2398

3.14. Формула Лейбница

Предположим, что функции u x и v x имеют производные

до n -го порядка включительно. Тогда, применяя правила дифференцирования, получим:

u v u v u v , u v u v 2u v u v ,u v 3 u v 3u v 3u v u v .

Для производной n -го порядка получим общую формулу, на-

зываемую формулой Лейбница:

ется факториалом, является функцией натурального аргумента n и вычисляется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

50

3.15. Производная второго порядка неявно заданной функции

Если функция y f x задана неявно в виде уравнения F x, y 0 , то производная первого порядка получается после дифференцирования по x вышеуказанного уравнения и разрешения его относительно y . Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции, содержащую x, y, y . Подставляя в выражение для второй производной ранее найденное выражение для y , получим зависимость y от x и y .

2 y 3 3xy 2 .

2xy 1 3

51

3.16. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

52

то

d 2 y 6x dx2 3x2 2d 2t 6 t 2 1 2t dt 2 3 t 2 1 2 2d 2t6 t 2 1 4t 2 t 2 1 d 2t 6 t 2 1 5t 2 1 d 2t .

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение дифференцируемой функции.

2.Что называется производной? Каков геометрический и физический смысл производной?

3.Всегда ли непрерывная функция имеет производную?

4.Сформулируйте основные правила дифференцирования.

5.Выведите формулу производной показательной функции исходя из определения производной.

6.Сформулируйте теорему о дифференцируемости обратной функции. Выведите формулы производных обратных тригонометрических функций, используя теорему о дифференцируемости обратных функций.

7.Что собой представляет логарифмическое дифференцирование? Когда целесообразно его использование?

8.Как производится дифференцирование сложных функций?

9.Выведите уравнения касательной и нормали к графику функции.

10.Как находится производная второго порядка параметрически заданной функции?

11.Дайте определение дифференциала функции.

54

4. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

4.1. Теорема Ролля

Ряд теорем о дифференцируемых функциях имеет большое

нуль, т.е. f c 0 .

Доказательство. Так как функция y f x непрерывна на отрезке a, b , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, соответственно, M и m . В тривиальном случае M m функция y f x постоянна на a,b и, следовательно, её производная f x 0 в любой точке отрезка a,b .

В случае M m функция достигает хотя бы одно из значений M или m во внутренней точке c интервала a,b , так как f a f b . Предположим, что функция принимает значение M в

55

Одновременно два неравенства f c 0 и f c 0 могут

выполняться в одном случае f c 0 . Таким образом, f c 0 .

Случай, когда f c m , может быть доказан по аналогии. Геометрический смысл теоремы Ролля сводится к тому, что на

графике дифференцируемой функции y f x найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ox .

y

f c 0

f a f b

Рис. 15

Важным следствием теоремы Ролля является то, что между двумя нулями дифференцируемой функции обязательно найдется хотя бы одна точка, где производная этой функции обращается в нуль.

4.2. Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. Если функция y f x непрерывна на отрезке a,b , дифференцируема на интервале a,b , то найдется хотя бы одна точка c a,b , такая, что выполняется равенство

f (b) f (a) f '(c)(b a).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a). b a

56

Вспомогательная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поскольку непрерывна на отрезке a,b и дифференци-

Полученную формулу называют формулой Лагранжа, а теорему – теоремой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке a,b равно длине орезка, умножен-

ному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отно-

y f x в точке с абсциссой x c . Таким образом, на графике

y

B

f b

A

f a

Рис. 16

57

функции y f x найдется такая точка M c, f c , в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB .

4.3. Теорема Коши

Теорема Коши. Если функции y f x и y x непрерывны на отрезке a, b , дифференцируемы на интервале a,b , причем

Доказательство. Предполагается, что b a 0 , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка c , чтоc 0 , что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

F (x) f (x) f (a) f (b) f (a) ( (x) (a)).(b) (a)

Вспомогательная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поскольку непрерывна на отрезке a,b и дифференци-

руема на интервале a,b , на концах отрезка принимает одинаковые значения F a F b 0 .

По теореме Ролля существует такая точка c a,b , что

58

существует предел

Если производные f x и x удовлетворяют тем же условиям, что и функции и x , теорему можно применить еще раз:

и т.д. Теорема справедлива и в том случае, когда x . Действи-

тельно, положив x 1z , получим

59