2258

чего

вектор

d может

быть

представлен в

виде линейной

комбинации векторов a ,

b ,

c , т.е. для любого d

найдутся такие

вещественные числа , , , что справедливо равенство:

d

a b

c ,

(4.2)

, , называются координатами вектора

где

d относительно

базиса a ,

b ,

c .

c

a

b

(4.3)

Каждый вектор d

может

быть

единственным способом

Теорема.

При

сложении

двух векторов

d 1

и d 2 их

координаты относительно любого базиса a ,

b ,

c

складываются.

на любое число все его координаты

При умножении вектора d

умножаются на это число.

Если d1 1 a

1 b 1 c 1 , 1 , 1 , а d2

{ 2 , 2 , 2 },

то d 1+ d 2 1

2 , 1 2 , 1 2 , а d 1 1 , 1 , 1 .

4.5. Проекция вектора на ось и ее свойства

Проекцией

вектора

называется

величина

a AB на ось

направленного отрезка A1 B1

оси u, обозначаемая как при а .

B

A

A1

B1

и

Рис. 6

Угол наклона вектора

между

a AB к оси u – это угол

вектором AB и осью u.

Теорема 1. Проекция вектора a на ось u равна длине вектора

a , умноженной на косинус угла

наклона вектора a к оси u.

cos .

при а

а

31

(ортов) i ,

j ,

k .

Для

произвольного вектора

d найдется

единственная

тройка

чисел x, y, z такая,

что будет

справедливо

равенство:

d

xi

y j z k ,

(4.4)

i

{1,0,0} ,

j {0,1,0} , k

{0,0,1} ,

{x, y, z}.

x, y, z – декартовы прямоугольные координаты d , d

32

z

D

C

y

d

B

j

k

O

x

A

i

Рис. 8

Обозначим ,

-

углы наклона вектора d

к осям Ox, Oy,

Oz. Числа cos ,

cos ,

cos

принято называть направляющими

косинусами вектора d .

Из теоремы 2 и теоремы 3 вытекает, что

x | d | cos

;

y | d | cos ;

z

| d | cos .

(4.5)

Учитывая,

что

d

- диагональ

прямоугольного

x2 y2 z2

| d |

(4.6)

x

cos

;

x2 y2

z2

y

(4.7)

cos

;

x2 y2

z2

z

cos

.

x2 y2

z2

33

cos2 cos2 cos2

1.

Пример 4.1. Образуют ли векторы a, b, c базис в трехмерном

8; 5;13 по базису векторов

пространстве ? Разложить вектор d

a

2;1;3 ,b

3;5; 1 , c 1;1;2 .

2

1

3

3 5 1

2 11 1 5 3 8 41 0 ,

1

1

2

следовательно

векторы

некомпланарны

и

образуют

базис в

пространстве.

Тогда

, ,

координаты

d

a

b c ,где

вектора

базисе

векторов

d в

a, b, c . Найдем эти координаты,

составив и решив систему уравнений

2 3 8

5 5 .

3 2 13

Решая ее методом Гаусса, имеем

2 3

1

8

1 5 1

5

1

5

1

5

3 1

8

7

3

1 5 1

5

~

2

~

0

2

~

3

1 2

13

3

1 2

13

0

16

1

28

1 1

5

5

1 1

5

5

1 1

5

5

3

7

0 1

1

16

0

2

~

16

28

~

0

28

0

28

7

2

0 0 41

1

16

0 3

82

5 5

Отсюда

16 28 .

41 82

34

2

Тогда

4 .

1

Таким образом, d

a

2b

4c .

4.7. Формулы деления отрезка в данном отношении

Рассмотрим

в

пространстве две

точки

M1 , M 2 и

направленный отрезок M1M 2 , соединяющий эти точки.

Z

M M2

M1

M2x

Y

Mx

M1

X1

Рис. 9

Пусть

точка

M

делит

отрезок

M1 M 2

в отношении

Обозначим проекции точек M1, M , M 2

на координатную ось

Оx как x , x,

x

. Тогда

x x1

, или

x

x1 x2

.

2

1

x2

x

1

По аналогии имеем

y

y1 y2

;

z

z1

z2

.

1

1

Общеизвестный случай координат точки, делящей отрезок

пополам, получается при =1:

x

x1 x2

;

y

y1 y2

;

z

z1

z2

.

