2398

9.Дайте три определения непрерывности функции в точке.

10.Перечислите типы точек разрыва функции и опишите каждый из них.

11.Каковы основные теоремы о непрерывных в точке функци-

ях?

12.Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрез-

ке.

13.Какова геометрическая интерпретация теоремы о нуле непрерывной функции?

3.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1. Дифференцируемость функции

Пусть имеется функция y f x , определенная и непрерывная в точке a и ее окрестности. Тогда некоторому приращению ар-

бесконечно малая величина более высокого порядка малости по

сравнению с приращением аргумента x , т.е. lim x 0 . Глав-

x a x

ная линейная по x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df a . Диф-

ференциалом независимой переменной величины x является ее приращение x , т.е. условно полагается , что dx x .

Величина A , определенная как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при x a ( x 0 ) играет

30

очень важную роль, называется производной функции y f x по

следующим образом: dy = y dx . Операцию нахождения производ-

ной называют дифференцированием.

Легко выяснить геометрический смысл производной и дифференциала функции. Введем сначала общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1

(рис. 12).

Рис. 12

Прямую MM1 , проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка M1 двигаясь вдоль кривой L , неограниченно при-

ближается к точке M . Тогда секущая, поворачиваясь около точки M , стремиться к некоторому предельному положению .

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение секущей MM1 , проходящей через точку М,

когда вторая точка пересечения M1 неограниченно приближается по кривой к точке M . Касательная к графику функции образует угол с осью Ох. Секущая MM1 образует с осью Ox угол .

Угловой коэффициент секущей kсек = tg = yx . При приближении

точки M1 к точке M секущая, поворачиваясь около точки M , переходит в касательную. Угол наклона секущей стремится к углу

наклона касательной , т.е. lim . Поэтому угловой коэффи-

x a

31

циент касательной равен производной от ординаты y по абсциссе x

ференциала dy , представляющего приращение ординаты касатель-

ной при переходе от точки a к точке a x .

Для выяснения физического смысла производной рассмотрим движение материальной точки по оси Oy . Координата материальной точки y является дифференцируемой функцией времени t . В

момент времени t0 материальная точка имеет координату y t0 . В

ординаты материальной точки к приращению времени и есть с одной стороны производная координаты по времени, а с другой стороны - мгновенная скорость материальной точки.

Связь непрерывности и дифференцируемости функции устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Если функция y f x дифференцируема в некоторой точке x0 , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Из того, что функция непрерывна в точке, не следует, что она дифференцируема, т.е. непрерывная функция может не иметь производную в этой точке.

Пример 3.1. Функция f(x) определена на промежутке 0, следующим образом (рис.13):

32

y

y 2x 1

y x

3.2. Правила дифференцирования

Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0, т.е. если y c , где c const, то y 0 .

Теорема 2. Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е.

u x v x u x v x .

Доказательство. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

33

Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на пер-

вую, т.е.

u x v x u x v x u x v x .

cu x c u x cu x . Поскольку производная постоянной вели-

чины равна нулю c 0 , то получаем cu x cu x .

Теорема 5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е.

34

тоже является бесконечно малой величиной. Используя второй за-

36

Таким образом, производная показательной функции равна

a x == a x ln a .

При a = e имеем:

e x e x .

3. Тригонометрические функции y sin x, y cos x, y tgx, y ctgx .

Для функции y sin x имеем:

37

3.4. Обратные функции. Производная обратной функции

Пусть задана функция y f x с областью определения D и множеством значений E . Если каждому значению y E ставится в соответствие единственное значение x D , то определена функция x y с областью определения E и областью значений D , называемая обратной по отношению к функции y f x . Про функции y f x и x y говорят, что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение y f x относительно x , то по исходной функции можно найти обратную функцию. Например, для функции

38

y 3x обратной функцией будет функция x 31y . Однако, если,

как обычно, независимую переменную обозначить через x , а зависимую переменную через y , то функция, обратная функции

y f x , запишется в виде y x . В последнем примере для функции y 3x обратной будет функция y 31x .

Для существования взаимно однозначного соответствия между множествами E и D необходима монотонность функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обрат-

ных функций y f x и x y совпадают, то графики функций y f x и y x симметричны относительно биссектрисы угла первой четверти.

Теорема. Если функция y f x строго монотонна на промежутке a,b и имеет неравную нулю производную f x в любой точке этого промежутка, то обратная ей функция x y также имеет производную y в соответствующей точке, определяемую

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.

Используем теорему о дифференцировании обратной функции для нахождения производной логарифмической функции y loga x .

39