2779.Физика для бакалавра Ч. 1 учебное пособие

где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r, поскольку энергия волновой поверхности распространяется по все большей площа-

ди (S = 4πr2).

Если фазовая скорость волн зависит от их частоты, то это явление называется дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, − диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:

ласа. Решением уравнения (9.9) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

9.3. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к волнам приме-

151

ним принцип суперпозиции. При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции, любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета, или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dω << ω и dk << k (dω – разница этих частот; dk – разница волновых чисел). Тогда в результате наложения этих волн смещение

ξ = А0 cos(ωt – kx) + A0 cos [(ω + dω)t – (k + dk)x] =

Полученная волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

есть медленно изменяющаяся функциякоординатых и времениt. За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что tdω − xdk =

= const, получим

152

где скорость u называют групповой скоростью. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет.

Рассмотрим связь между групповой (9.11) и фазовой (9.6) скоростями. Учитывая, что λ = 2π / k (см. (9.3)), получим

Из формулы (9.12) вытекает, что u может быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака dvdλ . В недиспергирую-

щей среде dvdλ =0 игрупповая скорость совпадает сфазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т.д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость u ≤ c, в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

Вопросы для самоконтроля

1.Какое движение называется волновым?

2.Какие волны называются продольными, поперечными?

3.Каковы физические условия возникновения продольных

ипоперечных волн?

4.Что такое фронт волны?

5.Что называется волновой поверхностью?

153

6.Какими величинами характеризуются волны в упругой

среде?

7.Какая характеристика называется длиной волны?

8.Какими соотношениями длина волны связана со скоростью распространения волны и частотой?

9.Запишите уравнение плоской незатухающей бегущей

волны.

10.Запишите волновое уравнение.

11.Каков физический смысл величин, входящих в уравнение плоской незатухающей бегущей волны?

Проверочные тесты

Тест № 1

Волны распространяются в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1,0 м. Определите частоту колебаний.

1) 200 Гц; 2) 100 Гц; 3) 50 Гц; 4) 0,020 Гц; 5) 0,0050 Гц.

Тест № 2

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда 2,0 см. За начало отсчета времени взят момент прохождения источником колебаний положения равновесия с положительной скоростью. Определите фазу колебаний точки, отстоящей на расстоянии 45 мотисточника волн, в момент времени4,0 с.

1) 20 рад; 2) 3,3π рад; 3) 1,7π рад; 4) 0,14π рад.

Тест № 3

Найдите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на 10 см, равна 60°. Частота колебаний 25 Гц.

1) 15 м/с; 2) 12 м/с; 3) 6,7 м/с; 4) 2,4 м/с; 5) 0,024 м/с.

154

Тест № 4

Определите разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 2,0 м друг от друга, если длина волны равна 1,5 м.

1) 3,5 π; 2) 3,0 π; 3) 2,7 π; 4) 1,3 π; 5) 0,5 π.

Тест № 5

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда 2,0 см. За начало отсчета времени взят момент прохождения источником колебаний положения равновесия с положительной скоростью. Определите разность фаз колебаний двух точек шнура, отстоящих от источника волн на расстоянии 20

и30 м.

1)4,5π; 2) 3,2π; 3) 1,1π; 4) 0,67π; 5) 0,45π.

Тест № 6

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда 2,0 см. За начало отсчета времени взят момент прохождения источником колебаний положения равновесия с положительной скоростью. Определите смещение точки, отстоящей на расстоянии 45 м от источника волн, в момент времени 4,0 с.

1) 0,020 м; 2) 0,010 м; 3) 0; 4) –0,017 м; 5) –0,52 м.

155

лекул – число Лошмидта). Такие распространенные явления, как давление газа на стенки сосуда, явления переноса, тепловые явления и др., подчиняются законам больших чисел, или, иначе, законам статистики. В основе статистического метода применительно к молекулярной физике лежит несколько утверждений:

1.Совокупность огромного количества молекул имеет такие свойства, каких нет у каждой молекулы в отдельности. Например, свойствами совокупности молекул являются давление, температура, теплопроводность, вязкость, диффузия и др., но нельзя говорить о давлении, температуре, вязкости одной молекулы.

2.Существует определенная количественная связь между свойствами коллектива молекул и средними значениями тех физических величин, которые характеризуют поведение и свойства каждой молекулы в отдельности. Например, средняя кинетическая энергия молекулы газа пропорциональна его абсолютной температуре, являющейся свойством коллектива молекул.

