2398

наты графика, т.е. график функции является выпуклым. По аналогии доказывается, что при f x 0 график функции является вогну-

x x0 . Значит, слева от точки x0 график выпуклый, а справа от точки x0 вогнутый. Поэтому точка x0 , f x0 графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если f x 0 при x x0 и f x 0 при x x0 , то точка x0 , f x0 является точкой перегиба графика функции y f x .

Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками вто-

рого рода.

70

числовой оси и обращается в нуль при x1 1 и x2 1. Вторая производная положительна при x , 1 1, , следовательно, на этих промежутках график является вогнутым. Вторая производная отрицательна при x 1,1 , где график функции является выпуклым. Точки x1 1 и x2 1 являются точками перегиба.

5.5. Асимптоты графика функции и их построение

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода. Говорят, что

фика функции, возникающего на границе области определения, является асимптота x 0 графика y ln x .

71

из области определения, то рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы функции при x 0

ту.

Расстояние MP от точки M до асимптоты стремится к нулю при удалении точки на бесконечность. Удобнее, однако, рассмотреть

72

Так как величина x является бесконечно большой величиной,

b lim f x kx .

x

Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением коэффициентов k и b не существует или стремится к бесконечности, то кривая y f x не имеет наклонной асимптоты. В частном слу-

чае, когда k 0 получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении x к и , поэтому при определении параметров k и b

необходимо вычислять соответствующие пределы при x и x .

Пример 5.6. Найти асимптоты графика функции y xe2x .

функции при x асимптоты не имеет. При x получаем:

73

Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из области определения функции, является x 2 , то находим левосторонний и правосторонний пределы при x 2 :

5.6. Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции y f x производится по следующему плану:

1.Нахождение области определения функции.

2.Исследование простейших свойств:

а) нахождение точек пересечения с осями координат,

74

б) определение наличия свойств четности или нечетности, в) определение наличия периодичности.

3.Нахождение асимптот: а) вертикальных, б) наклонных.

4.Нахождение первой производной.

5.Нахождение критических точек первого рода.

6.Вычисление второй производной.

7.Нахождение критических точек второго рода.

8.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого и второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.

9.Исследование поведения функции на полученных проме-

жутках:

а) возрастание, убывание функции, б) вогнутость, выпуклость графика.

10Исследование поведения функции в критических точках первого и второго рода.

а) экстремумы, б) точки перегиба.

11.Построение графика функции по результатам исследова-

ния.

график.

Решение. Выполним все операции предложенной выше схемы исследования.

1.Функция не определена при x 1 и x 1. Область опреде-

ления функции D y : , 1 1,1 1, .

2.Простейшие свойства.

75

Следовательно, график ее симметричен относительно оси Oy . в) Функция непериодическая.

3. Асимптоты.

а) Вертикальные асимптоты появляются при x 1 и x 1:

б) Для нахождения наклонных асимптот находятся пределы:

Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота y 1 при

x.

4.Первая производная равна

76

8. Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой и второй производной и находим знаки первой и второй производной в каждом промежутке:

77

Пример 5.9. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график

Решение. 1. Найдем область определения функции. Поскольку f (x) представляет собой дробь, знаменатель дро-

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность y( x) ( x)3 / 2( x 1)2 x3 / 2(1 x)2 .

Очевидно, что y( x) y x и y( x) y x , поэтому

функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой, вычислим пределы справа и слева при x 1 0, x 1 0 от функции f(x):

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+b при x , x

78

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой

ипри x .

5.Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .

7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .

8.Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой

(рис. 21).

79