Определения устранимой особой точки аналитической функции и их эквивалент­ность.

Для n>0  c_-n=0; Q(z)=0; f(z)c₀ при z z₀-  устранимая особая точка. z₀ - правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z ₀ , то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z ₀)=c₀ . В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z ₀|< (z₀) : | f(z)|<M и f(z)=(z-z ₀)^m (z), m 0- целое, (z₀) 0; и если f(z)=0, то z ₀ - нуль m- того порядка. Теорема Если f(z) C(0<|z-z₀|< (z₀ )) и |f(z)|<M при 0<|z-с|< (z₀ ), то z ₀ - устранимая особая точка. Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c_n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z ₀ и радиуса : | -z₀|= . Тогда , сделав замену -z₀= e^{i },  d =i e^{i }d и учтя, что |e ^{in }|=1, получим оценку: |c _-n|< M ^n-1 0 при 0. Т.к. значения c _-n не зависят от , то c _-n=0. 

Определения полюса аналитической функции и их эквивалентность. Порядок полюса.

Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями; Q(z)= ;  c_-m0. f(z) при z z₀-  п олюс порядка m, f(z)= ; (z₀)0 Теорема    Если f(z)C(0<|z-z₀|< (z₀)), z₀ - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>при z z₀ (независимо от способа стремления z к z ₀ ), то z ₀ - полюс f(z). Доказательство. |f(z)|=> при z z₀ => для A>0 : 0<|z-z₀|< , |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z) C(0<|z-z₀|< ); |g(z)|<1/A=M => z₀ - устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) ; => g(z)=(z-z₀)^m (z), m0 , (z₀) 0 => f(z)= ; (z₀)0

Определение существенно особой точки аналитической функции. Вид ряда Ло­рана аналитической функции в окрестности се существенно особой точки.

Точка z ₀ называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z ₀ содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z ₀ ). (Бесконечное число коэффициентов c_-n 0). Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для комплексного числа B и >0, в - окрестности существенно особой точки z ₀ 0<|z-z₀|< z₁: |f(z₁)-B|< . Доказательство . (От противного)  Пусть такие ₀ и ₀: для z  0<|z-z₀|< ₀; |f(z)-B|> ₀. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/ ₀=M. => z₀ - устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1); => g(z)=(z-z₀)^m (z), m0 , (z₀) 0 => f(z)=B+ ; (z₀)0 => z₀- полюс f(z) m0, или правильная точка при m=0. Получили противоречие.  Замечание 1. { _n}0 =>{z⁽ⁿ⁾₁}z₀. {f(z⁽ⁿ⁾₁)}B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z⁽ⁿ⁾₁}z₀ такую, что {f(z⁽ⁿ⁾₁)} сходится к наперед заданному числу.

Поведение аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Вычет аналитической функции в ее изолированной особой точке, в том числе в бесконечно удаленной точке. Формула для нахождения вычета в полюсе.

Пусть z0 - изолированная особая точка аналитической f(z). f(z)=cn(z-z0)n; 0<|z-z0|< r, cn=. Определение . Комплексное число Выч[f(z),z0]=, где С + - замкнутый контур, который можно стянуть к z 0 , оставаясь в кольце аналитичности функции f(z)- называется вычетом f(z) в точке z 0. Очевидно Выч [f(z),z0]=c-1.

Формулы вычисления Выч [f(z),z₀] в полюсе. a)    z₀- устранимая особая точка . Выч [f(z),z₀]=0. b)    z₀ - полюс порядка m>0 . f(z)=c_-m/(z-z₀)^m+...+ c_-1/z-z₀+c₀+... => => (z-z₀)^mf(z)= c_-m+...+ c_-1(z-z₀)^m-1+...=> Выч [f(z),z₀]=c_-1= . Частный случай m=1. Выч [f(z),z₀]=c_-1= . Если f(z)= (z)/ (z), (z₀)0, (z)=(z-z₀) '(z₀)+...; '(z₀)0. Тогда Выч [f(z),z₀]=c_-1= (z₀)/ '(z₀). c)     z₀- существенно особая: Выч [f(z),z₀]= c_-1= Вычет f(z) в z Вычет f(z) в z. Выч [f(z),z]=-=-c_-1. Если z- устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от 0.