Доказать необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать критерий Коши сходимости числового ряда. Доказать расходимость гармонического ряда.

  Теорема: Пусть числовой ряд u₁+u₂+...+u_n+... , (1) сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю Доказательство. Из условия теоремы имеем . Так как S_n - S_n-1 = u_n то

Определение. Говорят, что последовательность {x_n} удовлетворяет условию Коши, если для любого числа ε >0 существует такой номер N, зависящий от ε, что для всех номеров m и n таких, что n≥N, m≥N, справедливо неравенство < ε (*).

Условие (*) можно сформулировать иначе: для любого числа ε >0 существует такой номер N, зависящий от ε, что для всех номеров n _≥ N и всех натуральных p выполняется условие:.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {x_n} сходится и .

Зададим ε >0, тогда существует такой номер N, что для всех номеров n_≥N выполняется неравенство . Пусть n_≥N и m_≥N, тогда

, то есть выполняется условие Коши.

Достаточность. Пусть { x_n } удовлетворяет условию Коши, то есть для любого ε >0 существует номер N, что для n_≥N и m_≥N выполняется неравенство . Пусть ε =1, тогда существует номер N₁такой, что при n_≥N₁и m_≥N₁выполняется . В частности, если n_≥N₁и m=N₁, то , то есть  при n_≥N₁. Это значит, что последовательность { x_n }, n=N₁, N₁+1,…ограничена. Поэтому в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует ее сходящаяся подпоследовательность {}.

Пусть . Зададим ε >0. Тогда существует такой номер K _ε,что для всех номеров K _≥ Kили, что то же самое, для всех n_k ≥nвыполняется неравенство  

Обозначим через =max{N,n} и зафиксируем некоторое n_k ≥. Тогда для всех n_≥N имеем , что и означает, что

n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Доказать свойства рядов (теорема об остатке ряда, почленное сложение и вычи­тание рядов, умножение ряда на число).

 Доказать признак сравнения сходимости и расходимости знакоположительных числовых рядов и следствия из него.

Теорема . (Признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

(7)

(8)

причём u_n≤v_n при любых n=1,2,… . Тогда:

1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

 Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через S_n и s_n соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0< u_n≤v_n, поэтому S_n<s_n<s при всех n=1,2,… , то есть последовательность {S_n} ограничена, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть теперь ряд (7) расходится, то есть =∞. Тогда из неравенства S_n<s_n следует, что и =∞, следовательно, ряд (8) расходится. Теорема доказана.

Следствие: