2779.Физика для бакалавра Ч. 1 учебное пособие

Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) называется внутренним.

Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки, например смазки между ними, называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким. Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям (или слоям), причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев).

В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но и при попытках вызвать такое скольжение. В этом случае она называется силой трения покоя. Она равна параллельной составляющей си-

лы тяги, т.е.: Fтр.покоя = F тяги.

Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными по модулю силе нормального давления Fn, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

(эта формула связывает лишь модули сил, поскольку их векторы неколлинеарны). Безразмерный коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом трения (соответственно, покоя или скольжения).

Сухое трение обычно обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей. Главной причиной трения гладких поверхностей становятся силы сцепления между молекулами

51

трущихся поверхностей. Замечательная особенность силы трения скольжения состоит в том, что она слабо зависит от относительной скорости трущихся тел.

Сила вязкого трения, напротив, сильно зависит от относительной скорости трущихся слоев жидкости (газа) или скорости v движения тела. При малых скоростях приближенно выполняется закон

здесь α – коэффициент вязкого трения, зависящий от формы тела; знак «–» означает, что направление силы вязкого трения противоположно направлению движения.

Вопросы для самоконтроля

1.В каких случаях нельзя пользоваться законами Ньютона?

2.Сформулируйте первый закон Ньютона.

3.Что такое инерция?

4. Какая система отсчета называется: а) инерциальной; б) неинерциальной?

5.Как формулируется принцип относительности Галилея?

6.Какие динамические характеристики описывают поступательное движение?

7.Дайте определение силы.

8.Какие виды сил в механике Вы знаете?

9.Какая сила называется упругой? Чему она равна? Каковы

еесвойства?

10.Что такое сила тяготения? Чему она равна? Каковы ее свойства?

11.Какая сила называется силой трения? Чему она равна? Каковы ее свойства?

12.Какую величину называют импульсом силы?

13.Что такое масса? Какими свойствами она обладает?

14.Всегда ли масса постоянна в процессе движения тела?

15.Какая величина называется импульсом тела?

52

16.Как найти изменение импульса, если тело движется по

кривой?

17.Сформулируйте второй закон Ньютона в самой общей форме и запишите его математически.

18.Сформулируйте и запишите математически второй закон Ньютона для частного случая движения тела постоянной массы (m = const).

19.В чем заключается принцип суперпозиции для сил?

20.Сформулируйте третий закон Ньютона. В чем суть этого закона?

21.Как зависит характер поступательного движения тела от вида действующей силы? Приведите примеры.

22.Какая система тел называется замкнутой (изолированной), незамкнутой?

23.Какие силы называются внешними, внутренними?

24.Сформулируйте и запишите математически закон сохранения импульса (количества движения): а) для отдельного тела; б) для системы тел.

25.Напишите уравнение движения тела с переменной массой

ипояснитефизическоесодержание входящих внего величин.

26.Что такое «реактивная сила»? От каких величин и как она зависит?

27.Какое движение называется реактивным?

28.От каких величин и как зависит скорость, приобретенная ракетой в процессе движения?

Проверочные тесты

Тест № 1

Выберите из перечисленных ниже систем отсчета те, которые будут инерциальными. Системаотсчетаотносительно Земли…

1)покоится;

2)движется равномерно и прямолинейно;

3)движется равномерно и криволинейно;

53

4)движется прямолинейно с постоянным ускорением;

5)движется прямолинейно с переменным ускорением.

Тест № 2

Груз массой m1 подвешен на упругой пружине с коэффициентом жесткости k. К нему добавили еще один груз массой m2. Найти величину дополнительного растяжения пружины, вы-

Тест № 3

Какие из указанных ниже сил консервативны?

1)сила, работа которой по замкнутому контуру не равна

нулю;

2)сила, работа которой по замкнутому контуру равна нулю;

3)сила, работа которой не зависит от формы пути.

Тест № 4

Тело скользит вдоль наклонной плоскости длиной l из верхней ее точки и в конце плоскости имеет скорость v. Угол наклона плоскости к горизонту равен α. Коэффициент трения тела о плоскость равен k. Масса тела m. Какое из приведенных ниже выражений есть закон сохранения энергии для такого движения?

1)mgl sinα + mglk cosα = 1/2mv2;

2)mgl sinα = mglk cosα + 1/2mv2;

3)mgl sinα = 1/2mv2;

4)mgl sinα + 1/2mv2 = mglk cosα.

54

Тест № 5

Выберите среди нижеприведенных утверждений правильное и являющееся законом сохранения импульса:

1)каждое тело в замкнутой системе тел движется с неизменной по величине и направлению скоростью;

2)результирующий импульс системы тел с течением времени не меняется;

3)результирующий импульс замкнутой системы тел с течением времени не меняется;

4)импульс равнодействующей всех сил, действующих на систему, остается неизменным.

Тест № 6

Выберите из нижеперечисленных признаки и величины, которыми задается сила:

1)абсолютная величина (модуль силы);

2)направление действия силы;

3)точка приложения силы;

4)масса тела, на которое действует сила.

