2449

и

B0 ( j1a2 j2c2 j2b2) .

2r

На основании полученных формул представим график зависимости B(r)(рис.45).

B

Задача 4. Внутри длинного провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние . По проводу течет постоянный ток плотности j . Найти индукцию магнитного поля внутри полости. Рассмотреть случай 0 .

соответствии с теоремой о циркуляции, имеем

71

трубы в одну сторону, а по щели ток I - в противоположную, причем такой, чтобы суммарный ток в

воспользуемся формулой прямолинейного проводника с током

B0I , 2 b

где b - расстояние от тока до некоторой точки А внутри трубы (рис.47).

Введя линейную плотность тока I

i I , 2 R

для тока I , получим

I ih Ih . 2 R

Таким образом, магнитное поле внутри трубы равно

B 0Ih . 4 2bR

Задача 6. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного:

а) по плоскости с линейной плотностью j ;

б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями j и - j .

Решение Рассмотрим магнитное поле тока, равномерно

распределенного по плоскости. В данном случае линии

вектора B параллельны плоскости, перпендикулярны линиям тока и по разным сторонам этой плоскости имеют противоположные направления. Из симметрии поля следует, что для определения индукции достаточно воспользоваться

73

Всоответствии с теоремой

оциркуляции, имеем

(B,d ) 0 j d ,

магнитные индукции между плоскостями направлены в одну сторону (рис.49). Индукция результирующего поля удваивается и равна B 0 j. Во внешних полупространствах

индукции B1 и B2 направлены в противоположные стороны и результирующее магнитное поле равно нулю.

Задача 7. Требуется получить индукцию магнитного поля B 0,05Тл в соленоиде длиной 20см и диаметром D 2см. Найти число ампер-витков IN , необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов U , которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром d 0,5мм. Считать поле соленоида однородным.

74

Решение

В данной задаче диаметр соленоида D существенно меньше его длины , поэтому такой соленоид приближенно можно считать бесконечно длинным. Внутри бесконечно длинного соленоида магнитное поле однородно и равно

B 0nI ,

а, число ампер-витков для данного соленоида

I N B .

0

Напряжение, которое надо приложить к концам обмотки соленоида, найдем по закону Ома

U I R I L , S

где S d2 /4 – площадь сечения, L DN – длина медного провода, – удельное сопротивление меди.

Окончательно, получим

U4 B D .

0d2

Выполнив вычисления, найдем:

IN 80А, U 40,7В.

Задача 8. На тороид малого поперечного сечения

При осуществлении навивки провода на поверхность тора, на внешней стороне витки провода неизбежно будут располагаться на некотором расстоянии h (шаге) друг от друга. Вследствие этого при пропускании тока I по обмотке тороида будет иметь место продольный ток I , который

можно рассматривать как круговой ток радиуса R . При этом магнитная индукция в центре тороида

B0 0I .

2R

Для нахождения продольного тока введем линейную плотность тока в витке i I /h. Вектор плотности тока i можно представить в виде продольной и поперечной составляющих i i in . Продольная составляющая равна

следовательно, продольный ток можно определить величиной

Таким образом, магнитная индукция в центре тороида, создаваемая продольным током, равна

B0 0 I ,

2R

а отношение

B 0 NI 2R N .

B0 2 R 0I

76

4. Определение магнитных полей, создаваемых вращающимися заряженными телами

Метод решения. При вращении заряженного тела вокруг его оси создаются элементарные круговые токи

выделенный элементарный заряд, определяемый через линейную, поверхностную или объемную плотность распределения зарядов в теле. В дальнейшем, используя формулу индукции для кругового тока, путем интегрирования можно определить результирующее значение B , создаваемое всеми элементарными токами. Аналогично, путем интегрирования, можно определить и магнитный момент вращающегося тела.

Примеры решения задач

Задача 1. Тонкий непроводящий диск радиуса R , равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти:

а) индукцию магнитного поля в центре диска; б) магнитный момент диска.

Решение

Рассмотрим кольцевой элемент диска радиуса r и ширины dr (рис.50). Электрический заряд данного кольца равен

dq dS 2 rdr .

цилиндра (рис.52). Магнитный момент вращающегося диска, заряженного с поверхностной плотностью , был получен в предыдущей задаче

pm R4 . 4

В данной формуле проведем следующие замены:

q

pm dpm , d dz R2hdz,

q

где – объемная плотность заряженного цилиндра.

R2h

С учетом произведенных замен, получим

вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы.

Решение На сфере с помощью двух параллельных плоскостей на

расстоянии dz друг от друга и перпендикулярных оси вращения oz выделим кольцевой элемент, площадь которого будет равна

Вследствие вращения заряженной сферы данному кольцу будет соответствовать круговой ток

80