Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка суммы и остатка ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.

Теорема (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…, то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство.

Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S₂_n=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u₂_n_-1-u₂_n).

По условию u₁>u₂>…>u₂_n_-1>u₂_n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S₂_n возрастает с возрастанием n и S₂_n>0 при любом n.

С другой стороны S₂_n=u₁-[(u₂-u₃)+(u₄-u₅)+…+(u₂_n_-2-u₂_n_-1)+u₂_n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S₂_n>0, поэтому S₂_n<u₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S₂_n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S₂_n=S. При этом 0<S≤u₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S₂_n₊₁=S₂_n+u₂_n₊₁. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞:S₂_n₊₁=S₂_n+u₂_n₊₁=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому S_n=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов. Доказать теорему о сходимости знакопеременного ряда, ряд из модулей членов которого сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Теорема Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости

Пусть

u₁+u₂+…+u_n+…=(20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

│u₁│+│ u₂│+…+│ u_n │+…=│ u_n │. (21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

(u₁+│u₁│)+(u₂+│u₂│)+…+(u_n+│u_n│)+…= (u_n+│u_n│). (22)

Очевидно, 0≤ u_n+│u_n│≤2│u_n│ при всех n=1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│u_n│, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.