2339

3. Решение, полученное в статическом режиме, используется в качестве начального условия при расчете переходных процессов.

Недостатки метода установления:

1.Достаточно большое время расчета до выхода на статический режим.

2.Сложно рассчитывать момент окончания переходного процесса.

Методы оптимизации

Рассматривается система конечных нелинейных уравнений F(X)=0. Для решения системы формируется задача оптимизации, например,

m

( X ) fi 2 ( X ) min,

или

m

( X ) fi ( X ) min ,

или

которая решается одним из методов оптимизации. Обычно методы оптимизации оказываются менее эффективными, чем метод Ньютона. Кроме того, если равновесное состояние схемы не однозначно, то задача оптимизации имеет несколько локальных решений, что накладывает определенные требования на выбор метода оптимизации.

ЗАДАНИЕ: Самостоятельно разобрать тему "Уравнения статического режима в базисе узловых потенциалов".

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Переходные процессы характеризуют динамику параметров электрической схемы, в соответствии с этим в модели обязательно присутствуют дифференциальные уравнения. В модель могут, помимо дифференциальных уравнений, входить и конечные уравнения. Модель схемы может быть представлена в явном или неявном виде.

Явное представление (в левой части уравнения явно записана производная) модели обычно записываются в виде двух подсистем уравнений (ОДУ и конечных)

X - вектор переменных состояния, X = (UC,iL)T реактивных элементов; V - вектор постоянных и времязависимых источников E, I;

W - вектор переменных (u,i) линейных и нелинейных резистивных элементов.

Подсистема (1), разрешенная относительно производных, называется нормальной системой ОДУ.

Здесь независимыми переменными могут быть только напряжение на емкостях UC и токи индуктивности iL. Существует методика получения нормальной формы ОДУ, состоящая из двух этапов.

Рассмотрим модель электрической цепи, представленную топологическими и компонентными уравнениями. Пусть компонентные уравнения реактивных элементов являются дифференциальные уравнениями

1 этап.

По законам Кирхгофа iC и UL выражаются через токи и напряжения других ветвей, т.е.

iC f1(iR ,iE ,iL ,...),

UL f2 (UR ,UI ,UC ,...).

2 этап.

Вместо iC и UL подставляются в уравнения равновесия соответствующие дифференциальные зависимости

то есть

Т.о. получилась нормальная система ОДУ. Важно не ошибиться на 1 этапе. Для удобства строится топологический граф схемы. На графе каждой ветви задается произвольное направление. Дальше строится нормальное дерево графа. Построение состоит в последовательном включении в дерево всех независимых и зависимых источников напряжения E, U(i), затем емкости C, затем сопротивления R, затем индуктивности L.

После того как нормальное дерево построено, составляется топологическая система всех контурных уравнений и уравнений сечений. Дальше на основе законов Кирхгофа строятся уравнения сохранения. На дереве это выглядит следующим образом: выделяется подсистема контурных уравнений, образованных индуктивными хордами, и уравнений сечений, образованных емкостными ветвями.

(Хорды - ребра графа, не вошедшие в дерево) (Ветви - ребра графа, вошедшие в дерево)

На втором этапе окончательно выписывается нормальная система ОДУ. Пример

Топологические уравнения: iE iR 0

iC iL iR 0

E UR UC 0 U L UC 0

Выделяем уравнения с iC и UL: iC iR iL

UL UC

Компонентные уравнения:

Т.о получена довольно простая нормальная система ОДУ

Для исследования переходных процессов рассматривалась нормальная система

UC, iL - реактивные переменные; E, I - источники.

Эта система является частью модели, описывающей электрические процессы в схемах. Простые схемы, не содержащие контуры из емкостей или звезды из индуктивностей, и состоящие из n реактивных элементов с независимыми начальными запасами энергии, описываются нормальной системой ОДУ с n линейно-независимыми уравнениями. Если в схеме есть контур из емкостей, то напряжение и заряд на одной из емкостей уже зависит от напряжения и заряда на других емкостях этого контура. Эта зависимая емкость уже не может быть использована для получения дифференциального уравнения.

Для выражения тока на этой емкости дополнительно решаются уравнения. Аналогичная ситуация наблюдается и для звезд.

Индуктивные звезды и емкостные контуры называются топологическими вырождениями.

