение,

получаем общий

Решение: Полагаем

y

p x ,

y

p

.

Тогда p

p

0 .

x

Разделяя переменные, имеем:

dp

p

,

dp

dx

. Интегрируя, по-

dx

x

p

x

лучим ln

p

ln

x

ln

C1

,

ln

p

ln

C1 x

,

p

C1 x . Возвращаясь к

циального уравнения равно y

c

x2

c .

1

2

2

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния xy

y ln(y / x) .

Решение: Полагая

y

p , преобразуем исходное уравнение к

однородному

дифференциальному

уравнению первого

порядка

xp p ln( p / x) или p

( p / x) ln( p / x) .

Полагая p

vx ,

p

v

xv ,

получим уравнение

v x

v

v ln v

или

dv

x

v(lnv

1) .

Разделяя

переменные

и интегрируя

dx

dv

dx

,

получим

ln(lnv

1)

ln x

ln C ,

ln v

1

xC

v(lnv

1)

x

1

1

или v

e1 C1x . Возвращаясь к переменной y , приходим к уравне-

нию y

xe1 C1x , которое дает

y

xe1

C1x dx . Интегрирование по

частям дает

y

xe1 C1x dx

1

xe1 C1x

1

e1 C1x

C2 .

C

C 2

1

1

введем

y p y . Дифференцируем это равенство по x , учитывая,

что

p

p y x

:

y

d y

dp y

dp y

dy

dp y

p ,

dx

dx

dy

dx

dy

т. e.

y

p

dp

. Теперь уравнение запишется в виде p

dp

f y, p ,

dy

dy

уравнения второго порядка

dy

x

C2 .

y, C1

Пример 9. Найти общее решение уравнения yy

y

2

0 .

Решение: Положим

dy

p y , y

dp

p. Для

p y

получим

dx

dy

уравнение

первого порядка

с

разделяющимися

переменными

yp

dp

p2

0 , общее решение

которого

p C y

дает

второе

dy

1

переменными

dy

C y . Интегрирование последнего дифференци-

dx

1

eC1x .

ального уравнения дает ln

y

C x

ln C

2

или

y

C

2

1

ние второго порядка: y a1 x y

a2

x y

0 , где a1 x

и a2 x

являются непрерывными функциями x

в рассматриваемой области.

Укажем некоторые свойства решений этого уравнения.

Теорема 1. Если функция

y1 y1

x и

y2

y2 x

является

частными решениями уравнения

y

a1

x y

a2

x y

0 , то ре-

шением

этого

уравнения

является

также

функция

y c1 y1 x

c2 y2

x , где c1 и c2

- произвольные постоянные.

Функции y1 y1 x

и y2 y2 x

называются линейно неза-

висимыми на интервале

a,b , если равенство

1 y1

2 y2

0 , где

1, 2 R , выполняется только в случае, когда 1

2

0 .

Если же существует пара неравных нулю чисел

1

или 2 ,

при которых выполняется равенство

1 y1

2 y2

0 ,

то функции

y1

и

y2 ,

т. е. для всех x a;b выполняется равенство y1

y2 ,

где

- некоторая постоянная величина. Например, функции y1 x

и

y2

x2

линейно независимы, а функции y3 2x и y4

5x ли-

Для двух дифференцируемых функций y1

y1 x и y2 y2 x

определитель Вронского имеет вид W x

y1

y2

. Существует не-

y1

y2

то y1

y2 для любого x a;b . Тогда определитель Вронского

равен нулю:

W x

y2

y2

y2

y2

0 .

y2

y2

y2

y2

Теорема 3. Если функции

y1 x

и y2 x

- линейно независи-

мые решения уравнения y a1

x y

a2 x y

0 на a,b , то оп-

точке интервала a,b тогда и только тогда,

когда частные решения

дифференциального уравнения

y

a1 x y

a2 x y

0 линейно

независимы.

Фундаментальной системой решений линейного однородного

дифференциального уравнения

y

a1 x y

a2 x y

0 называет-

a,b

частных решений y1

x и y2 x . В этом случае любое частное

решение может быть получено в виде

y

1 y1 x

2 y2

x . На-

пример,

легко можно

проверить,

что

функции

y

e x и

1

y

e x

образуют фундаментальную

систему решений

диффе-

1

Решение:

Составим

характеристическое

уравнение

k 2

3k

2

0 , которое имеет два различных действительных корня

k1

1 , k2

2 . Запишем общее решение дифференциального уравне-

ния в виде y

c e x

c

2

e2x .

1

2. Характеристическое уравнение имеет действительный дву-

кратный корень k1

=

k2

k

p

D

p 2

g

0 . В этом слу-

2

4

чае известно лишь одно частное решение

y

ekx . Однако, можно с

1

помощью подстановки показать, что функция

y2

xekx

также явля-

ется решением дифференциального уравнения. Действительно,

y2

py2

gy2

xekx

p xekx

g xekx

2kekx

xk 2ekx

p ekx

xkekx

g xek1x

ekx

2k

k 2 x

p

pxk

gx

ekx

x k 2

pk

g

p

2k .

Поскольку k 2

pk

g

0 , т.к.

k

является корнем характеристи-

ческого

уравнения,

а

p

2k

0 ,

т.к. по

условию

k

p

,

то

2

y2

py2

gy2

0 , т.е. функция

y2

xekx

является

вторым

решением дифференциального

уравнения.

Функции

y

ekx

и

1

y2

xekx

образуют

фундаментальную

систему

решений:

W x

e2kx

0 . Общее решение дифференциального уравнения в

этом случае имеет вид y

c ekx

c

2

xekx .

1

Пример 11. Найти общее решение дифференциального урав-

нения y

4y

4y

0 .

Решение:

Составим

характеристическое

уравнение

k 2

4k

4

0 , которое имеет два одинаковых действительных корня

k1

k2

2 . Запишем общее решение дифференциального уравнения в

виде y

c e2x

c

2

xe2x .

1