Доказать признак Даламбера сходимости и расходимости знакоположительных числовых рядов.

Теорема Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

(7) и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условиеили

p-E< (10)

Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем … или

или (11)

Рассмотрим ряды

(12)

. (13)

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или u_n+1>u_n, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому u_n¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

 

Доказать признак Коши (с радикалом) сходимости и расходимости знакополо-жительных числовых рядов. .

Признак Коши. Если начиная с некоторого   N ≤L<1 для n ≥ N, то ряд |a_k| сходится. Если начиная с некоторого N ≥ 1 для n≥N, то ряд a_k расходится. Признак Коши в предельной форме. Если =L, то при L<1 ряд |a_k| сходится,при L>1 рядa_k   расходится,при L=1 ничего сказать нельзя. Доказательство.  Если L<1, то L<1-2 =>L+ <1-. Т.к. =L, то N: L- <<L+ <1- =q<1, n ≥ N, q<1=>|a_n|<qⁿ, т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1. Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1.

Доказать интегральный признак Коши сходимости и расходимости числовых знакоположительных рядов. Ряды Дирихле.

Теорема . (Интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… (7) не возрастают: u₁³u₂≥…≥u_n≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u₁, f(2)= u₂ ,…, f(n)= =u_n,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u₁,u₂,…,u_n-1, а также с высотами u₂,u₃,…,u_n.

S_n=u₁+u₂+…+u_n-1+u_n, S_впис=u₂^.1+u₃^.1+…+u_n^.1=u₂+u₃+…+u_n=S_n-u₁,

S_опис=u₁+u₂+…+ +u_n-1=S_n-u_n.

Площадь криволинейной трапеции S=. Получаем S_n-u₁<< S_n-u_n. Отсюда S_n<u₁+(17)

и S_n>u_n+(18)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n<u₁+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.

Дирихле ряды, функциональные ряды вида

  (здесь an — коэффициенты Д. р., a s = s + it — комплексное переменное).Например, ряд  

представляет для s > 1 дзета-функцию. Теория Д. р. возникла первоначально под большим влиянием аналитической теории чисел. Впоследствии она развилась в обширную главу теории аналитических функций.

Где ζ(s) — дзета-функция Римана.