Если в схеме присутствует nC емкостных контуров и nL звезд индуктивности, то порядок нормальной системы ОДУ будет равен

n - nC - nL,

где n - общее число реактивных элементов.

Иногда, чтобы сохранить простоту формирования нормальной ОДУ, в схему включают дополнительные элементы:

в контур - небольшое сопротивление R ;

параллельно одной из индуктивностей звезды - малую проводимость G.

Вэтом случае емкостное напряжение в контуре становится независимым,

взвезде все iL также становятся независимыми. Следует иметь в виду, что включение малых R и G приводит к вычислительным трудностям в дальнейшем. Подобный способ составления модели называется методом переменных состояний.

После составления нормальной системы в ОДУ приступают к решению системы:

Численное решение заключается в поочередном вычислении (0.1) и (0.2), т.е. систем ОДУ и конечных уравнений. Сначала из расчета статического режима берутся начальные приближения (uC0,iL0)=X0 и W0.

X0 и W0 подставляются в уравнение (0.1), которое решается любым численным методом. По решению (0.1) получаются X1 = (uC1,iL1). X1 подставляется в (0.2), причем X1 считается постоянным. Из (0.2) находится W1 = W(t1) - вектор токов и напряжений резистивных элементов.

W1, X1 подставляются в (0.1) и т.д.

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОДУ

Если рассматривать для простоты одно дифференциальное уравнение, а не систему

dx(t)

dt

f (x(t),t)

с начальными условиями

x(t0 ) x0 , t0 t tk то задача формулируется как задача Коши: ищется

x(t), удовлетворяющее дифференциальному уравнению и начальному условию. Любой численный метод дает таблицу значений x(t) в точках t1, t2,..., tn, которые называются узлами. Эти значения приближенно равны x(t1), x(t2),..., x(tn) искомого решения x(t). t = ti+1-ti = h - называется шагом интегрирования, шаг может быть постоянным или переменным, т.е. определяться в процессе

x(t)dt fi (xn 1, xn ,..., xn k )

a

Подставив конечные разности в исходную систему, получим систему алгебраических уравнений, которую можно решать любым из численных методов.

Fi (xn 1, xn ,..., xn k ) 0, i 1,..., m (a)

Метод замены производных и интегралов конечно-разностными формулами называется дискретизацией компонентных уравнений емкости и индуктивности. Переход к системе алгебраических уравнений из неявной формы называется алгебраизацией.

Решение системы (а) можно проводить, например, методом Ньютона

Xn 1 Xn (F') 1 F .

После нахождения Xn+1 полагаем Xn=Xn+1, Xn-1=Xn и т.д. Дальше опять вычисляется Xn+1 до тех пор, пока не пройдена вся временная ось t.

Особенности неявной формы модели

1. Отсутствует в явном виде один из методов численного решения ОДУ. Его можно увидеть, если записать конкретные формулы дискретизации, например,

Следует иметь в виду, что каждый реактивный элемент может быть описан своей формулой дискретизации, поэтому при численных расчетах будут реализованы разные методы численного интегрирования.

2. Дискретизация определяет, явный или неявный метод численного решения ОДУ используется при расчетах.

Есть 2 способа дискретизации:

1)дифференцирование назад и интегрирование замкнутого типа;

2)дифференцирование вперед и интегрирование открытого и полуоткрытого типа.

1 способ:

Потом составляются соответствующие схемы замещения, например, для C/ t и для t/L, которые играют роль фиктивных резисторов.

В общем виде

Дальше эта система решается методом Ньютона. Причем напряжения uC,n+1, uL,n+1 заменяются через разности потенциалов, а uC,n,...,uC,n-k и uL,n,...,uL,n-k считаются известными из начальных условий или предыдущих расчетов.

Метод Ньютона запишется в виде

Таким образом, получается, что расчет переходных процессов и статических режимов в базисе узловых потенциалов одинаков. Формирование статических и динамических моделей в базисе узловых потенциалов одно и то же, что является большим достоинством использования базиса узловых потенциалов.

Моделирование частотных характеристик

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Принято выделять три способа моделирования АЧХ на компьютере:

1)символьный;

2)численно-символьный;

3)численный.

1)Символьный: ai и bi вычисляются в виде формул. Здесь затраты машинного времени очень велики.