2449

Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты.

Индукция магнитного поля точечного заряда

q, движущегося с нерелятивистской скоростью ,

вектор точки наблюдения в системе отсчета, связанной с зарядом, – угол между векторами и r .

Вектор B направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и r , и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к r для положительного заряда и противоположно этому направлению для отрицательного.

Закон Био-Савара-Лапласа определяет индукцию поля dB, создаваемую элементом длины

где r радиус-вектор точки наблюдения в системе отсчета,

связанной с элементом тока, – угол между векторами d и r .

Вектор dB перпендикулярен d и r , направлен по

касательной к линии магнитной индукции. Направление dB определяется правилом правого винта.

Принцип суперпозиции магнитных полей –

магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна их геометрической (векторной) сумме:

n

BBi ,

i 1

51

где B – магнитная индукция результирующего поля.

Магнитная индукция полей, создаваемых

токами простейших конфигураций:

а) бесконечно длинным прямым проводником

B 0 2I ,

4 R

где R – расстояние от оси проводника до точки наблюдения; б) круговым током в центре симметрии

I B 0 2R ,

где R – радиус кругового проводника с током;

в) прямолинейным отрезком проводника

B0 I cos 1 cos 2 4 R

где 1 и 2 – значения угла между направлением тока и радиус-вектором r для концов отрезка;

г) бесконечно длинным соленоидом

B 0nI

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;

д) соленоидом конечной длины

где 1 и 2 – углы, которые образует с осью соленоида радиус-вектор, проведенный к крайним виткам соленоида.

Циркуляция вектора магнитной индукции –

линейный интеграл, взятый по замкнутому контуру в магнитном поле. Циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме вдоль замкнутого контура пропорциональна

52

алгебраической сумме сил токов, охватываемых этим

n

контуром B d 0 Ik ,

k 1

n

где Ik – алгебраическая сумма сил токов, охватываемых

k 1

контуром.

2.1.2. Основные типы задач и методы их решения

1. Определение индукции магнитного поля движущегося заряда

Метод решения. Применение формулы, определяющей магнитное поле, создаваемое в некоторой точке Р точечным зарядом, движущимся с постоянной нерелятивистской скоростью.

Индукция поля, создаваемая несколькими движущимися зарядами, определяется на основе принципа суперпозиции.

Примеры решения задач

Задача 1. Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью υ = 0,2 Мм/с. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии r = 2 нм от электрона и лежащей на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона и составляющей угол α = 45º с его скоростью.

Решение

отрицателен, его направление противоположно векторному произведению ,r , т.е.

друг другу с одинаковыми скоростями 106 м/с. Расстояние между ними b 10 9 м. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на одинаковом расстоянии r 7,0 10 10 м от обеих частиц.

Решение

r

Вектор B результирующего поля определяется по принципу суперпозиции

B B1 B2 ,

54

c 1 ,

2. Определение индукции магнитного поля, создаваемого линейными проводниками с током

произвольной конфигурации

Метод решения. Для нахождения индукции магнитного поля линейного проводника с током необходимо разбить его на элементарные участки. Магнитная индукция

элемента тока Id опредяляется законом Био-Савара_Лапласа dB 0I d ,r .

Магнитная индукция поля B , создаваемая всем проводником, равна вектороной сумме

B dB.

От векторного суммирования следует перейти к его проекциям на координатные оси, а затем уже проводить интегрирование.

Рассмотрим вначале две стандартные задачи, связанные с расчетом индукции магнитного поля кругового тока, и индукции поля прямолинейного отрезка проводника с током. Полученные на основании закона Био-Савара-Лапласа формулы будем использовать в дальнейшем для упрощения расчета полей простейших проводников с токами, представляющих некоторую комбинацию прямолинейных и круговых участков.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого

57

dB dBx dBy ,

тогда согласно принципу суперпозиции результирующий вектор магнитной индукции равен

B dBx dBy .

Из соображений симметрии видно, что

59

dBy 0,

авекторы dBx от различных элементов d сонаправлены,

поэтому вектор B направлен вдоль оси Ox . Заменяя векторное суммирование скалярным, величину индукции магнитного поля в данной точке найдем интегрированием

прямолинейным отрезком проводника с током

B1 0I (cos 1 cos 2). 4 r0

60