3.Свойства коллектива молекул являются макроскопическими свойствами, а свойства каждой молекулы в отдельности – микроскопическими. Связь между макроскопическими и микроскопическими свойствами устанавливается на основе теории вероятностей.

При термодинамическом (энергетическом) подходе к изучению свойств макросистемы не рассматривается ее конкретное строение, механизм микропроцессов, игнорируются структурные элементы системы (частицы). В термодинамике изучаются лишь энергетические характеристики вещества: способы и формы передачи энергии от одной системы к другой, закономерности превращения одних форм энергии в другие, направления протекания процессов в природе. Основной вопрос термодинамики – получение работы за счет тепловой энергии.

157

10.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) основана на следующих положениях:

1.Все вещества состоят из атомов или молекул, размеры которых порядка 10–10 м.

2.Атомы и молекулы вещества разделены промежутками, свободными от вещества. Косвенным подтверждением этого факта является изменяемость объема тела.

3.Между молекулами тела одновременно действуют силы взаимного протяжения и силы взаимного отталкивания.

4.Молекулы всех тел находятся в состоянии беспорядочного непрерывного движения. Хаотическое движение молекул называют также тепловым движением.

Скорость движения молекул связана с температурой тела в целом: чем больше эта скорость, тем выше температура. Таким образом, скорость движения молекул определяет тепловое состояние тела – его внутреннюю энергию.

От интенсивности теплового движения молекул и интенсивности их взаимодействия зависит, в каком из возможных агрегатных состояний находится вещество (в твердом, жидком, газообразном, плазменном). По мере увеличения интенсивности теплового движения среднее расстояние между молекулами возрастает, а силы притяжения уменьшаются и тело переходит из твердого состояния в жидкое.

10.3. Газообразное состояние вещества. Идеальный газ

Любая реальная макроскопическая система – очень сложный объект, так как состоит из большого числа взаимодействующих частиц. Начнем рассмотрение закономерностей макросистем с самой простой – идеального газа.

Идеальный газ – это идеализированная система частиц, обладающая следующими свойствами:

158

1)суммарный собственный объем частиц намного меньше размеров сосуда, в котором они находятся;

2)частицы взаимодействуют друг с другом только во время столкновений;

3)в промежутках между столкновениями частицы движутся свободно, прямолинейно и равномерно, причем время свободного движения гораздо больше времени взаимодействия;

4)столкновение частиц друг с другом и со стенками сосуда подчиняются законам абсолютно упругого столкновения;

5)полностью отсутствует упорядоченное движение частиц. Идеальный газ – это лишь простейшая модель газообразно-

го состояния, но этой моделью описываются реальные газы в условиях, близких к нормальным, а также в условиях низкого давления и высокой температуры.

10.4. Параметры состояния идеального газа

Основными параметрами газообразного состояния являются: m – масса газа; V – объем; р – давление; Т – абсолютная (термодинамическая) температура.

Физические величины, характеризующие то или иное состояние вещества, называются параметрами состояния.

Под объемом V системы в случае идеального газа подразумевается пространство, предоставленное для движения молекул системы, т.е. объем сосуда, в котором заключен газ.

Понятие массы было введено в разделе «Механика». Давлением р называется скалярная физическая величина,

характеризующая распределение силы по поверхности, на которую она действует, и численно равная силе, действующей на единичную площадку в направлении, перпендикулярном к площадке.

При равномерном распределении силы по плоской поверхности S давление

159

где α – угол между направлением силы и направлением нормали к поверхности (рис. 10.1).

В системе СИ давление измеряется в паскалях (Па, т.е. в Н/м2). Кроме того, используются внесистемные единицы: физическая атмосфера (атм), миллиметр ртутного столба (ммрт. ст.), бар и др. 1 атм = 1,013 105 Па; 1 бар = = 105 Па; 1 мм рт. ст. = 133 Па.

Температура – это скалярная фи- Рис. 10.1 зическая величина, характеризующая интенсивность хаотического движения частиц системы и пропорциональная средней кинетической

энергии поступательного движения одной частицы.

где γ − размерный коэффициент пропорциональности. Выражение (10.3) отражает определение абсолютной температуры. За начало отсчета абсолютной температуры – абсолютный нуль – принята такая температура, при которой прекращается хаотическое поступательное движение частиц системы: Т = 0, если

εпост = 0. В этом смысле можно говорить, что температура ха-

рактеризует степень нагретости тела.

Абсолютная температура измеряется в системе СИ в градусах Кельвина (К). Она связана с температурой по шкале Цельсия соотношением Т К = t °С + 273,16.

160