Тест № 7

Два груза массами m1 и m2 соединены нитью и перекинуты через блок. Определите натяжение нити. Массой нити и массой блока пренебречь. Трения в блоке нет.

Тест № 8

Выберите из приведенных ниже сил те, которые являются неконсервативными:

1) сила тяготения; 2) упругая сила; 3) сила трения.

Тест № 9

Тело массой 0,50 кг брошено с высоты 10 м в горизонтальном направлении со скоростью 5,0 м/с. Определите работу силы тяжести при падении тела на землю.

55

1) 60 Дж; 2) 5,0 Дж; 3) 6,2 Дж; 4) 49 Дж; 5) правильного от-

вета среди указанных нет.

Тест № 10

Тело массой m подвешено на упругой пружине с коэффициентом жесткости k. Найдите величину растяжения пружины.

1) mg; 2) kmg; 3) mg/k; 4) km/g; 5) k/mg.

Тест № 11

Как вы считаете, работа равнодействующей силы всегда равна сумме работ составляющих сил?

1)всегда равна;

2)равна, если только силы направлены по одной прямой;

3)равна, если только силы направлены в одну сторону;

4)равна, если только силы взаимно перпендикулярны.

Тест № 12

Тело массой 5,0 кг брошено в горизонтальном направлении со скоростью 6,0 м/с. Определите его кинетическую энергию через 1,0 с после начала движения. Принять g ≈ 10 м/с2.

1) 750 Дж; 2) 730 Дж; 3) 500 Дж; 4) 360 Дж; 5) 340 Дж.

Тест № 13

Пуля массой m, летящая со скоростью v, ударяется в висящий мешок с песком массой М и застревает в нем. Скорость мешка с пулей после удара равна U. Какие из нижеприведенных равенств справедливы для этого случая? Q – количество выделившегося при ударе тепла.

1)mv = MU; 2) mv = (M + m)U; 3) 1/2mv2 = 1/2 (M + m)U2;

4)1/2 mv2 = 1/2MU 2; 5) 1/2mv2 = 1/2 (M + m)U 2 + Q.

56

3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассматриваемые вопросы. Момент импульса матери-

альной точки и механической системы. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса механической системы. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. Момент импульса тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.

3.1. Момент импульса материальной точки и механической системы. Момент силы.

Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса механической системы

Динамическими характеристиками динамики вращательно-

го движения являются: L – момент импульса; M – момент силы; I – момент инерции.

Векторное произведение радиус-вектора r материальной

точки на ее импульс mv называют моментом импульса L этой материальной точки относительно точки О:

Момент импульса L направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы r и mv , и образует с ними

правую тройку векторов (при наблюдении из конца L видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от r и mv, происхо-

дит против часовой стрелки), рис. 3.1, а).

Векторное произведение радиус-вектора r , проведенного в точку приложения силы, на эту силу называют моментом M силы F относительно точки О:

Рис. 3.1

Векторы r , M , F образуют правую тройку (рис. 3.1, б). Численное значение момента силы F

где α – угол между векторами r и F; l = r sin α – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы

F . Величина l называется плечом силы F . Если линия действия силы проходит через точку О, то l = 0 и момент силы относительно точки О равен нулю.

Из (3.1)–(3.3) следует, что быстрота изменения момента импульса i-й материальной точки

Сложим почленно все эти уравнения, записанные для каждой из n материальных точек системы:

Векторную сумму моментов Miвнеш всех внешних сил, приложенных ко всем материальным точкам системы, называют

58

результирующим или главным моментом M внешних сил относительно точки О:

Векторную сумму моментов импульсов Li всех материаль-

ных точек системы называют моментом импульса L системы относительно точки О:

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил Fik взаимодействия между материальными точками системы равна нулю:

Это связано с тем, что по третьему закону Ньютона силы Fik и Fki численно равны, имеют общую линию действия, но

направлены противоположно. Поэтому их моменты M ik и M ki

относительно точки О численно равны и противоположны по направлению.

На основании соотношений (3.6), (3.8) и (3.9) уравнение (3.5) можно записать в следующей форме:

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему. Соотношение (3.10) справедливо, в частности, для твердого тела, закрепленного в точке О. В этом случае оно выражает основной закон динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. Из него следует, что момент им-

пульса L является основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Пусть теперь твердое тело закреплено в двух неподвижных точках О и О1 так, что оно может вращаться вокруг неподвижной оси Оz, проходящей через эти точки. В этом случае состав-

ляющие момента M относительно точки О, направленные вдоль осей Ох и Оy, компенсируются соответствующими моментами сил реакции закрепления в точке О1. Поэтому вращение тела вокруг оси Oz происходит под действием составляющей Mz момента внешних сил относительно точки О. Из (3.10) следует, что уравнение движения тела имеет вид

где Lz и Mz – составляющие векторов момента импульса тела и результирующего момента внешних сил относительно точки О, направленные вдоль неподвижной оси Оz вращения тела и называемые соответственно моментом импульса тела относительно оси Оz и результирующим моментом внешних сил относительно той же оси.

Уравнение (3.11) выражает основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело. Из этого закона следует, что основной динамической характеристикой тела,

60