2221

trigexpand (тригонометрическое раскрытие скобок) - использует формулы преобразования сумм двух углов для представления введенного выражения в как можно более простом виде – где в качестве аргумента только одна переменная

trigreduce (приведение тригонометрическое) - преобразует тригонометрическое выражение к сумме элементов, каждый из которых содержит только sin или cos

Графическое отображение данных

В Maxima имеется несколько альтернативных библиотек для отображения графиков функций, наборов точек, трехмерных тел, градиентов и т.д. Рассмотрим несколько примеров построения графиков. По умолчанию используется библиотека Plot, которая и будет рассмотрена ниже.

Двумерный график. На графике показаны три зависимости. График построен с использованием функции plot2d. Первый аргумент – список функций, второй и третий – ограничения по осям координат. Третий аргумент является необязательным. Если его не указать – он будет подобран автоматически.

61

Построение графика по точкам. Зададим координаты как два массива значений (в первом координаты х точек, во втором – координаты у) и вызовем функцию построения графика:

Решение дифференциальных уравнений

Функция diff позволяет найти производные, как первого, так и более высоких порядков. При наличии у функции нескольких переменных можно найти частную производную по одной из них.

Синтаксис: diff(функция, переменная, порядок производной);

Пример: найти первую производную функции y(x)=ex/x2 Сначала введем функцию: y(x):=exp(x)/x^2; (обратите

внимание, что в отличие от присвоения значения переменной, здесь используется комбинация

символов ":=" (двоеточие и равно)), а затем найдем ее производную по переменной х.

Для этого введем команду: diff(y(x),x,1); или diff(y(x),x);. В

случае первой производной ее порядок можно не указывать.

62

Maxima аналитически решает следующие виды дифференциальных уравнений

первого порядка: с разделяющимися переменными, линейные, нелинейные уравнения, однородные, неоднородные;

второго порядка: с постоянными коэффициентами, линейные однородные с непостоянными коэффициентами, которые могут быть преобразованы к уравнению с постоянным коэффициентам, уравнение Эйлера, уравнения, разрешимые методом вариации постоянных, и уравнения, которые допускают понижение порядка.

Суравнениями первого и второго порядков легко расправляется функция ode2. Особенностью данной функции является возможность решения практически любых уравнений, но не выше второго порядка.

Синтаксис: ode2(уравнение, функция, переменная).

Функцией обычно является у, а переменной - х.

Помимо решения дифференциального уравнения в общем виде, можно решать уравнения с начальными условиями (краевая задача). Для этого необходимо решить уравнение в общем виде при помощи функции ode2, а затем воспользоваться одной из функций поиска начальных условий:

63

ic1(решение, точка х, значение у в точке х) – для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальным условием;

ic2(решение, точка х, значение у в точке х, значение y' в

точке х) – для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальным условием;

bc2(решение, точка х1, значение у в точке х1, точка х2,

значение у в точке х2) – для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальными условиями в виде двух точек;

3.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Ввод формул и текста, решение простейших выражений.

Вычислим следующее выражение, при х=12, y=3, y1 = 1:

Для этого необходимо сначала описать переменные.

64

Введём решаемое выражение в строчной форме и получим ответ.

Для вывода ответа в численной форме, необходимо после выражения, через запятую, написать слово «numer».

Таким же образом, через запятую, можно указывать значения переменных для выражения:

2. Решение уравнений

Необходимо вычислить корни следующего уравнения: x3 12 x2 47 x 60 0

Решение уравнения с помощью функции solve( ).

3. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Пусть необходимо решить следующую систему:

Вводим матрицу значений А и матрицу результатов B.

65

В этом случае, решением системы уравнений будет запись:

Ответом решения систему будут значения: x = 1, y = 0, z = 2.

4. Решение систем нелинейных уравнений

Пусть необходимо решить следующую систему:

Решение системы уравнений с помощью функции solve:

5. Построение графиков функций

Построим графики функций y sin(x);y x2.

Для размещения двух и более кривых на одном графике, функции задаются как матрица (в квадратных скобках, через запятую).

Результат выполнения:

Постройте график функции по точкам:

67

6. Решение дифференциальных уравнений

Задание: Необходимо решить переходный процесс в электрической цепи постоянного тока (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Схема электрической цепи

Составим уравнение цепи в дифференциальной форме:

di E1 R1 i L1 dt

Для решения дифференциальных уравнений, будем использовать функцию ode2. Вычислим графики тока в цепи, при включении ключа К1.

Решением задачи стало уравнение тока в символьной форме:

i(t) e 8 t 25 e8 t 25 2

68

На графике будет представлен график полученной функции

7. Символьные вычисления

Задано выражение:

необходимо упростить выражение:

преобразовать в простые дроби по переменной х:

разложить на множители

Найти интеграл в символьном виде из выражения:

решение:

69

Найти производную в символьном виде:

решение:

4.ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТРЕНИРОВКИ

1)Решите системы уравнений:

2)Символьные вычисления.

Упростить выражения:

Определить интеграл и производную в символьном виде:

3) Постройте график функции и график её производной на одном графике.

70