Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2398

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

							Таблица 1
x	(-,-3)	-3	(-3,-1)	-1	(-1,0)	0		(0,∞)
f (x)	+	0		Не сущ.	+	0		+

f (x)				Не сущ.		0		+

f(x)	Возр.,	Max	убыв.,	Не сущ.	возр.,	Точка		Возр.,
	вып.	y=	вып.		вып.	перег.		вогн.
		-27/4
				y

-3	-1	0

Рис. 23

Пример 5.10. Исследовать функцию y	x3
			и построить
	x2
		3

ее график.

Решение. 1. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, т.е. при

x1 3 , x2 3 .

Следовательно,

D( f ) ( , 3) ( 3, 3) (3, ) .

2.Определим точки пересечения графика с координатными осями. Единственной такой точкой будет O(0,0).

3.Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность. Имеем

	x3	(x)3
f (x)			f (x) ,
	x2 3	(x)2 3

следовательно f(x)- нечетная.

При исследовании функции можно ограничиться значениями х 0, а затем продолжить функцию, пользуясь свойством нечетности (график симметричен относительно начала координат).

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

	x3	, lim	x3
lim					.

x 3 0 x2 3		x 3 0 x 2		3

Следовательно, x 3 - вертикальная асимптота.

б) Наклонные асимптоты
k lim	f (x)	lim	x2		1 ,
k lim		lim			1 ,
x	x	x x2		3
b lim ( f (x) x) lim (					x3		x) 0 .
b lim ( f (x) x) lim (				x2			x) 0 .
x			x	x2		3

Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота.

5. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную.

		x3		3x2 (x2 3) x3 2x				x2 (x2 9)
		x3		3x2 (x2 3) x3 2x				x2 (x2 9)
f (x)
f (x)		2	3	(x	2	3)	2		2	3)	2 0.
	x		3	(x		3)		(x		3)

Критическая точка первого рода: x1 0 .

Точки x4,5 3 не могут быть точками экстремума, так как они не

входят в область определения функции.

6. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную.

		x3		x2 (x2				9)		6x(x2 9)
f (x)
f (x)		2	3		(x	2	3)		2	(x	2	3)	3 0.
	x		3		(x		3)			(x		3)

Существует одна критическая точка второго рода: x1 0 .

Найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости, и точки перегиба. Результаты исследования оформим в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

Таблица 2

(3,∞)

( 3,0)

(0, 3)

( 3,3)

f (x)

Не

сущ.

f (x)

Не

сущ.

f(x)

Убыв.,

Т. П.

Убыв.,

Не

Убыв.,

Min

Возр.,

вогн.

f=0

вып.

сущ.

вогн.

f =4,5

вогн.

Используя полученные результаты, строим график, функции, предварительно нанеся на чертеж точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и асимптоты.

-3	-	3	0	3	3	x

Рис. 23

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.

2.Дайте определение точки максимума функции.

3. Какие точки являются критическими точками первого рода?

4.Приведите пример стационарной точки, не являющейся точкой экстремума.

5.Может ли функция испытывать минимум в точке, не являющейся стационарной?

6.В чем различие между минимумом и наименьшем значением функции?

7.Какой график функции называется выпуклым?

8.Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?

9.Что называется критическими точками второго рода?

10.Как определяется асимптота графика функции? Когда появляются вертикальные и наклонные асимптоты?

11.Изложите общую схему исследования функции и построения ее графика.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.

2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975. 624 с.

3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч.1.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………			3
1. Введение в математический анализ………………………			4
1.1. Понятие множества и операции над множествам…			4
1.2. Понятие функции……………………………………			5
1.3. Способы задания функций………………………….			5
1.4. Классификация функций……………………………			7
1.5. Некоторые классы функций………………………..			8
2. Предел. Непрерывность функции……………………...…			10
2.1 Предел функции……………………………………...			10
2.2. Бесконечно малые и их основные свойства………..			11
2.3. Основные теоремы о пределах…………………….			13
2.4. Предел функции	sin x	при x 0 (первый замечатель-

	x		15
ный предел)………………………………….....

2.5. Число e. Второй замечательный предел……………			16
2.6. Раскрытие некоторых неопределенностей………...			18
2.7. Сравнение бесконечно малых величин…………….			21
2.8. Непрерывность функции в точке…………………..			22
2.9. Точки разрыва функции и их классификация……..			25
2.10. Основные теоремы о непрерывных функциях…...			27
2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке…….			27
3. Производная функции и ее приложения…………………			30
3. 1. Дифференцируемость функции……………………			30
3.2. Правила дифференцирования………………………			33
3.3. Производная степенной, показательной и тригономет-
рических функций………………………….			35
3.4. Обратные функции. Производная обратной функ-
ции…………………………………………………...			38
3.5. Сложные функции. Производные сложных функ-
ций…………………………………………………...			40

3.6. Гиперболические функции и их производные…….	41
3.7. Таблица производных……………………………….	42
3.8. Неявная функция и ее дифференцирование……..	43
3.9. Метод логарифмического дифференцирования…...	43
3.10. Производная параметрически заданной функции...	45
3.11. Уравнение касательной и нормали к графику функ-
ции…………………………………………………..	46

3.12.Дифференциал…………………………………….. 48

3.13.Производные высших порядков явно заданной функ-

ции……………………………………………….	49
3.14. Формула Лейбница………………………………	50

3.15.Производная второго порядка неявно заданной функции……………………………………………. 51

3.16.Производные высших порядков от функций, заданных

параметрически…………………………	52
3.17. Дифференциалы высших порядков………………	53
4. Теоремы о дифференцируемых функциях………………	55
4.1. Теорема Ролля……………………………………….	55
4.2. Теорема Лагранжа…………………………………..	56
4.3 Теорема Коши………………………………………..	58
4.4. Правило Лопиталя…………………………………..	59
5. Исследование функций и построение графика функ-
ции……………………………………………………………….	62
5.1. Возрастание и убывание функции…………………	62
5.2. Максимум и минимум функции……………………	64
5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке……………………………………………	67

5.4.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба…………………………………………….. 69

5.5. Асимптоты графика функции и их построение……

5.6.Общая схема исследования функции и построения гра-

фика……………………………………………… 74

Библиографический список………………………………….

Учебное издание

Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть 1

В авторской редакции

Компьютерный набор В.В. Горбунова

Подписано к изданию 16.12.2013.

Объем данных 3,363 Мб

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.52 Mб12393.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02394.pdf
#
15.11.20221.52 Mб22395.pdf
#
15.11.20221.52 Mб02396.pdf
#
15.11.20221.53 Mб02397.pdf
#
15.11.20221.53 Mб02398.pdf
#
15.11.20221.54 Mб22402.pdf
#
15.11.20221.54 Mб02403.pdf
#
15.11.20221.55 Mб02405.pdf
#
15.11.20221.55 Mб02406.pdf
#
15.11.20221.55 Mб02409.pdf