(4.8)

2

2

2

35

обозначаемое как a b

или ( a, b ) , и равное произведению длин

( a, b ) | a |

| b | cos ,

(4.9)

где

- угол между a

и b .

Физический смысл – скалярное произведениеэто работа

вектора силы a вдоль вектора перемещения b .

Произведение | b | cos

прa b - есть проекция вектора b на

ось,

определяемую

вектором

a .

Таким образом,

скалярное

первым из указанных векторов.

(4.10)

a,b

a

пр b

b

пр a

a

b

,

| a |2

( a, a ) .

(4.11)

Свойства скалярного произведения

1. ( a, b ) ( b, a )

(Коммутативность

скалярного

произведения).

2.

( a, b ) ( a, b ) (сочетательное

свойство

относительно

числового множителя).

3.

( a

b , c) ( a, c ) ( b, c )

(распределительное

свойство относительно суммы векторов).

При координатном представлении векторов a ax , ay , az ,

bx , by ,bz скалярное произведение этих векторов равно сумме

b

произведений их соответствующих координат, то есть

ay by

az bz ,

(a

b) ax bx

(4.12)

6. Условие равенства нулю скалярного произведения.

Теорема. Необходимым

и

достаточным

условием

скалярного произведения.

ay by

az bz

(a

b) ax bx

0 .

2

ay

2

az

2

2

(a

a) ax

a

.

Угол между векторами определяется формулой

cos

x1x2

y1 y2 z1z2

.

(4.13)

x 2

y 2 z 2

x

2

y

2 z

2

2

1

1

1

2

2

Пример 4.2. Какому условию должны удовлетворять векторы

a и b , чтобы вектор a

b был перпендикулярен вектору a b ?

0 . Пользуясь

Решение. Если a

b a

b , то a

b , a b

свойствами

скалярного

произведения,

получим

2

2

0 ,

a

b

, a

b

a, a

a,b

b, a

b,b

a

b

откуда

.

a

b

Пример 4.3. Дан треугольник с вершинами

A (-3,5,6),

B (1,-

5,7), C (8,-3,-1). Найти косинус внутреннего угла при вершине A .

Решение.

Внутренний

угол треугольника

при вершине A

Найдя

координаты

указанных

векторов:

AB 4, 10,1 ,

AC 11, 8, 7 , по формуле (4.14) вычисляем косинус угла А:

cos cos(AB; AC)

4 11 ( 10)( 8) 1( 7)

1

42 ( 10)2

12

112 ( 8)2 ( 7)2

2 .

Пример

4.4.

Даны

три

вектора

a i

2 j 2k ,

b

2i j

2k ,

c

10i

4 j

2k . Найти пр (b c) .

a

Решение. Определим вектор:

b

c (2i

j

2k )

(10i

4 j

2k ) 12i

5 j

;

В соответствии с формулой находим:

1 12 ( 2)5 2 0

2

a(b c)

пр

(b

c)

.

a

12 ( 2)2 22

| a |

3

4.9. Векторное произведение векторов

Векторным

произведением

вектора

a

на

вектор

b

называется

вектор

c , обозначаемый

символом

c

[ a

b ]

и

удовлетворяющий трем требованиям:

1)

длина

вектора

c

равна

произведению

длин

векторов

a

и b на синус угла между ними, то есть

| c |

| [ a

b ] | | a | | b | sin

;

(4.14)

2)

вектор c

ортогонален к каждому из векторов a

и b ;

из которой в точку M идет вектор a .

Свойства векторного произведения

1.

[ a

b ] [

b

a ] (свойство антикоммутативности).

2.

[ ( a) b ]

[ a

b ]

(сочетательное (ассоциативное)

свойство).

3.

[ ( a b ) c ] [

a

c

] [ b

c ] (распределительное

5. [ a

a ] 0

для

любого вектора

a ,

так как вектор

a

коллинеарен сам себе.

6. Длина (или модуль) векторного

произведения [ a

b ]

равняется

площади

S

параллелограмма,

построенного

на

приведенных к общему началу векторах a и

b .

{ x1 , y1 , z1} и

{ x2 , y2 , z2 }

Для двух векторов a

b

[ a

b ] {( y1z2

y2 z1 ),(z1x2

z2 x1 ),(x1 y2

x2 y1 )}

(4.15)